高中数学 1.2圆与直线、圆与四边形配套课件 北师大版选修4.ppt

第二节圆与直线 圆与四边形 三年15考高考指数 1 会证明并应用圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 2 会证明并应用相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 1 圆的切线的判定和性质是本讲的重点内容 也是考试的热点内容 2 考查圆的切线的判定方法 主要出现在证明题中 考查圆的切线的性质 主要是判定定理及其他知识的综合应用 3 切割线定理通常与三角形相似 弦切角 公切线长等知识综合命题 1 圆周角定理及其推论 1 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的 2 推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弧是 一半 一半 相等 相等 直角 半圆 即时应用 如图 在 o中 90 60 则弦ac bd所夹的锐角 解析 90 所对的圆心角的度数为90 同理所对的圆心角的度数为60 连接ad 则 1 2 30 45 75 答案 75 a d c b o 1 2 如图 已知 abc内接于 o ac是 o的直径 acb 50 点d是上一点 则 d 解析 ac是 o的直径 abc 90 acb 50 a 40 由圆周角定理 得 d a 40 答案 40 2 圆的切线的判定和性质及弦切角定理 1 切线的判定定理 经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线经过 外端 垂直于 半径 切点 圆心 3 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线 这两条切线长 4 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的 相等 圆周角 一半 即时应用 如图 pa切 o于点a po 4 opa 30 则 o的半径等于 解析 连接oa 由题意知 oa pa 在rt pao中 po 4 opa 30 oa po 2 即 o的半径等于2 答案 2 如图 ab是 o的直径 ac是弦 直线ec和 o切于点c ad ec于点d 若 abc 27 则 cad 解析 由题意知 acd cba 27 又 ad de 在rt acd中 cad 90 27 63 答案 63 3 与圆有关的比例线段 1 切割线定理及推论定理 过圆外一点作圆的一条切线和一条割线 切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的 如图 pt是 o的切线 t是切点 pab是 o的割线 则pt2 推论 过圆外一点作圆的两条割线 在一条割线上从这点到两个交点的线段长的 等于另一条割线上对应线段长的 如图 pab和pcd是 o的两条割线 则pa pb 比例中项 pa pb 积 积 pc pd 2 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 如图 圆的两条弦ab cd相交于圆内一点p 则pa pb 相等 pc pd 即时应用 如图 o的切线pa pb pa 4 apb 40 则pb apo 解析 pa pb是 o的切线 pb pa 4 连接oa ob 则oa pa ob pb 在 apo与 bpo中 pa pb oap obp 90 po po rt apo rt bpo apo bpo apb 40 20 答案 420 如图 弦ab与cd相交于点p pa 4 pb 2 则pc pd 解析 由相交弦定理 得pc pd pa pb 4 2 8 答案 8 4 圆内接四边形 1 圆内接四边形的性质定理及推论定理 圆内接四边形的对角 推论 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的 2 四点共圆的判定定理及推论定理 如果一个四边形的 那么这个四边形四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于其 那么这个四边形的四个顶点共圆 互补 内对角 内对角互补 内对角 3 托勒密定理圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的 乘积 即时应用 如图 在 o中 cbe是圆内接四边形abcd的一个外角 adc 120 则 cbe 解析 由圆内接四边形的性质定理的推论 得 cbe adc 120 答案 120 1 思考 圆外切四边形的四条边之间有怎样的关系 你能证明吗 提示 圆外切四边形两组对边的和相等 如图 四边形abcd是 o的外切四边形 切点分别为e f g h四点 由切线长定理 得ae ah be bf cf cg dg dh 则ab cd ae be cg dg ah bf cf dh bc ad 2 如图 四边形abcd内接于 o a 70 则 c 解析 由圆内接四边形的性质定理 得 a c 180 c 110 答案 110 圆周角定理 方法点睛 1 圆周角定理的应用涉及圆周角的题目 经常利用圆周角与它所对的弧相互转化 即圆周角的度数可以转化成它所对弧的度数 而弧的度数又可以转化为圆周角的度数 2 圆周角定理的两个推论的理解这两个推论为证明角相等 弧相等以及线段相等提供了新思路 应用这两个推论时 要根据具体条件灵活运用 例1 1 如图 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 30 则圆o的面积等于 2 ab是圆o的直径 cd垂直平分oa 那么在 1 2 3 4中等于30 角的个数是 解题指南 1 可通过作辅助线 把圆周角问题转化为圆心角问题加以解决 2 先证明 aoc是等边三角形 再求四个角的度数 规范解答 1 连接ao ob 因为 acb 30 所以 aob 60 所以 aob为等边三角形 故圆o的半径r oa ab 4 圆o的面积s r2 16 2 ab是 o的直径 acb 90 又 cd垂直平分oa ac oc 又 oa oc aoc是等边三角形 1 2 30 3 90 1 2 30 又 ob oc 4 3 30 答案 1 16 2 4 互动探究 本例 1 中其他条件不变 只改变 acb的大小 若 acb 45 则圆o的面积等于 解析 连接oa ob acb 45 aob 90 aob是等腰直角三角形 ab 4 圆o的半径 圆o的面积答案 8 反思 感悟 圆周角定理常见的两种转化方式 圆周角与圆心角之间互相转化 圆周角与圆周角之间互相转化 如本例 1 还可以作直径 利用推论转化为圆周角为30 的直角三角形加以解决 变式训练 已知 o是 abc的外接圆 boc 140 则 a的度数为 解析 当圆心o在 abc内部时 当圆心o在 abc外部时 答案 70 或110 圆的切线的性质与判定和弦切角定理 方法点睛 1 圆的切线的性质与判定方法利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算 有时需添加辅助线 其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线 从而可以构造直角三角形 利用直角三角形边角关系求解 或利用勾股定理求解 或利用三角形相似求解等 2 弦切角定理的解题思路在解此类题的过程中 首先观察分析图形的特点 认准图形中圆的切线所形成的弦切角 再利用弦切角定理 寻找相等的角 往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最终的结论 例2 1 如图 已知ab是 o的直径 直线cd与 o相切于点c ac平分 dab ad cd 若ad 2 则ab的长为 2 如图 pt切 o于点t pba是过圆心o的一条割线 atm 65 则 p 解题指南 1 先证 adc acb 再利用相似三角形的性质 计算出结果 2 可连接bt 利用弦切角定理及外角定理求 p的度数 规范解答 1 如图 连接bc ac平分 dab dac cab ab为 o的直径 acb 90 又ad cd adc 90 adc acb 2 连接bt 则 atb 90 atm abt 而 ptb 90 atm 90 65 25 p abt ptb 65 25 40 答案 互动探究 本例 1 中图形及条件不变 若ad 2 ac 3 则bc 解析 由 adc acb 得即答案 反思 感悟 利用切线的性质以及相似三角形等相关知识是解决此类问题的重要依据 变式备选 如图 o是 abc的外接圆 ab ac 过点a作ap bc 交bo的延长线于点p 若 o的半径r 5 bc 8 则线段ap的长为 解析 如图 过点a作ae bc 交bc于点e ab ac ae平分bc 点o在ae上 又 ap bc ae ap ap为 o的切线 又 aop boe oeb oap obe opa 即答案 与圆有关的比例线段 方法点睛 与圆有关的比例线段的应用及注意事项 1 本考点包括相交弦定理 割线定理 切割线定理和切线长定理 这些定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 2 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 例3 1 o的两条弦ab cd相交于p 已知ap 2 bp 6 cp pd 1 3 则pd 2 o的割线pab交 o于a b两点 割线pcd经过圆心o pe是 o的切线 已知pa 6 ab po 12 则pe o的半径r 解题指南 1 由相交弦定理及已知条件可求pd的长 2 由切割线定理 可求出pe的长 再利用割线定理或切割线定理求出 o的半径 规范解答 1 由相交弦定理 得pc pd pa pb 即 pd2 36 pd 6 2 由切割线定理 得pe2 pa pb pa pa ab 6 6 80 由割线定理 得 pc pd pa pb 即 144 r2 80 r2 64 r 8 答案 1 6 2 8 互动探究 本例 2 中的图形不变 把已知条件改为pe 4 pa 2 则ab的长为 解析 由切割线定理 得pe2 pa pb pa pa ab 即42 2 2 ab 解得ab 6 所以ab的长为6 答案 6 反思 感悟 在涉及与圆有关的比例线段的计算时 一般涉