牛顿引力平方反比定律的发现.doc

牛顿引力平方反比定律的发现 万有引力定律发现是人类认识史上最重大的事件之一。国内外科学史界一致公认，在这一发现过程中，牛顿对引力平方反比定律的发现，即所谓“开普勒命题”的证明，起到了关键性作用，它标志着牛顿成熟地掌握了动力学原理，是牛顿在1685至1686年间发现万有引力定律的必要前提。 牛顿在一份约写于1717年的自传体备忘录中，就弓！力平方反比定律的发现曾指出，他是在1666年根据开普勒行星运动周期定律“推出了”力的平方反比关系，未提及人们通常一认为的另一根据一离心力定律，并认为：“惠更斯先生后来所发表的离心力的理论我相信是在我之前的。最后，在 1676和 1677年之间的冬季，我发现了一个命题，那就是在离心力等于和距离的平方成反比的情况下，一个行星必然要统处于椭圆下面一个脐点（即焦点一笔者注）的力心作椭圆运动，同时那画向这个中心的半径所掠过的面积，其大小和所用的时间成正比。在1683和1684年之间的冬季，这个命题及其论证也写进了皇家学会的记事册。”牛顿在论及开普勒命题的一份来发表手稿中写道：“在 1677年，我应用流数的反求法（即积分一笔者注），发现了开普勒天文学命题的证明，那就是原理第一卷的命题：行星在椭圆轨道上运动。”他在其后追加的一页草稿中又把“证明”的日期“推迟”到 1679午。事实上，原理第一卷命题，即开普勒命题的内容是：物体沿椭圆绕转，求指向椭圆焦点的向心力定律；而牛顿有关开普勒命题的论证，是 1685年 2月 13日前不久才写进皇家学会的记事册。因此，从牛顿晚年因微积分发明权之争而撰造的“剧情说明式的”自述中，我们无法确定牛顿在何时证明了开普勒命题，其对平方反比定律的认识过程，也与史实有出入。 国外史学界认为，牛顿是在17世纪60年代，应用离心力定律和开普勒周期定律，得到圆轨道上的引力平方反比关系，而论及椭圆轨道上引力与距离关系的开普勒命题，是在1679年或1684年得到证明的。问国内学者对此尚无定论。笔者认为，国外学者的看法是值得商榷的。事实上，牛顿在惠更斯1673年发表离心力定律之前，根据他本人提出的“（1/2）R公式”和推广的伽利略落体t2定律，结合开普勒周期定律，得到了圆轨道上的平方反比关系；1676年，牛顿才有可能接触到“原版的”开普勒面积定律；向胡克与牛顿在1679年底至1680年初之间的通信，诱发了牛顿首次理解开普勒面积定律的物理意义，并应用几何图形法来解决开普勒命题；而牛顿有关该命题的几何图形法证明，则记载在成文于1680年的论椭圆轨道原始手稿中。也就是说，牛顿是在1680年才发现我们现在所理解意义上的引力平方反比定律。鉴于这一问题的特殊重要性，待详述于后，以就教于海内外高朋。一、牛顿对动力学问题研究的突破点 圆周运动问题，是牛顿从事动力学研究的突破点，对这一问题的成功处理，是他作出科学发现的起点。牛顿在始用于 1664年草算本（Waste Book）的“定理19”中，首次讨论了匀速圆周运动问题。牛顿在“定理20”中设计了一小球在圆筒内表面运动的理想实验，以期探求小球的意向力（conatus）与运动状态变化之间的关系。在“定理22”中，牛顿尝试性地确定两者之间的定量关系：仅考虑小球作半圆周运动，则小球绕半圆运动而力图脱离其运动中心的“全部力”（the whole force），大于能够产生或破坏其运动的力的两倍，即两倍于使小球运动的力。这样，牛顿在对小球作半圆周运动的分析中，已经考虑了运动状态的选择，意识到确定物体运动方向的重要性，借用了他早期有关碰撞问题研究所形成的力学思想。尽管牛顿错误地把“全部力”视为连续时间间隔中的一种持续力，他在这里给出的结果也只是一种不等性关系，但牛顿首先明确了在作用意义上的力与运动量变化意义上的力之间，存在着一种数值关系。 牛顿是在草算本的页码1（folio1）中，通过引入一种全新的处理圆周运动的方法一“多边形方法”，来改进上述的不等性关系。牛顿假定，物体沿一圆内接正方形运动，物体在正方形的每一个角受到圆一外接正方形的反射或反弹；则有： 物体在四个角所受反射力总和 正方形边长和 使物体运动的力 圆周的半径 牛顿进而将上述结论推广到物体沿任意边数内按正多边形的情形，“则全部反射力与使物体运动的力之比，如同全部边长（即圆周）与半径之比”。这就解释了牛顿为什么在草算本中，多处划掉4而替之用6（周长与半径之比为2）。这里的“全部反射力”是指，物体在圆周上运动一周所受到的反射力总和，它是前面提到的“全部力”的两倍。由此，牛顿明确了“全部力”概念的物理涵义。牛顿虽然顺利地建立了精确的数值关系，但这一结论却不能导出实际的物理应用。首先，尽管牛顿考虑了反射力的总和，但并未明确提出它和物体离心倾向（以及强度）之间存在相关性，更不用说等同性了；其外，在无限边数内接正多边形的情形下，反射力总和是一有限值，而物体在各个角所受到的反射力却趋于零，牛顿在当时不太可能用级数求和或积分法来验证上述的数值关系；再者，物体在无数个角处受到的各反射力方向也在持续变化，因而能否对“反射力的总和”给出一个准确的、物理意义上的定义，也是一个值得推敲的问题；第四，牛顿源于杠杆原理中力的平衡思想，在圆周运动问题中引进“反射力的总和”这一外在力，来作为运动物体离心意向力（the centrifugal endeavour）的相等及相反力，这一认识显然与他后来始于惯性原理而对开普勒命题所进行的分析，是不能自洽的。间鉴于这些问题的存在，笔者认为，将牛顿的“反射力的总和”等同于惠更斯创立的“离心力”（yi centrifuga）概念是一种“成见”，进而认为牛顿在此时“发现”了惠更斯在1673年宣布的、与物体运动速度和圆周半径便有可能已包括惠氏提出的“物质的量”（quantita materiae）概都相关的离心力定律，更是一个谬误。 牛顿在草算本中，还把圆周运动的分析结论推广到椭圆运动的情形，牛顿认为：“如果物体在一椭圆轨道上运动，它在每一点（设它在该点的运动已知）上所受的力，可以用一个在该点与椭圆相切的、具有相同曲率的圆求出。”由此联系到牛顿在哲学笔记簿中曾摘录过开普勒周期定律的事实，可以认为，牛顿在1665年已开始考虑椭圆线状运动这一更复杂的问题了。 圆周运动问题作为牛顿早期力学研究的对象，是他所能寻找到的、唯一可能的研究突破点。牛顿借助于他有关碰撞问题的研究成果，卓有成效地从动力学角度来量化处理圆周运动中力与“运动的改变”之间的关系，并利用等价性将直线运动的分析结论推广到圆周运动和椭圆运动，为其有关力学（尤其是动力学）的进一步研究打下了坚实的基础。同时期的惠更斯也注意到圆周运动问题，并从运动学角度对它进行了较为深入的研究；就离心力定律的发现而言，毫无疑义，惠更斯走在了牛顿的前面。二、圆轨道上平方反比关系的发现人们曾围于传统看法，强调离心力定律在牛顿有关平方反比关系发现中的重要性，笔者认为，这一“强调”是不能成立的。事实上，离心力定律是在1673年发表的，牛顿旋即了解到惠更斯的结论，但没有提出发现权的要求；而牛顿是根据“（12）R公式”和推广的foil利略落体 t2定律，并结合开普勒周期定律，在 1669年前就推导出圆轨道上的平方反比关系。这一推导过程中，似乎更应强调伽利略落体户定律的重要作用。 牛顿是在 1665或 1666年写的“仿羊皮手稿”（the Velluo Manuscript）中提出“（l2）R公式”：“一个在直线上从静止开始运动的物体，其所受的力等于作用在沿半径为R的圆周、以速度V运动的同等物体的力；则在圆周上运动的物体通过距离R的时间内，直线上运动的物体将行进（1/2）R距离。”根据牛顿的手稿，我们可以得到上述公式的推论过程：首先，牛顿给出直线运动、圆周运动状态的初始条件，即同等的时间、物体和力；其次，牛顿依据已认识到的两种运动（量）之间的等价性，推论出：直线上从静止开始运动的物体，在时间R/V内获得的运动量为mV、末速度为 V；最后，牛顿根据“默顿规则”（the Merton Rule），得到直线上由静止开始运动的物体，在时间R/V内经过的距离为：（1/2）V（R/V）=（1/2）R。 图1牛顿应用偏离量方法推出圆轨道平方反比 关系的示意图 “（1/2）R公式”的提出，表明牛顿承袭伽利略等人所坚持的、力与距离之间存在对应关系的传统，并试图用精确的数值关系来表征这种对应关系，这是牛顿的一大进步。其另一进步，是他合理地将伽利略重力作用下的t2定律推广到任意定常力作用的情形。这两个进步，是牛顿发现圆轨道上平方反比关系的必要条件。牛顿写于1669年前的论圆周运动（On Circular Motion）手稿，使上述的两个进步得以具体实现。他在此引入又一种全新的处理圆周运动的方法“偏离量方法”（the Derivative Method），即：“物体在由A到D作圆周运动的过程中，退离中心的意向力大小是这样的：即在物体通过AD（假定它很小）的时间内，该力将使物体偏离圆周一段距离 DB（见图 1一笔者注）现在，如果这个意向力象重力一样地在一条直线上作用，它将使物体通过的距离与时间的平方成比例”。 这样，牛顿在意向力和距离之间建立了对应关系，并通过推广伽利略重力作用下的t2定律，确定了距离与时间平方之间的比例关系。这一比例关系在Principia（1687）中“上升”为第一卷第一节的“引理X”，它构成了牛顿应用“线性动力学比”方法证明开普勒命题的数学前提。可以认为，牛顿至此才找到处理圆周运动问题的数值计算方法。牛顿在该手稿的第一部分，应用相似三角形的比例关系和近似的方法，得出下述重要的结论：意向力在周期T内使物体偏离的距离DB22R。在这之后；牛顿给出了物体受“由于地球的周日运动产生的、在天球赤道上退离地球中心的意向力”的作用、在单位初始时刻行进距离的示例。 事实上，牛顿在这里是由“（1/2）R公式”结合推广的伽利略t2定律，即St2这样的比例关系，得到偏离量DB的数值表达式，然后应用几何方法综合地证明了他的结论。根据“（1/2）R公式”，在时间 t（R/V）内，物体在直线上行进（1/2）R；设在周期 T（2R/V）内，物体在直线上行进DB；依据推广的伽利略t2定律，有： （1/2）Rt2R2/V2 DBT242R2/V2两式相比后简化得： DB 22R这正是牛顿在手稿中给出的重要结论。应用St2这样的比例关系，我们还可以验算牛顿在示例中给出的数值。一个重要的验算，是牛顿在这里得到“由于地球周日运动而引起的、物体在1秒内下落的距离为59时”，并联系牛顿在“仿羊皮子稿”中由实验获得的重力下落速率196时秒，根据（意向）力与距离的对应关系，则重力约为物体因地球周日运动而产生的、退离地球中心意向力的350倍。由此，牛顿首次正确地解释了人们感觉不到地球旋转的原因，作出了动力学发展史上第一个实用性发现。 牛顿在论圆周运动手稿的第二部分，再次应用 St2于其结论：DB22R中，得到下述重要的“推论”：“推论：对应子不同的圆周运动，它们退离中心的意向力与直径除以周期平方的值成比例，或与直径乘以任意给定时间内周转数平方的值成比例。”这一推论用公式表征为：意向力22R/T222Rn2；其中 n为给定时间内的周转数。牛顿在手稿的结束段，将上述推论（意向力Rn2）与其在早年笔记簿中所摘录的开普勒周期定律（R3T21/n2）结合起来，成功地“推出了”圆轨道上意向力与距离间的平方反比关系： “最后，由于主要行星至太阳距离的立方与它们在给定时间内周转数的平方成反比；因此，它们退离太阳的意向力与它们至太阳距离的平方成反比。” 于是，牛顿在将行星椭圆轨道近似地视作圆轨道的前提下，“跨越”了离心力定律，应用偏离量方法，由“（1/2）R公式”和推广的伽利略t2定律，结合开普勒周期定律，在1669年前发现了圆轨道上的平方反比关系。这是牛顿早期动力学研究所获得的最重要的结论。三、胡克对牛顿的影响 当我们谈论牛顿对椭圆轨道引力平方反比定律的证明时，不能不提到胡克的影响。作为皇家学会秘书的胡克，可能是有感于当时欧洲大陆学者在动力学研究上的新成就，更可能是为了向牛顿展示他有关地球周年视差问题的新发现，主动在1679年11月24日致信牛顿，提请他将已搁置多年的动力学研究继续下去。牛顿在同年的11月28日当即回信，并通知胡克自己只考虑地球周日运动而得到的一个“想象的结论”。胡克“渲染”了牛顿结论的错误，并在12月9日致牛顿的信中指出，重物下落的径迹非牛顿的圆螺旋线，而相似于椭圆线形。胡克在该信的结束段中自豪地宣称：“我能够增添许多其他的、已被观测到的事例（considerations），它们与我所提出的、圆周运动是由一直向运动和一指向中心的吸引运动所合成的理论，是相一致的。”牛顿在12月13日的回信中，部分地承认了自己的错误，但拒绝接受国重力随距离乘幂减小而产生椭圆径迹的观点，并坚持相反力作用平衡的早期力学思想，以一种新的图解表示离心力和重力作用“失衡wSSqllilibllillm而引起物体下落的径迹。牛顿在信尾写道：“您这封敏锐的来信，使我深人思考这种曲线的种类；我也许能借助点逼近（point quam proxime）方法对曲线的描述增加些东西，尽管这些东西不是很重要的。这样，牛顿在1679年底开始着手一些、暂时还不愿示之于胡克的研究工作。1680年1月6日，胡克再次致信牛顿，全盘托出他本人有关天体运动的设想：“我的猜测是，吸引力总是与到中心距离的平方成反比的，因而速度与引力的平方根成正比，其结果如开普勒推测的那样；与距离成反比。在天体运动中，太阳或中心天体是吸引力的原因，虽然不能设想它们是数学点，却可想象为物理点。这样，就可按前述原理中的比例，计算出从同一中心开始、到很远距离卜的吸引力。”于是，不管牛顿承认与否，胡克对牛顿的味激”至少表现在如下四点：首先，胡克在1679年12月9日的信中所提出的、物体的下落运动是由直向运动和指向中心的吸引运动所合成的，因而将下落运动转换成曲线，尤其是圆周和椭圆运动问题来处理的思想，无疑地对牛顿产生了影响。其次，胡克关于吸引力平方反比关系的“猜测”、其对开普勒行星运动经验定律的错误“概括”以及综合得到的错误“结论”，致使牛顿认识到有待进一步研究的必要。第三，胡克指出，太阳或中心天体的吸引力是天体运动的原因，还进一步地视它们为物理点，牛顿一度接受了胡克的这一观点。第四，胡克的书信激发了牛顿应用几何图形法来“证明”椭圆轨道上引力平方反比关系，牛顿在1686年7月14日致哈雷的信中承认了这一点：“这是真的，他（指胡克笔者注）的信使我偶然发现应该用图形法，在椭圆上的验算是靠图形法的研究来进行的。”令人惊讶的是，牛顿对胡克的这封信却采取了沉默的态度。 胡克在同年的1月 17日再次“催促”牛顿，也是未有回音。牛顿拖延到将近一年后的12月3日，用几句不关痛痒的客套话来搪塞胡克。那么，在1679年12月13日至1680年12月3日这段几近一年的时间内，牛顿在做些什么？有人认为，牛顿在这期间，认识了开普勒面积定律的物理意义，证明行星将在一椭圆轨道上运行，但没有通知胡克。另一种观点是，这时的牛顿仍停留在理论上证明圆轨道上引力平方反比关系的阶段。笔者认为，1680年，牛顿在胡克书信的刺激下，尤其是其将落体运动转换为曲线运动、以及运动合成的圆周运动理论中新力学思想的影响下，重新认识到惯性原理的物理意义，掌握了开普勒面积定律与有心力作用之间的逻辑相关性，并写作了论椭圆轨道（On Motion inEllipse）原始手稿，牛顿在这一手稿中应用几何图形法解决了开普勒命题，即综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。这一结论正是下文将要讨论的。四、椭圆轨道上引力平方反比定律的证明牛顿是在论椭圆轨道中证明椭圆轨道上引力平方反比定律的。那么，了解该手稿的内容以及确定它的写作时间，对我们掌握牛顿动力学思想的发展就显得至关重要了。国外研究表明，牛顿论椭圆轨道一文的原始手稿已经佚失或被牛顿本人销毁了，尚存的只是内容非常相近的两种抄本，即牛顿本人收藏的牛顿副本”（the Newton Copy）和约翰洛克收藏的“洛克副本”（the Locke copy）。现扼要介绍牛顿副本”的内容。牛顿在手稿的一开始就提出如下三条“假设”（Hypoth）：“假设1只要物体不为阻力或其他外力所阻碍，它将在直线上作匀速直线运动。假设 2运动的改变永远正比于使运动发生改变的力。”在“假设3”中，牛顿给出了同时作用的、运动合成的平行四边形法则。紧接着，牛顿应用假设1、3，显然也发挥了胡克的运动合成思想，并引入量“无限地”变小的极限概念，来分析物体在有心力作用和惯性作用下两种运动合成的瞬时效应，以证明开普勒面积定律等价于一有心力作用：“命题1：如果一物体在真空中运动并被一不动的中心所吸引，它将在一平面中运动，且在相等的时间内，物体与中心的连线，扫过的面积是相等的。”这样，牛顿摒弃了以往学者对开普勒面积定律的各种修补、注释，最早地认识到开普勒面积定律及其与笛卡儿惯性定律之间逻辑联系的物理意义，为开普勒命题的解决铺设了道路。图2牛顿应用比例方法和偏离量关系证明椭圆 轨道引力平方反比定律的示意图 牛顿根据命题1的结论，并利用吸引力与“偏离量”的对应关系，来论证椭圆轨道上运动的物体、在特殊位置（椭圆的顶点）所受的吸引力与物体至焦点距离的平方反比关系（命题2）。牛顿为了将上述结论推广到复杂的、物体在椭圆轨道上任意点的受力情形，在命题2之后插入了说明椭圆曲线性质的三个“系定理”。牛顿在给出解决开普勒命题的数学手段之后，应用比例方法和“系定理 3”（YXI/ABPQYZ2KL2），并结合吸引力与“偏离量”的对应关系，证得：FPFpXY/xyYZ2/yz2pF2/PF2（见图2），即： “命题3：如果物体受到一指向椭圆焦点的吸引力作用，并且该力的大小足以维持物体在该椭圆上运动，则吸引力与物体到焦点距离的平方成反比。”这样，牛顿应用图形法解决了开普勒命题，综合证明了椭圆轨道上引力平方反比定律。这一问题的解决，不仅标志着牛顿成熟掌握了动力学基本原理，而且它与牛顿有关质量概念的明确、向心力概念的引人，以及运动第三定律的提出，一起构成了牛顿在1685至工686年发现万有引力定律的基本前提。 缘于“牛顿副本”的内容在万有引力定律发现中的重要作用，更是缘于原始手稿佚失或销毁的实际情况；人们对原始手稿的写作时间就有了多种猜测和解释。第一种猜测是1690年，依据是“洛克副本”上标定的日期：“Mar 16891690”。支持这一猜测的证据有：洛克对原理的浓厚兴趣、“洛克副本”的存在、以及“洛克副本”较原理中相应命题的更。通俗”形式。然而，这一猜测却无法解释下述的疑问：其一，“假设”一词的使，用让人感到疑惑。牛顿在原理中曾明确宣称：“我不杜撰假设”；况且，随着牛顿力学思想的成熟，他也逐渐避免使用这个词；牛顿在1684至1685年间所写的论运动（De motu）系列手稿，为这一“趋势”提供了有力佐证。论运动系列的第一份手稿中有四个“假设”，其中的“假设2”是关于惯性原理的；到第三份手稿时，牛顿删掉全部标题“假设”，而替之用“定律”（Lex），且“定律1”（Lex1）的内容同样是关于惯性原理的。自此以后，“Lex”一词得到广泛的使用。牛顿在这之后不应将与原理“运动定律或定理”I、，以及其后“推论I”相应的内容冠以“Hypoth”这一标题。其二，原理中的。“Lex”还涉及到与匀速直线运动“状态”等价的“静止”状态，剧本”却“忽略”了这一点；“副本”的“假设2”还未提及原理中“Lex”对运动（量）改变方向性的考虑，而“副本”中的命题3却确实采用了这一考虑。牛顿不应在原理出版后不久犯上述类型的“疏忽”。其三，牛顿在原理第一卷中给出的证明是平方反比定律适用于圆、椭圆、双曲线和抛物线，后两者是非封闭性曲线；而手稿竞始于椭圆而又终于椭圆。诸多疑问。致使学者们否定了“1690年”的猜测。第二种猜测是1684年，论椭圆轨道原始手稿可能是牛顿在写出论运动第一份手稿之后又撰写的一套命题。我们知道，牛顿在论运动第一份手稿中首创“向心力”概念