广西钦州市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年广西钦州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|2x 3=0， B=x| 2 x 3，则 AB=（ ） A 1， 3 B 1 C 3 D 2已知 = ，则 所在的象限的是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3化简 + + + 的结果是（ ） A B C D 4给出函数 f（ x） =1+2（ a 为常数，且 a 0， a1），无论 a 取何值，函数 f（ x）恒过定点 P，则 P 的坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ ， 3） 5若 x x =3，则 x+x 1=（ ） A 7 B 9 C 11 D 13 6 （ ） A B C D 1 7函数 y= 的定义域是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1 C（ ， +） D 1， +） 8已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2） ， C（ a， 0），若 A， B， C 三点共线，则 a=（ ） A B 1 C 2 D 3 9已知 a=b=c=（ ） A a b c B c a b C b a c D c b a 10如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 边为射线 面积表示为 x 的函数 f（ x），则 y=f（ x）在 ， 上的图象大致为（ ） A B C D 11函数 f（ x） =的零点所在的区 间是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ e， +） 12已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） =（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 13在 ，若 ，则 14设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 = 15已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f（ x） =x，则当 x 0 时， f（ x） = 16偶函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， f（ 3） =3，则 f（ 1） = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17解方程： 34x 2x 2=0 18化简与求值： （ 1）化简： ； （ 2）已知 ， 都是锐角， ， +） = ，求 19已知函数 （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论； （ 2）证明函数 f（ x）在区间（ 1， +）上是增函数 20设函数 f（ x） =x+） +x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ，当 x= 时， f（ x）取得最大值 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）求出 f（ x）的单调区间 21如图，已知 A（ 1， 1）， B（ 5， 4）， C（ 2， 5），设向量 是与向量 垂直的单位向量 （ 1）求单位向量 的坐标； （ 2）求向量 在向量 上的投影； （ 3）求 22已知 a， b， c 为 三个内角的对边，向量 =（ 21）， =（ 1 1）， （ 1）求 B 的大小； （ 2）若 a=1， c=2，求 b 的值 2015年广西钦州市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|2x 3=0， B=x| 2 x 3，则 AB=（ ） A 1， 3 B 1 C 3 D 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；集合 【分析】 求出 A 中方程的解确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中方程变形得：（ x 3）（ x+1） =0， 解得： x= 1 或 x=3，即 A= 1， 3， B=（ 2， 3）， AB= 1， 故选： B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知 = ，则 所在的象限的是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 象限角、轴线角 【专题】 计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值 【分析】 利用终边相同角的表示方法，把角化为： 2， 0， 2，即可得到选项 【解答】 解： = = 10+ ， ， 所在的象限的是第二象限角， 故选： B 【点评】 本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角的定义，属于基础题 3化简 + + + 的结果是（ ） A B C D 【考点】 向量的三角形法则 【专题】 数形结合；转化思想；平面向量及应用 【分析】 由于 = ， = ，即可得出 【解答】 解： = ， = ， + + + = ， 故选： A 【点评】 本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4给出 函数 f（ x） =1+2（ a 为常数，且 a 0， a1），无论 a 取何值，函数 f（ x）恒过定点 P，则 P 的坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ ， 3） 【考点】 指数函数的图象变换 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 把已知的函数解析式变形，然后借助于函数图象的平移得答案 【解答】 解： f（ x） =1+2= = ， 而函数 y=（ 0， 1）， 恒过定点（ ） 故选： D 【点评】 本题考查指数函数的图象变换，考查了函数图 象的平移，是基础题 5若 x x =3，则 x+x 1=（ ） A 7 B 9 C 11 D 13 【考点】 根式与分数指数幂的互化 及其化简运算 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；函数的性质及应 用 【分析】 把已知等式两边平方即可求得答案 【解答】 解：由 x x =3， 两边平方得： ， 即 x+x 1 2=9， x+x 1=11 故选： C 【点评】 本题考查根式与分数指数幂的互化及运算，能够想到把已知等式两边平方是关键，是基础题 6 （ ） A B C D 1 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得所给式子的值 【解答】 解： （ +=13+32） = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题 7函数 y= 的定义域是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1 C（ ， +） D 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据对数函数的性质结合二次根式的性质解出即可 【解答】 解：由题意得： 2x 11，解得： x1， 故选： D 【点评】 本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题 8已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2）， C（ a， 0），若 A， B， C 三点共线，则 a=（ ） A B 1 C 2 D 3 【考点】 三点共线 【专题】 方程思想；综合法；直线与圆 【 分析】 由 A、 B、 C 三点共线，得 ， 共线；利用向量的知识求出 a 的值 【解答】 解 A、 B、 C 三点共线， ， 共线； =（ 3， 1）， =（ a， 1） 3（ 1） =a 解得， a= 3， 故选： D 【点评】 本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答 9已知 a=b=c=（ ） A a b c B c a b C b a c D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用对数的运算法则可得 a=+b=， c=+用单调 性可得 0，即可得出 【解答】 解： a=+b=， c=+ 0， a b c 故选： D 【点评】 本题考查了对数的运算法则及其单调性，属于基础题 10如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 边为射线 面积表示为 x 的函数 f（ x） ，则 y=f（ x）在 ， 上的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到 f（ x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择 【解答】 解：在直角三角形 ， A=1， x， s 11| f（ x） = |其周期为 T=，最大值为 ，最小值为 0， 故选 ； A 【点评】 本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查了三角形的面积公式 11函数 f（ x） =的零点所在的区间是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 4） D（ e， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数零点的判断条件，即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =，则函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增， f（ 2） =1 0， f（ 3） = 0， f（ 2） f（ 3） 0， 在区间（ 2， 3）内函数 f（ x）存在零点， 故选： B 【点评】 本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键 12已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） =（ ） A B C D 【考点】 函数的值 来源 :【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据分段函数的表达式代入求解即可 【解答】 解： f（ 3） = 2， f（ 2） =2 2 1 2= = ， ff（ 3） =f（ 2） = 故 选： A 【点评】 本题主要考查函数的计算，利用分段函数的表达式进行求解解决本题的关键比较基础 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 13在 ，若 ，则 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 值，可得 值 【解答】 解： ， = ， A（ 0， ）， ， ， ， 则 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 14设向量 ， 满足 | + |= ， | |= ，则 = 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用数量积的性质即可得出 【解答】 解： | + |= = ， | |= = ， 平方相减可得： =4，解得 =1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了数量积的性质，属于基础题 15已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函 数，当 x0 时， f（ x） =x，则当 x 0 时， f（ x） = x 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题 】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 当 x 0 时， x 0，由已知表达式可求得 f（ x），由奇函数的性质可得 f（ x）与 f（ x）的关系，从而可求出 f（ x） 【解答】 解：当 x 0 时， x 0， 则 f（ x） =（ x） 2+2（ x） =2x 又 f（ x）是 R 上的奇函数， 当 x 0 时 f（ x） = f（ x） = x 故答案为： x 【点评】 本题考查函数解析 式的求解及奇函数的性质，属基础题 16偶函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， f（ 3） =3，则 f（ 1） = 3 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性和对称性的性质，得到 f（ x+4） =f（ x），即可得到结论 【解答】 解：法 1：因为偶函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， 所以 f（ 2+x） =f（ 2 x） =f（ x 2）， 即 f（ x+4） =f（ x）， 则 f（ 1） =f（ 1+4） =f（ 3） =3， 法 2：因为函数 y=f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， 所 以 f（ 1） =f（ 3） =3， 因为 f（ x）是偶函数， 所以 f（ 1） =f（ 1） =3， 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f（ x+4） =f（ x）是解决本题的关键，比较基础 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17解方程： 34x 2x 2=0 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【专题】 综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 原方程因式分解得：（ 32x+2）（ 2x 1） =0， 进一步得到 32x+2 0，所以 2x 1=0，求解 【解答】 解：原方程 34x 2x 2=0 可化 为： 3（ 2x） 2 2x 2=0， 因式分解得：（ 32x+2）（ 2x 1） =0， 2x 0， 32x+2 0 2x 1=0， 解得： x=0 原方程的解为： x=0 【点评】 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，本题的关键是会因式分解，是基础题 18化简与求值： （ 1）化简： ； （ 2）已知 ， 都是锐角， ， +） = ，求 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值 （ 2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 +）的值，再利用两角差的余弦公式求得 【解答】 解：（ 1） = =45+15） = （ 2） 已知 ， 都是锐角， ， = ， +） = ， +为钝角， +） = = ， +） =+） +） + = 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题 19已知函数 （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论； （ 2）证明函数 f（ x）在区间（ 1， +）上是增函数 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点 对称； （ 2）利用增函数的定义证明 【解答】 解：（ 1）函数 为奇函数 函数 的定义域为（ ， 0） （ 0， +）且关于原点对称 且 所以函数 为奇函数 （ 2）证明：设 区间（ 1， +）上的任意两个数，且 = 1 0， 1 0， f（ f（ 0 即 f（ f（ 函数 f（ x）在（ 1， +）上为增函数 【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础 20设函数 f（ x） =x+） +x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ，当 x= 时， f（ x）取得最大值 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）求出 f（ x）的单调区间 【考点】 三角函数的化简求值；正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得 、再根据最大值求得 ，可得函数的解析式 （ 2）由条件利用正弦函数的单调性求得它的单调区间 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =x+） +x+） = x+ ）的 最小正周期为， =， =2， f（ x） = 2x+ ） 根据当 x= 时， f（ x） = 2 + ） = ， + =2， kZ， 取 = ， f（ x） = 2x+ ） （ 2）令 22x+ 2，求得 x，可得函数的增区间为 ， ，kZ； 同理求得函数的减区间为 ， ， kZ 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值、以及它的单调性，属于基础题 21如图，已知 A（ 1， 1） ， B（ 5， 4）， C（ 2， 5），设向量 是与向量 垂直的单位向量 （ 1）求单位向量 的坐标； （ 2）求向量 在向量 上的投影； （ 3）求 面积 S 【考点】 平面向