北京市怀柔区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=1， 2， B=2， 3， 4，那么集合 AB 等于（ ） A 2 B 2， 3 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 2若角 是第四象限的角，则（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 3函数 y=最小正周期是（ ） A B 2 C D 4 2（ ） A B C D 5下列函数中，在区间（ ， 0）上是减函数的是（ ） A y= y=2x C y= y=函数 y=1+图象（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 x= 对称 7为了得到函数 y=x+x 的图 象，可以将函数 y= 图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 8函数 的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9若函数 f（ x） =2x 1，则 f（ 3） = 10 = 11已知角 的终边经过点 ，则 12不等式 x 0 的解集为 13 2 3， 3 ， 个数中最大数的是 14设 f （ x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（ x）在 0， +）是增函数，且 f（ 2） =0，则不 等式 f（ x+1） 0 的解集为 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知集合 A=x| 5 x ， B=x|x 1 或 x 2， U=R （ ）求 AB； （ ）求 A（ 16已知函数 （ ）求 f（ x）定义域； （ ）证明 f（ x）在（ 0， +）上是减函数 17已知 ，且 （ ）求 （ ）求 的值 18已知函数 的部分图象如图所示 （ ）写出函数 f（ x）的最小正周期及其单调递减区 间； （ ）求 f（ x）的解析式 19已知函数 （ ）求 的值； （ ）求 f （ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求 f （ x）的值域 20已知函数 f（ x） =a x，（ a 1， xR） （ ） 判断并证明函数 f（ x）的奇偶性； （ ）判断并证明函数 f（ x）的单调性； （ ）若 f（ 1 t） +f（ 1 0，求实数 t 的取值范围 2015年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=1， 2， B=2， 3， 4，那么集合 AB 等于（ ） A 2 B 2， 3 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 根据题意，由集合 A、 B，分析可得其公共元素为 2，即其交集 AB=2，即可得答案 【解答】 解：根据题意，集合 A=1， 2， B=2， 3， 4， 则 AB=2； 故选： A 【点评】 本题考查集合的交集运算，关键是理解集合交集的定义，注意 集合的表示形式 2若角 是第四象限的角，则（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【考点】 象限角、轴线角 【专题】 计算题 【分析】 根据三角函数在各个象限的三角函数值的符号，直接判断选项即可 【解答】 解：因为角 是第四象限的角，所以 0， 0， 0， 0； 故选 B 【 点评】 本题是基础题，考查三角函数在各个象限的三角函数值的符号，送分题 3函数 y=最小正周期是（ ） A B 2 C D 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题；数形结合；三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数的周期性及其求法运算可得结果 【解答】 解：函数 y=最小正周期是： =2， 故选： B 【点评】 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题 4 2（ ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦 【专题】 三角函数的求值 【分析】 直接利用二倍角的正弦函数化简求值即可 【解答】 解： 2 故选： A 【点评】 本题考查二倍角的正弦函数，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力 5下列函数中，在区间（ ， 0）上是减函数的是（ ） A y= y=2x C y= y=考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据二次函数、指数函数及 y=单调性，以及对数函数的定义域便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： y= ， 0）上是减函数， y=2x和 y=（ ， 0）上都是增函数， y=（ ， 0）上 不存在； 在区间（ ， 0）上是减函数的是 A 故选： A 【点评】 考查二次函数，指数函数和 y=单调性，要熟悉 y=图象，以及对数函数的定义域 6函数 y=1+图象（ ） A关于 x 轴对称 B关 于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 x= 对称 【考点】 余弦函数的图象 【专题】 常规题型 【分析】 根据余弦函数 y=偶函数关于 y 轴对称可得答案 【解答】 解： 余弦函数 y=偶函数 函数 y=1+偶函数，故关于 y 轴对称， 故选 B 【点评】 本题主要考 查余弦函数的图象和性质对正余弦函数的图象和性质一定要熟练掌握，这样才能做到游刃有余 7为了得到函数 y=x+x 的图象，可以将函数 y= 图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 利用三角恒等变换可得 y=x+ ），由函数 y=x+）的图象变换规律即可得解 【 解答】 解： y=x+ ）， 将函数 y= x 的图象向左平移 个单位，即可得到函数 y=x+ ）的图象 故选： D 【点评】 本题考查三角恒等变换的应用，考查函数 y=x+）的图象变换，求得y=x+ ）是关键，考查运算求解能力，属于中档题 8函数 的零点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 函数的零点 【专题】 计算题 【分析】 根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零 点的个数，然后得到整个函数的零点个数 【解答】 解：当 x0 时， f（ x） =x 3，令 f（ x） =0 解得 x= 3 或 1（正值舍去） 当 x 0 时， f（ x） =2，令 f（ x） =0 解得 x=零点个数为 2，分别为 3、 选 C 【点评】 本题主要考查了分段函数的零点，解题常用的方法就是分段研究函数的零点，同时考查了运算求解的能力，属于基础题 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9若函数 f（ x） =2x 1，则 f（ 3） = 5 【考点】 函数的值 【专题 】 计算题；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用函数性质求解 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x 1， f（ 3） =23 1=5 故答案为： 5 【点评】 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 10 = 【考点】 诱导公式的作用 【专题】 计算题 【分析】 根据 = ） =运算求得结果 【解答】 解： = ） = ， 故答案为 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题 11已知角 的终边 经过点 ，则 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 根据题意任意角三角函数的定义即可求出 【解答】 解：由 的终边经过点 ，可知 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查任意角三角函数的定义，掌握任意角三角函数的定义是解题的关键 12不等式 x 0 的解集为 （ 0， 1） 【考点】 一元二次不等式的解法 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 因式分解即可求出不等式的解集 【解答】 解： x 0 的 即 x（ x 1） 0； 解得 0 x 1 原 不等式的解集为（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的方法步骤进行解答，是基础题 13 2 3， 3 ， 个数中最大数的是 【考点】 不等式比较大小 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 运 用指数函数和对数函数的单调性，可得 0 2 3 1， 1 3 2， ，即可得到最大数 【解答】 解：由于 0 2 3 1， 1 3 2， ， 则三个数中最大的数为 故答案为： 【点评】 本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题 14设 f （ x）是定义在 R 上的偶函数，若 f（ x）在 0， +）是增函数，且 f（ 2） =0，则不等式 f（ x+1） 0 的解集为 （ ， 3） （ 1， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由已知中函数 f（ x）是定义在实数集 R 上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合 f（ x）上在（ 0， +）为单调增函数，易判断 f（ x）在（ ， 0上的单调性，根据单调性的定义即可求得 【解答】 解：由题意， x+1 2 或 x+1 2，解得 x 1 或 x 3， 故答案为：（ ， 3） （ 1， +） 【点评】 本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断f（ x）在（ ， 0上的单调性是解答本题的关键 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知集合 A=x| 5 x ， B=x|x 1 或 x 2， U=R （ ）求 AB； （ ）求 A（ 【考点】 交 、并、补集的混合运算；交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 根据集合的交补的定义即可直接求出 【解答】 解：（ ） 集合 A=x| 5 x ， B=x|x 1 或 x 2， AB=x| 5 x 1 （ ） U=R， B=x|x 1 或 x 2， x|1x2 A（ =x|1x 【点评】 本题考查了集合的基本运算，关键是掌握其定义，属于基础题 16已知函数 （ ）求 f（ x）定义域； （ ）证明 f（ x）在（ 0， +）上是减 函数 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）容易看出 x 满足 x0，从而便可得出函数 f（ x）的定义域； （ ）根据减函数的定义，设任意的 0，然后作差，通分，便可得到，从而证明 f（ f（ 得出 f（ x）在（ 0， +）上为减函数 【解答】 解：（ ）要使函数 f（ x）有意义，只要使 x0； f（ x）的定义域为 x|xR，且 x0； （ ）证明：设 0，则： = ； 0； 0，且 0； f（ f（ 函数 f（ x）在（ 0， +）上是减函数 【点评】 考查函数定义域的概念及求法，奇函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较 f（ f（ 作差后为分式的一般要通分 17已知 ，且 （ ）求 （ ）求 的值 【考点】 两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 （ ）利用同角三角函数基本关系式即可求得 （ ）利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可计算求值 【解答】 （本题满分 13 分） 解：（ ） ，且 ， （ 5 分） （ ）由（ ）知 ， ， ， = （ 13 分） 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 18已知函数 的部分图象如图所示 （ ）写出函数 f（ x）的 最小正周期及其单调递减区间； （ ）求 f（ x）的解析式 来源 :【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）根据函数的图象可得 = ，由此求得周期 T 的值设所给的图象中最低点的横坐标为 a，由函数的周期性求得 a 的值，结合图象写出函数的单调减区间 （ ）由周期 T 求得 =2，再由点（ ， 0）在函数的图象上可得 2 +） =0，根据 的范围求得 的值 【解答】 解：（ ）根据函数 的部分图象可得= ， 由此解得函数的最小正周期为 T= 设所给的图象中最低点的横坐标为 a，由题意可得 = ， a= 由于 = = ，故函数的一个单调减区间为 ， ， 故函数的单调减区间为 ， ， kz （ ） T= ，可得 =2再由点（ ， 0）在函数的图象上，可得 2 +） =0 由于 | ， = ，故 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于中档题 19已知函数 （ ）求 的值； （ ）求 f （ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求 f （ x）的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 综合题；函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）代值计算可得； （ ）由三角函数公式化简可得 y=22x ），解 可得； （ ）由 可得 ，可得 ，由不等式的性质可得函数的值域 【解答】 解：（ ） f（ x） = = ； （ ） = 当 时，函数单调递增， 解得函数的单调增区间为 ； （ ） ， ， 又 ， ， ，故函数的值域为 ， 2 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和值域，属基础题 20已知函数 f（ x） = a x，（ a 1， xR） （ ） 判断并证明函数 f（ x）的奇偶性； （ ）判断并证明函数 f（ x）的单调性； （ ）若