高考数学 8.3 圆的方程课件 文 新人教A版 .ppt

第三节圆的方程 三年6考高考指数 1 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 2 初步了解用代数方法处理几何问题 1 圆的方程的求法 圆的几何性质是高考的重点 2 常和圆的几何性质结合 重点考查待定系数法 方程的曲线与曲线的方程的概念 3 题型多以选择题和填空题为主 有时与其他知识点交汇 1 圆的定义 方程 1 在平面内到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 2 确定一个圆的基本要素是 和 3 圆的标准方程 两个条件 圆心 a b 标准方程 x a 2 y b 2 r2 定点 定长 圆心 半径 半径r 4 圆的一般方程 一般方程 x2 y2 dx ey f 0 方程表示圆的充要条件为 圆心坐标 半径r d2 e2 4f 0 即时应用 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 2 圆x2 2x y2 3 0的圆心到直线x y 3 0的距离为 3 当a为任意实数时 直线 a 1 x y a 1 0恒过定点c 则以c为圆心 为半径的圆的方程为 解析 1 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 所以a2 2a 2 4 2a2 a 1 0 解得 2 a 2 x2 2x y2 3 0的圆心坐标为 1 0 它到直线x y 3 0的距离为 3 直线方程变为 x 1 a x y 1 0 由得 c 1 2 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 即 x2 y2 2x 4y 0 答案 1 2 a 2 1 3 x2 y2 2x 4y 0 2 点与圆的位置关系 1 理论依据 与 的距离与半径的大小关系 2 三个结论 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 点在圆上 点在圆外 点在圆内 点 圆心 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 即时应用 1 思考 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0上 则x02 y02 dx0 ey0 f满足什么条件 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0内 则x02 y02 dx0 ey0 f满足什么条件 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则x02 y02 dx0 ey0 f满足什么条件 提示 x02 y02 dx0 ey0 f 0 x02 y02 dx0 ey0 f 0 x02 y02 dx0 ey0 f 0 2 已知点a 0 0 在圆 x2 y2 2ax a2 a 2 0外 则a的取值范围是 解析 因为方程x2 y2 2ax a2 a 2 0表示圆 所以 2a 2 4 a2 a 2 0 解得 a 2 又因为点a 0 0 在圆外 所以a2 a 2 0 解得 a 2或a 1 综上可得1 a 2或a 2 答案 1 a 2或a 2 3 已知点a 1 2 在圆 x2 y2 ax 2y b 0上 且点a关于直线x y 0的对称点b也在圆上 则a b 解析 方法一 点a 1 2 关于直线x y 0的对称点为b 2 1 又因为a b两点都在圆上 所以解得 方法二 易知圆心在y x上 1 即a 2 又 点a 1 2 在圆x2 y2 2x 2y b 0上 12 22 2 1 2 2 b 0 b 1 答案 21 求圆的方程 方法点睛 1 求圆的方程的方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任意一弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 例1 1 过点a 6 5 b 0 1 并且圆心在直线3x 10y 9 0上的圆的方程为 2 求经过点a 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点b 8 6 的圆的方程 解题指南 1 因为圆心在弦的垂直平分线上 所以解方程组 求出圆心 再求出半径 即得圆的方程 2 可先设圆心坐标为c a b 由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a b的两个方程 解方程组即可得到圆心坐标 再求出半径 得出圆的方程 也可直接求出圆心坐标 再求出半径 得出圆的方程 规范解答 1 因为圆经过a b两点 所以 圆心在ab的垂直平分线上 而ab的垂直平分线方程为 3x 2y 15 0 解方程组得 所以圆心坐标为 c 7 3 又 bc 所以 所求圆的方程为 x 7 2 y 3 2 65 答案 x 7 2 y 3 2 65 2 方法一 设圆心坐标为c a b 依题意得 解得 半径r 因此 所求圆的方程为 方法二 依题意得 圆心在ab的垂直平分线上 而ab的垂直平分线方程为 x y 4 0 又因为圆心也在过b且与直线l垂直的直线上 而此直线方程为 3x y 18 0 解方程组得 以下同方法一 互动探究 本例 2 中 经过点a 2 4 改为 圆心在直线x y 4 0上 结果如何 解析 方法一 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 依题设有解得因此 所求圆的方程为 方法二 依题设可知 圆心也在过切点b 8 6 且与l垂直的直线上 其斜率为3 所以方程为y 6 3 x 8 即3x y 18 0 又圆心在x y 4 0上 由得圆心半径因此 所求圆的方程为 反思 感悟 1 从题组求解可以看出 确定一个圆的方程 需要三个独立的条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答与圆有关的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 变式备选 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程是 解析 因为圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 所以 直径的两个端点坐标为 4 0 0 6 所以 圆的半径为圆的方程为 x 2 2 y 3 2 13 答案 x 2 2 y 3 2 13 与圆有关的最值问题 方法点睛 与圆有关的最值问题 常见的有以下类型 1 形如型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 2 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点的距离平方的最值问题 例2 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解题指南 充分利用所求代数式的几何意义 运用几何法求解 为点 x y 与原点连线的斜率 而y x表示动直线y x b的纵截距 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 也可以消去一个元 转化为在函数定义域内求最值 规范解答 1 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 的几何意义为点 x y 与原点连线的斜率 所以设 k 即y kx 当直线与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时解得k 所以的最大值为最小值为 2 y x可看作直线y x b在y轴上的截距 当直线与圆相切时 直线y x b在y轴上的截距取最大值或最小值 此时解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 方法一 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 由平面几何知识可知 原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值 又圆心到原点的距离为2 故 x2 y2 max x2 y2 min 方法二 由x2 y2 4x 1 0得 y2 x2 4x 1 且 x2 4x 1 0 即 x2 y2 x2 x2 4x 1 4x 1 x2 y2 max x2 y2 min 反思 感悟 1 本题三问都是求代数式的最值 它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式 通过解方程即可得出结论 2 解答圆的最值问题 应注意数形结合 充分运用直线的斜率 在坐标轴上的截距 几何性质 来寻找解题思路 变式训练 已知点p x y 在圆x2 y 1 2 1上运动 则的最大值为 最小值为 解析 的几何意义表示圆上的动点与 2 1 连线的斜率 所以设 k 即kx y 1 2k 0 当直线与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时解得k 所以的最大值为最小值为 答案 变式备选 若点p x y 是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 求 x 2 2 y 4 2的最大值 最小值 解析 方法一 x 2 2 y 4 2表示圆上的点到定点 2 4 的距离的平方 因为圆心 1 0 到点 2 4 的距离为所以 圆上的点到点 2 4 的距离的最大值为6 最小值为4 因此 x 2 2 y 4 2的最大值为36 最小值为16 方法二 因为点p x y 是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 所以可设则 x 2 2 y 4 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 故 x 2 2 y 4 2的最大值为36 x 2 2 y 4 2的最小值为16 与圆有关的轨迹问题 方法点睛 1 求轨迹方程的基本步骤第一步 建立适当的平面直角坐标系 设曲线上任意点的坐标为m x y 第二步 写出适合已知条件的点m的集合p m p m 第三步 用坐标表示p m 列出方程f x y 0 第四步 化简方程f x y 0为最简形式 2 求与圆有关的轨迹方程的方法 提醒 注意轨迹与轨迹方程的区别 例3 长为2a的线段ab的两端点a b分别在x轴和y轴上滑动 求线段ab中点的轨迹方程 解题指南 可设ab的中点坐标为 x y 再求出a b的坐标 由距离公式及线段ab的长即可得出方程 还可由ab的中点与坐标原点的距离为定长 得出轨迹为圆 从而得出方程 规范解答 方法一 设ab的中点坐标为 x y 因为线段ab的两端点a b分别在x轴和y轴上滑动 所以a b两点的坐标分别为a 2x 0 b 0 2y 因为线段ab长为2a 所以化简得 x2 y2 a2 方法二 设ab的中点坐标为 x y 依题设知 ab的中点到原点的距离为a 所以其轨迹为以原点为圆心 以a为半径的圆 其方程为x2 y2 a2 反思 感悟 1 求点的轨迹时 关键是发现点满足的几何条件 寻找等式 得出方程 另外 注意圆的定义的应用 如果轨迹是圆 则可由圆心及半径直接写出圆的方程 2 解答轨迹问题时 要注意验证应该删除的点或遗漏的点 以防增解或漏解 变式训练 已知圆c x 1 2 y 1 2 9 过点a 2 3 作圆c的任意弦 求这些弦的中点p的轨迹方程 解析 方法一 直接法设p x y 由题意知圆心c 1 1 p点是过点a的弦的中点 又 2 x 3 y 1 x 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 0 p点的轨迹方程为 方法二 定义法由已知知 pa pc 由圆的性质知点p在以ac为直径的圆上 又圆心c 1 1 而ac中点为 2 ac 所以半径为所求动点p的轨迹方程为 满分指导 与圆的方程有关的解答题的规范解答 典例 12分 2011 新课标全国卷 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 1 求圆c的方程 2 若圆c与直线x y a 0交于a b两点 且oa ob 求a的值 解题指南 1 可先求出曲线与坐标轴的交点坐标 再求圆的方程 2 直线与圆的方程联立 由 0即可求出a的值 规范解答 1 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点为 0 1 3 0 2分故可设圆的圆心坐标为 3 t 则有32 t 1 2 2 2 t2 解得 t 1 4分则圆的半径为所以圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9 6分 2 设a x1 y1 b x2 y2 其坐标满足方程组消去y得到方程 2x2 2a 8 x a2 2a 1 0 由已知可得判别式 2a 8 2 4 2 a2 2a 1 56 16a 4a2 0 由根与系数的关系可得 9分 由oa ob可得 x1x2 y1y2 0 又y1 x1 a y2 x2 a 所以2x1x2 a x1 x2 a2 0 由 可得a 1 满足 0 故a 1 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 安徽高考 若直线3x y a 0过圆x2 y2 2x 4y 0的圆心 则a的值为 a 1 b 1 c 3 d 3 解析 选b 圆的方程x2 y2 2x 4y 0可变形为 x 1 2 y 2 2 5 所以圆心坐标为 1 2 代入直线方程得a 1 2 2012 烟台模拟 直线2x y 0与y轴的交点为p 点p把圆 x 1 2 y2 25的直径分为两段 则其长度之比为 解析 选a 直线2x y 0与y轴的交点p 0 p与圆心 1 0 的距离为2 而圆的半径为r 5 点p将圆的直径分为3 7两段 故长度之比为 3 2012 柳州模拟