高中数学 （主干知识+典例精析）2.6指数与指数函数课件 理 新人教B版.ppt

第六节指数与指数函数 三年4考高考指数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 1 幂的运算 指数函数的概念及其图象 单调性是高考考查的热点 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 考查分类讨论思想和数形结合思想 3 多以选择 填空题形式出现 但若与导数交汇命题则以解答题形式出现 1 根式 1 根式的概念 如果xn a 那么x叫做a的n次方根 n 1且n n 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 a 0 负数没有偶次方根 2 两个重要公式 n n 1 且n n 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a a 即时应用 1 若x4 16 则x的值为 2 化简下列各式结果分别为 解析 1 x 2答案 1 2 2 4 4 a 2 1 aa 1 0a 1 3a 1a 1 a ba b0a bb aa b 2 有理指数幂 1 分数指数幂的含义 正分数指数幂 a 0 a 0 m n n 且为既约分数 负分数指数幂 a 0 m n n 且为既约分数 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 没有意义 0 2 有理指数幂的运算法则设a 0 b 0 对任意有理数 有以下运算法则a a a ab 上述有理指数幂的运算性质 对于无理指数幂也适用 a a a b 即时应用 1 判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确 请在括号中填 或 x 2 化简 x 0 y 0 得 3 化简的结果是 解析 1 故不正确 故不正确 故正确 当x 0时 故不正确 2 3 原式 答案 1 2 2x2y 3 a4 3 指数函数的概念 1 解析式 2 自变量 3 定义域 y ax a 0 且a 1 r x 即时应用 1 判断下列函数是否为指数函数 填 是 或 否 y 3 2x y ax y 2a 1 x a 且a 1 2 若函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则实数a的值为 解析 1 根据指数函数的定义知只有 符合指数函数的定义 其余均不是 a2 3a 3 1 2 由已知 解得 a 2a 0且a 1 答案 1 否 否 否 是 2 2 4 指数函数的图象与性质 r 0 过定点 0 1 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 当x 0时 01 在r上是增函数 在r上是减函数 0 1 y ax y 1 y 1 y ax 0 1 即时应用 1 如图是指数函数 y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 2 函数f x 3 x 1的定义域 值域分别是 3 设y1 40 9 y2 80 48 则y1 y2 y3的大小关系为 4 函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 中的最大值比最小值大则a的值为 5 函数y ax 2012 2012 a 0 且a 1 的图象恒过定点 解析 1 在图中画出直线x 1 分别与 交于a b c d四点 是a 1 a b 1 b c 1 c d 1 d 由图象可知c d 1 a b 2 定义域为r 故值域为 1 3 y1 40 9 21 8 y2 80 48 23 0 48 21 44 y3 21 5 函数y 2x是增函数 又 1 8 1 5 1 44 y1 y3 y2 4 当01时 有解得 5 y ax a 0且a 1 恒过定点 0 1 y ax 2012 2012恒过定点 2012 2013 答案 1 b a 1 d c 2 r 1 3 y1 y3 y2 4 5 2012 2013 幂的运算 方法点睛 幂的运算的一般规律及要求 1 分数指数幂不表示相同因式的乘积 而是根式的另一种写法 分数指数幂与根式可以相互转化 2 分数指数幂不能随心所欲地约分 例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定 如 3 在进行幂和根式的化简时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 并尽可能地统一成分数指数幂形式 再利用幂的运算性质进行化简 求值 计算 例1 计算下列各式的值 1 2 解题指南 先将根式化为分数指数幂 底数为小数的化成分数 负分数指数化为正分数指数 然后根据幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 2 原式 反思 感悟 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数运算性质 变式训练 计算下列各式的值 1 2 解析 1 2 指数函数图象的应用 方法点睛 1 应用指数函数图象求解指数型函数性质对指数型函数的图象与性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的处理往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合 使问题得解 2 指数型方程 不等式的图象解法一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 提醒 在利用指数函数图象解决上述问题时 图象形状 趋势及经过的特殊点要准确 否则数形结合时易产生误解 例2 已知f x 2x 1 1 求f x 的单调区间 2 比较f x 1 与f x 的大小 3 试确定函数g x f x x2零点的个数 解题指南 1 作出f x 的图象 数形结合求解 2 在同一坐标系中分别作出f x f x 1 的图象 数形结合求解 3 在同一坐标系中分别作出函数f x 与y x2的图象 数形结合求解 规范解答 1 由f x 2x 1 可作出函数的图象如图 因此函数f x 在 0 上递减 函数f x 在 0 上递增 2x 1 x 01 2x x 0 1 2 在同一坐标系中分别作出函数f x f x 1 的图象 如图所示 1 2 1 1 x0 由图象知 当时 解得两图象相交 从图象可见 当时 f x f x 1 当时 f x f x 1 当时 f x f x 1 3 将g x f x x2的零点转化为函数f x 与y x2图象的交点问题 在同一坐标系中分别作出函数f x 2x 1 和y x2的图象如图所示 有四个交点 故g x 有四个零点 y 1 y x2 y f x o 反思 感悟 对于指数型函数的单调性 最值 零点及指数型方程 不等式能用数形结合求解的尽量用数形结合法求解 但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确 否则很容易失误 如本例 3 变式训练 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 解析 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有唯一的交点 所以方程有一解 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同交点 所以方程有两解 变式备选 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 a 1 的图象有两个公共点 求实数a的取值范围 解析 分底数01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象 如图 从图中可以看出 只有当0 a 1 且0 2a 1 即0 a 时 两函数才有两个交点 所以0 a 指数函数性质的应用 方法点睛 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 1 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小 2 与指数函数有关的指数型函数定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 与前面所讲一般函数的求解方法一致 只需根据条件灵活选择即可 例3 1 函数的定义域是 2 函数的单调递减区间为 值域为 3 2012 金华模拟 已知函数 a 0且a 1 求f x 的定义域和值域 讨论f x 的奇偶性 讨论f x 的单调性 解题指南 根据待求的指数型函数的结构特征 选择恰当的求函数定义域 值域 最值 单调区间 奇偶性的方法求解 规范解答 1 由题意知 32x 1 3 3 2x 1 3 x 1 即定义域是 1 答案 1 2 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而在r上为单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 又g x x 2 2 7 7 答案 2 3 7 3 f x 的定义域是r ax 0 解得 1 y 1 f x 的值域为 y 1 y 1 f x 是奇函数 设x1 x2是r上任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 当a 1时 从而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的增函数 当 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的减函数 互动探究 若将本例 2 中函数f x 变为且其最大值为3 求a的值 解析 令h x ax2 4x 3 由于f x 有最大值3 为r上的减函数 所以h x 应有最小值 1 因此必有即当f x 有最大值3时 解得a 1 反思 感悟 在求解与指数函数有关的函数的性质问题时 要根据解析式的结构特征 根据待求问题 选择适当的方法求解 但对复合函数一定要注意其定义域 变式备选 已知定义域为r的函数是奇函数 1 求a b的值 2 若对任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 解析 1 f x 是奇函数 且定义域为r f 0 0 即解得b 1 从而有又由f 1 f 1 知解得a 2 经检验a 2适合题意 所求a b的值为2 1 2 由 1 知由上式易知f x 在r上为减函数 又 f x 是奇函数 不等式f t2 2t f 2t2 k 2t2 k对一切t r恒成立 即3t2 2t k 0 4 12k 0 解得 易错误区 指数函数图象 性质的应用误区 典例 2012 广州模拟 已知函数 a b是常数且a 0 a 1 在区间上有ymax 3 ymin 试求a b的值 解题指南 先确定t x2 2x在上的值域 再分a 1 0 a 1两种情况讨论 构建a b的方程组求解 规范解答 x t x2 2x x 1 2 1 值域为 1 0 即t 1 0 1 若a 1 函数y at在r上为增函数 2 若0 a 1 函数y at在r上为减函数 阅卷人点拨 通过对试题的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 山东高考 若点 a 9 在函数y 3x的图象上 则的值为 a 0 b c 1 d 解析 选d 因为点 a 9 在函数y 3x的图象上 所以3a 9 a 2 所以 2 2012 威海模拟 函数的值域是 a 0 b 0 2 c 0 2 d 0 2 解析 选c 4 2x 0 x 2 0 2x 4 4 2x 0 函数的值域为 0 2 3 2011 湖北高考 已知定义在r上的奇函数f x 和偶函数g x 满足f x g x ax a x 2 a 0 且a 1 若g 2 a 则f 2 a