高中数学 5.1平面向量的概念及运算配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节平面向量的概念及运算 三年8考高考指数 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 2 掌握向量的加法和减法 3 掌握实数与向量的积 理解两向量共线的充要条件 4 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 1 平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点 也是热点 难度中等偏下 2 题型以客观题为主 与解析几何交汇命题则以解答题为主 1 向量的有关概念 1 定义 既有 又有 的量叫做向量 2 表示方法 用 来表示向量 有向线段的长度表示向量的 用箭头所指的方向表示向量的 用a b 或用 来表示 3 模 向量的 叫做向量的模 记作 a b 或 大小 方向 有向线段 大小 方向 长度 即时应用 1 判断下列命题的真假 请在括号中填写 真 或 假 向量的大小是实数 向量可以用有向线段表示 向量就是有向线段 向量的长度和向量的长度相等 2 请写出物理中的三个向量 解析 1 向量是既有大小又有方向的量 向量的大小为实数 故 为真 向量可以用有向线段来表示 有向线段的长度为向量的大小 有向线段的方向为向量的方向 所以 为真 为假 与是大小相等 方向相反的向量 故 为真 2 由向量的定义可知 物理中的速度 力 加速度等都为向量 答案 1 真 真 假 真 2 速度 力 加速度 答案不唯一 2 特殊向量 长度为0的向量 其方向是任意的 记作 长度等于1个单位长度的向量 方向相同或相反的非零向量 平行向量也叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 与任一向量平行或共线 即时应用 1 判断下列命题的真假 请在括号中填写 真 或 假 若a与b平行 则b与a方向相同或相反 若a与b平行同向 且 a b 则a b a b 与a b的方向没有关系 2 把平面上一切单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点所构成的图形是 解析 1 假 当a为零向量时 方向是不确定的 假 向量不能比较大小 真 向量a与b的模相等 即长度相等 与方向无关 2 这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心 以单位1为半径的圆 答案 1 假 假 真 2 圆 3 平面向量的线性运算 三角形法则 平行四边形法则 1 交换律 2 结合律 三角形法则 1 2 当 0 或 0 时 与的方向相同 或相反 当 0时 即时应用 1 判断下列命题是否正确 请在括号中填 或 0 0 2 若菱形abcd的边长为2 则 3 8 a c 7 a c c 2a 8b 4b 2b 解析 1 不正确 因为 正确 因为 0 正确 因为 0 2 3 8 a c 7 a c c 8a 8c 7a 7c c 15a 2a 8b 4b 2b 2a 8b 6b a 2b 答案 1 2 2 3 15a a 2b 4 平面向量的坐标运算 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b a b 2 如果a x1 y1 b x2 y2 则 3 若a x y 为实数 则 a 当时 表示a方向上的单位向量 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 x y 即时应用 1 已知a 1 1 b 1 1 则 2 已知点a 1 5 和向量a 2 3 若 3a 则点b的坐标为 3 设a 1 2 b 1 1 c 3 2 且c pa qb 则实数p q的值分别为 解析 1 a b 2 设b x y 则 x y 1 5 3 2 3 x y 1 5 6 9 5 4 3 3 2 p 1 2 q 1 1 p q 2p q 答案 1 2 5 4 3 14 5 向量共线定理及平面向量基本定理 1 两向量共线定理 内容 向量b与a a 0 共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 坐标表示 设b x1 y1 a x2 y2 则a b a 0 x1y2 x2y1 0 b a 2 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使 其中 的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 不共线 a 1e1 2e2 不共线 基底 即时应用 1 思考 在共线向量定理中 当a 0时 还唯一吗 提示 当a 0且b 0时 可以为任意实数 不唯一 当a 0且b 0时 不存在 2 已知a 1 3 b x 1 且a b共线 则x 解析 a b 1 2 3x 0 x 答案 3 设a 1 1 b 1 0 若向量 a b与向量c 2 1 共线 则 解析 a b 1 1 1 0 1 又 a b c 1 1 2 0 1 答案 1 平面向量的有关概念及线性运算 方法点睛 1 平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键 特别是对相等向量 零向量等概念的理解要到位 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2 平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法 共起点的向量和用平行四边形法则 差用三角形法则 3 几个重要结论 1 相等向量具有传递性 非零向量的平行具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 3 平行向量与起点无关 4 向量的中线公式 若p为线段ab中点 则 5 向量加法的多边形法则 提醒 向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的 当两个向量共线 平行 时 三角形法则同样适用 平行四边形法则就不适用了 例1 1 已知下列命题 若a与b是共线向量 b与c是共线向量 则a与c是共线向量 两个有共同起点而长度相等的非零向量 它们的终点必相同 由于0方向不确定 故0不能与任意向量平行 如果a b b c 则a c 如果 a b 则a与b的方向相同 其中不正确的命题是 请把不正确的命题的序号都填上 2 在 abc中 若d是ab边上一点 且 则 a b c d 若 则 解题指南 1 以概念为判断依据 或通过举反例说明其不正确 2 点d是ab边上 靠近b 的三等分点 把用表示 由可得 abc为正三角形 是该正三角形高的2倍 规范解答 1 当b 0时 a与c可以为任意向量 故 不正确 两个有共同起点而长度相等的非零向量 如果它们的方向相同 则它们的终点必相同 否则终点不相同 故 不正确 规定0与任意向量平行 故 不正确 如果a b c都为零向量 则a c 如果a b c为非零向量 则它们的长度都相等 方向相同 所以a c 故 正确 不正确 答案 2 选a 所以 故选a abc是边长为2的正三角形 为三角形高的2倍 所以答案 互动探究 若本例 2 中的条件作如下改变 若点d是ab边延长线上一点且 若则 的值为 解析 由题意知 b为ad中点 又又 2 1 3 答案 3 反思 感悟 1 平面向量的基本概念较多 比较容易遗忘 复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆 还可以与物理中 生活中的模型进行类比和联想来记忆 2 用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础 除了利用向量的线性运算法则外 还应充分利用平面几何的一些定理 如三角形的中位线定理 相似三角形的对应边成比例等 变式备选 给出下列命题 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 a 0 为实数 则 必为零 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选c 错误 两向量共线要看其方向而不是起点或终点的位置 正确 因为向量既有大小 又有方向 故它们不能比较大小 但它们的模均为实数 故可以比较大小 错误 当a 0时 不 为何值 a 0 错误 当 0时 a b 此时a与b可以是任意向量 共线向量定理的应用 方法点睛 1 共线向量定理及应用 1 可以利用共线向量定理证明向量共线 也可以由向量共线求参数的值 2 若a b不共线 则 a b 0的充要条件是 0 这一结论结合待定系数法应用非常广泛 2 证明三点共线的方法若 则a b c三点共线 3 利用两向量共线解题的技巧 1 一般地 在求与一个已知向量a共线的向量时 可设所求向量为 a r 然后结合其他条件列出关于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 2 如果已知两向量共线 求某些参数的取值时 则利用 若a x1 y1 b x2 y2 则a b b 0 的充要条件是x1y2 x2y1 解题比较方便 提醒 1 注意0的方向是任意的 2 若a b为非零向量 当a b时 a b的夹角为0 或180 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错 例2 1 2012 南宁模拟 已知a b不共线 a b c d e 设t r 如果3a c 2b d e t a b 若存在实数t使c d e三点在一条直线上 则t 2 已知a 1 0 b 2 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 若 2a 3b a mb且a b c三点共线 求m的值 解题指南 1 先假设存在 再用a b表示目标向量 最后判断是否有成立即可 2 利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可 可引入参数 使求m 或利用 的坐标形式求m 规范解答 1 若存在 由题设知 d c 2b 3a e c t 3 a tb c d e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k 使得 即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 因为a b不共线 所以有解之得t 故存在实数t 使c d e三点在一条直线上 答案 2 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得k 方法一 a b c三点共线 即2a 3b a mb 解得 方法二 2a 3b 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 m 反思 感悟 1 第 1 小题 注意待定系数法在解决此类问题中的应用 其中的k只是桥梁 可设而不求 应用待定系数法求t的值时 不可忽视a b不共线的条件 2 第 2 小题第一问 利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键 第二问 若 则a b c三点共线 注意这一结论的应用 变式训练 1 已知向量 3 4 6 3 5 m 3 m 若点a b c能构成三角形 则实数m满足的条件是 解析 因为 3 4 6 3 5 m 3 m 所以 3 1 m 1 m 由于点a b c能构成三角形 所以与不共线 而当与共线时 有解得m 故当点a b c能构成三角形时实数m满足的条件是m 答案 m 2 设e1与e2是两个不共线的非零向量 若向量 3e1 2e2 2e1 4e2 2e1 4e2 试证明 a c d三点共线 证明 3e1 2e2 2e1 4e2 e1 2e2 e1 2e2 又 2e1 4e2 2 与共线 a c d三点共线 变式备选 向量a x 1 b 9 x 若a与b方向相反 则x 解析 由题意得a b 所以x2 9 所以x 3 又因为a与b方向相反 所以x 3 答案 3 平面向量基本定理及其应用 方法点睛 用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用平面几何的一些性质定理 例3 如图所示 在平行四边形abcd中 m n分别为dc bc的中点 已知 c d 试用c d表示 解题指南 直接用c d表示有难度 可换一个角度 由表示进而求 规范解答 方法一 设 a b 则a d b b c a 将 代入 得a d c a a d c 代入 得b c d c c d d c c d 方法二 设 a b 因为m n分别为dc bc的中点 所以b a 因而即 d c 反思 感悟 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 变式训练 已知梯形abcd 如图所示 m n分别为ad bc的中点 设 e1 e2 试用e1 e2表示 解析 又又由得 变式备选 如图 在平行四边形abcd中 e f分别是bc dc的中点 g为bf de的交点 若试用a b来表示 解析 连结bd 由题易知g是 cbd的重心 所以 易错误区 忽视向量平行的充要条件导致错误 典例 2011 湖南高考 设向量a b满足 a b 2 1 且a与b的方向相反 则a的坐标为 解题指南 设a b 0 利用 a 列出关于 的方程求解即可 规范解答 a与b方向相反 可设a b 0 a 2 1 2 由 a 解得 2 或 2 舍 故a 4 2 答案 4 2 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 上海高考 设a1 a2 a3 a4是平面上给定的4个不同点 则使成立的点m的个数为 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 选b 方法一 取特殊值 令a1 0 0 a2 0 1 a3 1 1 a4 1 0 则满足的条件的点有且仅有1