高考数学 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系配套课件 文 新人教A版 .ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 三年10考高考指数 1 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系 特别是直线与圆相切是高考的重点 2 常与直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的几何性质结合 重点考查待定系数法 直线与圆的位置关系 3 题型以选择题和填空题为主 属中低档题目 有时与其他知识点交汇在解答题中出现 1 直线与圆的位置关系 1 从方程的观点判断直线与圆的位置关系 即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组 转化成一元二次方程 利用判别式 判断位置关系 2 从几何的观点判断直线与圆的位置关系 即利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系 即时应用 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的 条件 2 已知点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y r2与此圆的位置关系是 解析 1 当k 1时 圆心到直线的距离d 此时直线与圆相交 若直线与圆相交 则 解得 0 内的一点 所以x02 y02 r2 圆心到直线x0 x y0y r2的距离 所以直线与圆相离 答案 1 充分不必要 2 相离 2 圆与圆的位置关系设圆o1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆o2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 即时应用 1 思考 若两圆相交时 公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系 提示 两圆的方程作差 消去二次项得到关于x y的二元一次方程 就是公共弦所在的直线方程 2 判断下列两圆的位置关系 x2 y2 2x 0与x2 y2 4y 0的位置关系是 x2 y2 2x 4y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的位置关系是 x2 y2 4x 2y 4 0与x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系是 解析 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 所以 两圆圆心距 o1o2 而两圆的半径之和r1 r2 1 2 3 两圆的半径之差r2 r1 2 1 1 所以r2 r1 o1o2 r1 r2 即两圆相交 因为两圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 x 2 2 y 2 2 9 所以 两圆圆心距 o1o2 而两圆的半径之和r1 r2 2 3 5 o1o2 r1 r2 即两圆外切 因为两圆的方程可化为 x 2 2 y 1 2 9 x 2 2 y 1 2 1 所以 两圆圆心距 o1o2 而两圆的半径之差r1 r2 3 1 2 o1o2 r1 r2 即两圆内切 答案 相交 外切 内切 方法点睛 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 将直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程 2 求上述方程的判别式 并判断其符号 3 得出结论 直线与圆的位置关系 2 几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 1 求出圆心到直线的距离d 2 判断d与半径的大小关系 3 得出结论 提醒 有些题目用以上方法无法解决或解决起来比较困难时 也可考虑直线所过定点与圆心的距离之间的关系 例1 1 直线l y 1 k x 1 和圆x2 y2 2y 0的位置关系是 2 若经过点a 4 0 的直线l与圆 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 解题指南 1 判断直线与圆的位置关系 可比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小 2 直线与圆有公共点 即直线与圆相交或相切 利用圆心到直线的距离小于等于半径即可 规范解答 1 因为圆x2 y2 2y 0的圆心坐标为o1 0 1 半径r 1 所以 圆心到直线l y 1 k x 1 的距离d 因此 直线与圆相交 答案 相交 2 由题可设直线方程为y k x 4 即 kx y 4k 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 d 解得 k 答案 互动探究 将本例 2 中条件 经过点a 4 0 的直线l 改为 在y轴上截距为 2的直线l 其他条件不变 结论如何 解析 由题可设直线方程为y kx 2 即 kx y 2 0 因为直线与圆有公共点 所以 圆心到直线的距离小于或等于半径 即 d 解得 反思 感悟 直线与圆位置关系的判断 一般有以下两种方法 方法一 几何法 利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解 方法二 代数法 联立直线方程与圆的方程 利用方程组的解来解决 变式备选 已知动直线l y kx 5和圆c x 1 2 y2 1 试问k为何值时 直线l与圆c相离 相切 相交 解析 因为圆心 1 0 到直线l的距离d当 1 即k 时 直线l与圆c相离 当 1 即k 时 直线l与圆c相切 当 1 即k 时 直线l与圆c相交 方法点睛 直线被圆截得弦长的求法 1 代数法 直线方程与圆的方程联立 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 ab x1 x2 2 几何法 设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为l 则有 2 r2 d2 与圆有关的弦长 中点问题 例2 2012 温州模拟 已知圆x2 y2 4x 2y 3 0和圆外一点m 4 8 1 过m作圆的割线交圆于a b两点 若 ab 4 求直线ab的方程 2 过m作圆的切线 切点为c d 求切线长及cd所在直线的方程 解题指南 1 设出直线的方程 由条件可得圆心到直线的距离 再利用圆心到直线的距离求直线的斜率 2 求出以pm为直径的圆的方程 两圆方程相减可得交线方程 规范解答 1 圆即 x 2 2 y 1 2 8 圆心为p 2 1 半径r 2 若割线斜率存在 设ab y 8 k x 4 即kx y 4k 8 0 设ab的中点为n 则 pn 由 得k 直线ab的方程为45x 28y 44 0 若割线斜率不存在 ab x 4 代入圆方程得y2 2y 3 0 y1 1 y2 3符合题意 综上 直线ab的方程为45x 28y 44 0或x 4 2 切线长为 以pm为直径的圆的方程为 x 2 x 4 y 1 y 8 0 即x2 y2 6x 9y 16 0 又已知圆的方程为x2 y2 4x 2y 3 0 两式相减 得2x 7y 19 0 所以cd所在直线的方程为2x 7y 19 0 反思 感悟 1 本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程 因此 还需要一个条件 即只需斜率即可 应分斜率存在与不存在两种情形考虑 该问题易忽略斜率不存在的情况 2 以a x1 y1 b x2 y2 为直径两端点的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 若已知两圆相交 则公共弦所在直线的方程为两圆方程相减所得的方程 变式训练 过点a 11 2 作圆x2 y2 2x 4y 164 0的弦 其中弦长为整数的共有 条 解析 方程化为 x 1 2 y 2 2 132 圆心为 1 2 到点a 11 2 的距离为12 最短弦长为10 最长弦长为26 所以所求直线条数为2 2 25 10 32 条 答案 32 变式备选 直线x y 2 0截圆x2 y2 4得到的劣弧的弧长为 a b c d 解析 选c 因为圆x2 y2 4的圆心坐标为 0 0 圆心到直线x y 2 0的距离d 而圆的半径为2 所以该直线截圆所得弦长为2 2 所以劣弧所对的圆心角为 所以劣弧所对的弧长为 方法点睛 1 两圆公切线的条数2 判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系 可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解 圆与圆的位置关系 提醒 利用两圆所组成的方程组的解的个数 不能判断内切与外切 外离与内含 例3 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 m取何值时 1 圆c1与圆c2外切 2 圆c1与圆c2内含 解题指南 可先求出两圆的圆心及半径 利用两圆外切 内含与两圆半径和 半径差之间的关系即可求出m的值或取值范围 规范解答 对于圆c1与圆c2的方程 经配方后得c1 x m 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y m 2 4 1 当两圆外切时 则有 3 2 解得 m 5或m 2 2 当两圆内含时 则有 3 2 解得 2 m 1 反思 感悟 1 解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解 2 注意应用圆心距与两圆半径和 半径差的关系时 半径差应为较大半径减去较小半径 变式训练 设圆c2经过点a 4 1 且与圆c1 x2 y2 2x 6y 5 0切于点b 1 2 求圆c2的方程 解析 由平面几何知识可知 c1 b c2三点共线 又bc1的方程为 x 2y 5 0 ab的垂直平分线方程为 x y 2 0 由 得即c2 3 1 又 c2a 所以r 圆c2的方程为 x 3 2 y 1 2 5 创新探究 直线与圆的位置关系的创新命题 典例 2011 江苏高考 集合a x y x 2 2 y2 m2 x y r b x y 2m x y 2m 1 x y r 若a b 则实数m的取值范围是 解题指南 本题考查的是直线与圆的位置关系 解题的关键是找出集合所代表的几何意义 然后结合直线与圆的位置关系 求得实数m的取值范围 规范解答 a b a m2 m 或m 0 显然b 要使a b 只需圆 x 2 2 y2 m2 m 0 与x y 2m或x y 2m 1有交点 即 m 或 m 又 m 或m 0 m 2 当m 0时 2 0 不在0 x y 1内 综上所述 满足条件的m的取值范围为 2 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 广东高考 已知集合a x y x y为实数 且x2 y2 1 b x y x y为实数 且y x 则a b的元素个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选c a b的元素个数等于圆x2 y2 1与直线y x的交点个数 显然有2个交点 2 2011 大纲版全国卷 设两圆c1 c2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 c1c2 a 4 b c 8 d 解析 选c 由题意知两圆的圆心在直线y x上 设c1 a a c2 b b 可得 a 4 2 a 1 2 a2 b 4 2 b 1 2 b2 即a b是方程x2 10 x 17 0的两根 a b 10 ab 17 c1c2 8 故选c