高考数学总复习 第十章 第二节直线与圆的位置关系课件 文.ppt

第二节直线与圆的位置关系 第十章选考部分 课前自修 知识梳理 一 与圆有关的角的概念1 圆心角 顶点在圆心 两边和圆相交的角叫做圆心角 如图1中的 aob 2 圆周角 顶点在圆上 两边和圆相交的角叫做圆周角 如图2中的 bac 3 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图3中的 bat 二 与圆有关的角的性质1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 三 圆的切线的判定和性质1 圆的切线的判定 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 圆的切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 四 与圆有关的比例线段1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 五 圆内接四边形的判定和性质1 圆内接四边形的判定 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 2 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 六 直线和圆的位置关系 相切 相离 相交设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则有 相交 相切 相离 七 圆与圆的位置关系 相离 外切 相交 内切 内含设圆o1与圆o2的半径分别为r1和r2 两圆的圆心距为d 于是有 1 d r1 r2 两圆相离 2 d r1 r2 两圆外切 3 r1 r2 d r1 r2 两圆相交 4 d r1 r2 两圆内切 5 d r1 r2 两圆内含 基础自测 1 2012 佛山市二模 如图 已知圆中两条弦ab与cd相交于点f 点e是ab延长线上一点 且df cf af fb be 4 2 1 若ce与圆相切 则线段ce的长为 2 如图 圆o的弦ed cb的延长线交于点a 若bd ae ab 4 bc 2 ad 3 则de ce 答案 52 3 2012 肇庆市二模 如图所示 ab的延长线上任取一点c 过c作圆的切线cd 切点为d acd的平分线交ad于e 则 ced 解析 连接bd bd与ec相交于点f 设 1 ced 2 dfe 因为 1 a ace 2 cdb ecd cdb a ecd ace 所以 1 2 而 adb 90 所以 ced 45 答案 45 4 2012 湖北卷 如图所示 点d在 o的弦ab上移动 ab 4 连接od 过点d作od的垂线交 o于点c 则cd的最大值为 解析 因为cd 且oc为 o的半径 是定值 所以当od取最小值时 cd取最大值 显然当od ab时 od取最小值 故此时cd ab 2 即为所求的最大值 答案 2 考点探究 考点一 与圆有关的量的计算 例1 ab是半圆o的直径 c d是半圆上的两点 半圆o的切线pc交ab的延长线于点p pcb 25 则 adc为 思路点拨 连接bd 将 adc分为 adb和 bdc 再用弦切角定理和直径所对的角为90 可得到结论 解析 连接bd pc是 o的切线 bdc pcb 25 又ab为直径 adb 90 adc adb bdc adb pcb 115 答案 115 变式探究 1 2011 广州市一模 如图 cd是圆o的切线 切点为c 点a b在圆o上 bc 1 bcd 30 则圆o的面积为 答案 考点二 圆的切线 割线定理的应用 例2 2012 肇庆市一模 如图所示 点p是 o外一点 pd为 o的一切线 d是切点 割线经过圆心o 若 efd 30 pd 2 则pe 解析 由已知 efd 30 得 pod 60 在rt pod中 p 90 60 30 od pdtan30 2 po 4 所以pf po of 4 2 6 又由割线定理得pd2 pe pf 解得pe 2 答案 2 变式探究 2 如图 eb是 o的直径 a是be延长线上一点 过点a作 o的切线ac 切点为d 过点b作 o的切线bc 交ac于点c 若eb bc 6 则ad 解析 连接od ac bc都是 o的切线 cb ab ac od cd cb 6 ad2 ae ab 且 ado abc ab 2ad ad2 ae ab ad 2ae ao ae 3 在rt ado中 ao2 ad2 od2 ae 3 2 4ae2 9 解之得 ae 2 ad 4 例3 如图 ab是圆o的直径 d为圆o上一点 过d作圆o的切线交ab的延长线于点c 若da dc 求证 ab 2bc 证明 法一 连接od 则od dc 又oa od da dc 如右图 所以 dao oda dco doc dao oda 2 dco 所以 dco 30 doc 60 所以oc 2od 即ob bc od oa 所以ab 2bc 法二 连接od bd 如右图 因为ab是圆o的直径 所以 adb 90 ab 2ob 因为dc是圆o的切线 所以 cdo 90 又因为da dc 所以 dac dca 于是 adb cdo 从而ab co 即2ob ob bc 得ob bc 故ab 2bc 变式探究 3 2012 湖南卷 如图所示 过点p的直线与 o相交于a b两点 若pa 1 ab 2 po 3 则 o的半径等于 解析 设圆的半径为r 由圆的割线定理可得 pa pb po r po r 把pa 1 pb 1 2 3 po 3代入求解得3 9 r2 r 答案 考点三 直线与圆的综合问题 例4 2012 新课标全国卷 如图所示 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 证明 1 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 而cf ad 连接af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 所以 bgd bdg 由bc cd知 cbd cdb 而 dgb efc dbc 故 bcd gbd 变式探究 4 2012 深圳高级中学期末 如图 ab是圆o的直径 直线ce和圆o相切于点c ad ce于d 若ad 1 abc 30 则圆o的面积是 解析 因为直线ce和圆o相切于点c 连接oc 则oc de 又ad ce 所以oc ad 又 abc 30 aoc 60 aoc为正三角形 所以 aco aoc 60 所以 acd 30 所以在rt adc中 ac r 2ad 2 所以圆的面积为4 答案 4 考点四 四点共圆问题 例5 如图 已知 abc的两条角平分线ad和ce相交于h b 60 f在ac上 且ae af 1 证明 b d h e四点共圆 2 证明 ce平分 def 证明 1 在 abc中 因为 b 60 所以 bac bca 120 因为ad ce是角平分线 所以 hac hca 60 故 ahc 120 于是 ehd ahc 120 因为 ebd ehd 180 所以b d h e四点共圆 2 连接bh 则bh为 abc的平分线 得 hbd 30 由 1 知b d h e四点共圆 所以 ced hbd 30 又 ahe ebd 60 由已知可得ef ad 可得 cef 30 所以ce平分 def 点评 抓住角度相等或互补 转化为四点共圆 另一方面 利用四点共圆 可以得到相关的角度相等 变式探究 5 2012 深圳市松岗中学模拟 如图 在 abc中 a 60 acb 70 cf是 abc的边ab上的高 fp bc于点p fq ac于点q 则 cqp的大小为 解析 因为 aqf cpf 90 所以p c q f四点共圆 所以 cqp cfp 在rt afc和rt bfc中 pcf acb acf 70 30 40 在rt cpf中 得 cfp 90 pcf 50 所以 cqp cfp 50 答案 50 1 和圆有关的问题 常常以与圆有关的角 圆心角 圆周角 弦切角等 作为条件 因此熟练掌握 运用这些角的性质 是顺利解决问题的关键 2 和圆有关的问题 常常要添加适当的辅助线 转化为相似三角形问题来解决 感悟高考 品味高考 1 2012 北京卷 如图所示 acb 90 cd ab于点d 以bd为直径的圆与bc交于点e 则 a ce cb ad dbb ce cb ad abc ad ab cd2d ce eb cd2 解析 对于a ce cb cd2 ad db 对于b ce cb cd2 ac2 ad ab 对于c cd2 ad db ad ab 对于d ed2 ce eb cd2 答案 a 2 2012 广东卷 如图所示 直线pb与圆o相切于点b d是弦ac上的点 pba dba 若ad m ac n 则ab 高考预测