高考数学总复习 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文 新人教B版.ppt

8 3空间点 直线 平面之间的位置关系 考纲要求 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 两点 不在一条直线上 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条 直线有且只有一个平面 推论3 经过两条 直线有且只有一个平面 一个 相交 平行 3 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 4 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 3 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 4 等角定理空间中如果两个角的 那么这两个角相等或互补 同一条直线 相等或互补 相交 平行 在平面内 平行 相交 两边分别对应平行 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 4 两个平面abc与dbc相交于线段bc 5 经过两条相交直线 有且只有一个平面 6 没有公共点的两条直线是异面直线 答案 1 2 3 4 5 6 1 下列命题正确的个数为 梯形可以确定一个平面 若两条直线和第三条直线所成的角相等 则这两条直线平行 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 a 0b 1c 2d 3 解析 中两直线可以平行 相交或异面 中若三个点在同一条直线上 则两个平面相交 正确 答案 c 2 2017 江西七校联考 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 a 相交或平行b 相交或异面c 平行或异面d 相交 平行或异面 解析 依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 答案 d 3 教材改编 两两平行的三条直线可确定 个平面 解析 三直线共面确定1个 三直线不共面 每两条确定1个 可确定3个 答案 1或3 答案 45 60 答案 题型一平面基本性质的应用 例1 1 2015 广东高考 若空间中n个不同的点两两距离都相等 则正整数n的取值 a 至多等于3b 至多等于4c 等于5d 大于5 解析 n 2时 可以 n 3时 为正三角形 可以 n 4时 为正四面体 可以 n 5时 为四棱锥 侧面为正三角形 底面为菱形且对角线长与边长相等 不可能 所以正整数n的取值至多等于4 答案 b 2 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 解析 显然是正确的 可用反证法证明 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 答案 b 易知fh与直线ac不平行 但共面 设fh ac m m 平面efhg m 平面abc 又 平面efhg 平面abc eg m eg fh eg ac共点 方法规律 共面 共线 共点问题的证明 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 2 c d f e四点是否共面 为什么 题型二判断空间两直线的位置关系 例2 1 2015 广东 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l与l1 l2都不相交b l与l1 l2都相交c l至多与l1 l2中的一条相交d l至少与l1 l2中的一条相交 2 2017 福建六校联考 设a b c是空间中的三条直线 下面给出四个命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a与b相交 b与c相交 则a与c相交 若a 平面 b 平面 则a b一定是异面直线 上述命题中正确的命题是 写出所有正确命题的序号 3 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 1 若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 2 由公理4知 正确 当a b b c时 a与c可以相交 平行或异面 故 错 当a与b相交 b与c相交时 a与c可以相交 平行 也可以异面 故 错 a b 并不能说明a与b 不同在任何一个平面内 故 错 3 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 答案 1 d 2 3 方法规律 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 跟踪训练2 2017 浙江金丽衢十二校二联 已知a b c为三条不同的直线 且a 平面 b 平面 c 若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 若a不垂直于c 则a与b一定不垂直 若a b 则必有a c 若a b a c 则必有 其中正确的命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 中若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 故 正确 中平面 平面 时 若b c 则b 平面 此时不论a c是否垂直 均有a b 故 错误 中当a b时 则a 平面 由线面平行的性质定理可得a c 故 正确 中若b c 则a b a c时 a与平面 不一定垂直 此时平面 与平面 也不一定垂直 故 错误 所以正确命题的个数是2 答案 c 解析 1 取a1c1的中点e 连接b1e ed ae 答案 1 60 2 a 方法规律 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三步曲 即 一作 二证 三求 其中空间选点任意 但要灵活 经常选择 端点 中点 等分点 通过作三角形的中位线 平行四边形等进行平移 作出异面直线所成的角 转化为解三角形问题 进而求解 跟踪训练3 1 2017 济南一模 在正四棱锥v abcd中 底面正方形abcd的边长为1 侧棱长为2 则异面直线va与bd所成角的大小为 2 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 1 如图 设ac bd o 连接vo 因为四棱锥v abcd是正四棱锥 所以vo 平面abcd 故bd vo ac1 bd1 ba1与ac1所成角的大小为 a1bd1 又易知 a1bd1为正三角形 a1bd1 60 即ba1与ac1成60 的角 思想与方法系列15构造模型判断空间线面位置关系 典例 已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 a b c d 思维点拨 构造一个长方体模型 找出适合条件的直线与平面 在长方体内判断它们的位置关系 解析 借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 故 不正确 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 故 不正确 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 故 正确 答案 a 温馨提醒 1 构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型 然后将问题利用模型直观地作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 2 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 方法与技巧1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上 因此共线 2