数学人教版九年级上册课堂实录.docx

讲稿师：同学们大家好，上课。生（付桓）：起立，老师好。师：同学们好，请坐。上一节课，我们了解了二次函数的基本概念，有哪位同学来回忆一下它的解析式一般形式。生（王榆迪）：二次函数解析式的一般形式是：y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，a不等于0.师：回答的很准确，请坐。这里面注意，a不等于零，但是b，c可以等于零。对于一个函数，想要研究它的性质，结合图形讨论是最重要的方法。怎么得到二次函数的图象和性质呢？同学们，我们在八年级下册，学习了一次函数，通过列表、描点、连线得到了它的函数图象是一条直线，进而得到k大于零时，y随x增大而增大，k小于零时，y随x的增大而减小等性质。那我们今天类比画一次函数图象的方法来画最简单的二次函数y=ax2的图象，再观察图象特征，总结性质（板书、放封面PPT）。这里面a不等于o，那a可以大于零也可以小于零，我们先探究a大于零时的图象性质。活动1，请同学们拿出课前发的卡纸画出y=x2的图象。画图前，我们先要列表，这里选取自变量的取值很重要，从解析式可以看出x可以取所有实数，不妨以0为中心，均匀选取一些数值，为了使图象更接近精准图象，我们可以多取一些。请这两个小组的同学按照顺时针的顺序快速口答一下这些函数值。生（刘心怡、李阳、闫鹏文、吴文静、杨逸飞、任梦瑶、张怡宁、宋兆立、李诺、郭昊文、张杰（男）：9、4、9/4、1、1/4、0、1/4、1、9/4、4、9。师：好，现在，请同学们在坐标系中描点(x，y)，再用平滑的曲线顺次连接各点，进而得到y=x2的近似图象。生：描点、连线。师：大部分同学画好了，老师也画了一个，跟同学们的对比了一下，比较相似。但是，其中有一位同学的图象画出来是这样的，有哪位同学看出来有哪些地方不太恰当？好，这位同学。生（王语菲）：我觉得有两个地方不太恰当， 1.连接时，要用平滑的曲线，而不是折线；2.在图象两端要体现出图象的变化趋势，不应该在端点处戛然而止。师：说的非常完整，请坐。这里，老师，利用作图软件，将函数y=x2的准确图形做了出来，跟我们描点得到的图象形状大体一致，请同学们对照准确图形将自己的图象进行补充、修正。（贴纸片）我将这个准确图形复制到ppt中，我们来一起探讨它的性质。先看它的形状，是直线吗？生：不是，是一条曲线。师：这条曲线就像是同学们投篮时球在空中所经过的路线，只是球的路线是开口向下，而这条曲线是开口向上，我们就把这条曲线叫做抛物线y=x2。接下来，看看这条抛物线的对称性，请同学们拿刚才画的图象，看看能不能沿着哪条直线折叠后使抛物线两旁的部分能够重合。生：折叠纸片。师：我看到已经有同学找到了，将这条抛物线沿着y轴折叠，好像能够重合。那y轴是不是它的对称轴呢？大家看大屏幕，现在老师让ppt上这个精准图形沿着y轴折叠，也能够重合，是吧！这样我们从形的角度看到了这条抛物线的对称性，现在我们从数的角度上来简单的证明一下，在图线上任取一个点A，不妨设它的坐标为（m,m2），则它关于y轴的对称点A为（-m,m2）,把m代入解析式得y=m2,这说明，对于抛物线上任一一点，它关于y轴的对称点都在这条抛物线上，这就说明抛物线y=x2是一个轴对称图形，对称轴就是y轴（或者说是直线x=0）。我们继续观察图象，抛物线与对称轴几个交点呢？生：一个。师：我们把这个交点叫做抛物线的顶点，y=x2的顶点就是坐标原点（0,0）。大家看，除了原点外，整个图象都在x轴的上方，这说明顶点就是抛物线的最低点。对于函数值，当x=0时，y=0，当x不等于0时，y大于零，所以函数值大于等于零，最小值为0。最后，来看抛物线的增减性。观察图象，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴右侧，抛物线从左到右上升。我们可以，在几何画板中观察抛物线上动点D在从左到右的过程中，随着横坐标的增大，它的纵坐标如何变化。在y轴左侧，x越大，y越小，y随x增大而减小，在右侧，x越大，y越大，y随x增大而增大。当然为了使我们获得的结论更加严谨，我们可以简单证明，在y轴左侧。由此，我们得到了当x小于零时，y随x增大而减小；当x大于0时，y随x增大而增大，这与我们学过的一次函数整体增大或整体减小不一样，同学们要注意。在同学们的共同努力下，我们得到了函数y=x2的图象和性质，在刚才的探究中，同学们观察认真，我们来一起给自己点掌声，鼓励一下。接下来，看活动2，请同学们在刚才画图的卡纸上，在同一坐标系中，画出y=1/2x2和y=2x2的图象。按照列表、描点、连线的步骤。生：描点、连线。师：同学已经画好了。老师现在用作图软件做出这两图形，同学们对照一下。请同学们观察这三个图象，看看它们有什么相同点和不同点，以小组为单位讨论？生：小组热烈交流、讨论。师：好的，讨论结束。哪个小组派代表分享一下你们组的结论？ 生（李昱锟）：我们组讨论的结果是：这三个函数图象都是开口向上的抛物线、也都是轴对称图形、对称轴都是y轴（也可以说对称轴是直线x=0），图象都有最低点（也就是原点（0,0），函数都有最小值0；当x小于0时，y随着x的增大而减小，当x大于0时，y随着x的增大而增大。而它们的不同点是，离y轴的远近不一样。师：很好，总结的非常到位，请坐。也就是说刚才我们探究的y=x2的性质也是y=1/2x2和y=2x2的性质（粘贴纸片）。这里面离y轴距离不一样，我们叫做在同一水平线上，抛物线的开口大小不同。请同学们比较一下，哪个开口最小？哪个开口最大？生：y=2x2的开口最小，y=1/2x2的开口最大。师：也就是说a越大，抛物线的开口越小。当a大于零时，我们画出了a=1，a=1/2,a=2时的图象，除了开口大小不同，其他特征相同，这些特征也就是当a大于零时，函数y=ax2的性质。请同学们，把它总结到你的学案表格中。生：整理。师：好，接下来继续我们的探究，当a小于零时，图象又是什么样呢？有什么特征呢？请同学们画出。的图象。生：画图。师：好的，老师也用结合画板画板画出了这三个图象，同学们对照一下。（粘贴图片）请同学们观察这三个图象有什么共同点和不同点，仍然以小组为单位交流讨论。生：交流、讨论。师：好的，讨论结束，请一个小组来跟大家分享他们的讨论结果。这个小组率先举手，那请你们的代表来说一下你们的结论。生（张怡宁）：我们组讨论的结果是：这三个函数图象都是开口向下的抛物线、也都是轴对称图形、对称轴都是y轴（也可以说对称轴是直线x=0），图象都有最高点（也就是原点（0,0），函数都有最大值0；当x小于0时，y随着x的增大而增大，当x大于0时，y随着x的增大而减小。而它们的不同点是，开口大小不同。师：好，请坐，其他小组还有补充吗？没有了，好。这个小组同学总结的很全面，大家来看一下哪个开口最大，哪个开口最小呢？生：y=-2x2的开口最小，y=-1/2x2的开口最大。师：也就是说a越小，即绝对值越大，开口越小。其实这些共同的特征，也就是当a小于0时，函数y=ax2的图象特征，请同学们整理到学案上。生：整理。师：请大家看大屏幕，老师想问问你，那a大于0时，和a小于0时，图象又有什么相同点和不同点呢？生（付桓）：他们的共同点是，不论a0,a0时,抛物线开口向上，有最小值0，图象有最低点（0,0），当x小于0时，y随着x的增大而减小，当x大于0时，y随着x的增大而增大；a0时，抛物线开口向上，a0时，二次函数y=ax2的图象有最低点（原点），函数值y有最小值0.a0时，当x小于0时，y随着x的增大而减小，当x大于0时，y随着x的增大而增大；当a0时,当x小于0时，y随着x的增大而增大，当x大于0时，y随着x的增大而减小。师：好的，大家关于二次函数y=ax2的图形和性质说了很多，那学习过程中有哪些数学思想？有从研究一次函数