高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件.ppt

2 2函数的基本性质 高考数学 一 函数的单调性1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 则f x 在 区间d上是减函数 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 增函数或 减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的单调区间 知识清单 注意 当函数有多个单调递增 减 区间时 区间之间最好用 隔开 而不用 3 判断单调性的方法 1 利用定义证明 2 利用函数的性质证明 若f x g x 为增函数 则在公共定义域内 i f x g x 为增函数 ii 为减函数 f x 0 iii 为增函数 f x 0 iv f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 v f x 为减函数 3 利用复合函数关系 法则是 同增异减 即若两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 增函数 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 减函数 4 图象法 从左往右看 图象上升的函数单调递增 反之单调递减 5 导数法 若f x 在某个区间内可导 则当f x 0时 f x 为增函数 当f x 0时 f x 为减函数 二 函数的最值 三 函数的奇偶性1 奇函数 偶函数的概念一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 2 奇 偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 填 相同 或 相反 2 在公共定义域内 i 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数 ii 两个偶函数的和 积是偶函数 iii 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数 3 任意一个定义域关于原点对称的函数f x 均可写成一个奇函数g x 与一个偶函数h x 的和的形式 即f x g x h x 其中 g x h x 四 函数的周期性1 定义 如果存在一个非零常数t 使得对于函数f x 定义域内的任意x 都有f t x f x 则称f x 为周期函数 不为零的常数t叫做这个函数的周期 如果在周期函数f x 的所有的周期中存在一个最小的正数 则这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 2 由周期函数的定义得 1 若函数f x 满足f x a f x a a 0 则f x 为周期函数 t 2 a 2 若函数f x 满足f x a f a x a 0 且f x 为奇函数 则f x 为周期函数 t 4 a 3 若函数f x 满足f x a f x a 0 则f x 为周期函数 t 2 a 4 若函数f x 满足f x a a 0 则f x 为周期函数 t 2 a 3 1 若函数f x 的图象关于直线x a和直线x b对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 2 若函数f x 的图象关于点 a 0 和点 b 0 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 函数单调性的判断求函数的单调性或单调区间的方法 1 利用已知函数的单调性 2 先求定义域 再利用单调性的定义 3 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 则可由图象判断函数f x 的单调性 4 复合函数y f g x 的单调性根据 同增异减 判断 5 利用导数判断单调性 例1给定函数 y y lo x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上单调递减的函数序号是 方法技巧 解析y 在 0 1 上递增 01 y 2x 1在 0 1 上递增 故在区间 0 1 上单调递减的函数序号是 答案 函数单调性的应用函数的单调性有如下几个方面的基本应用 1 利用函数的单调性解不等式 2 在已知函数单调性的条件下 求参数的取值范围 例2已知函数f x 满足对任意x1 x2 都有 0成立 则a的取值范围是 解析由对任意x1 x2都有 0成立 知f x 是减函数 于是所以0 a 答案 函数奇偶性的应用利用奇函数的图象关于原点对称 函数在原点两侧的单调性相同 偶函数的图象关于y轴对称 函数在y轴两侧的单调性相反 以及奇偶函数解析式的特点 解决与之有关的问题 例3 2016江苏赣榆期中 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 解析 f x 是奇函数 f 1 f 1 又g x 是偶函数 g 1 g 1 f 1 g 1 2 g 1 f 1 2 又f 1 g 1 4 f 1 g 1 4 由 得g 1 3 答案3 函数周期性的应用求函数周期常用递推法和换元法 求形如y asin x a 0 0 的函数的周期 用公式t 递推法 若f x 2 f x 则f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 周期t 4 换元法 若f x 2 f x 2 令x 2 t 则x t 2 f t f t 4 周期t 4 例4 1 2016江苏泰州模拟 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2017 等于 2 已知f x 是定义在r上的偶函数 并且f x 2 当2 x 3时 f x x 则f 105 5 解析 1 f x 6 f x t 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 1 336 又f 2017 f 1 1 f 1 f 2 f 3 f 2017 337