数列复习资料.doc

第3讲等比数列及其前n项和【高考会这样考】1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用基础梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn. 一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列双基自测1(人教A版教材习题改编)在等比数列an中，如果公比q1，那么等比数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性解析当a10,0q1，数列an为递减数列，当q0，数列an为摆动数列答案D2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2 C2 D.解析由题意知：q3，q.答案D3在等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8 C16 D32解析由等比数列的性质得：a2a6a16.答案C4设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B8 C5 D11解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2a50，所以8a1qa1q40.q380，q2，11.答案A5(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.解析设an的公差为d，由S9S4及a11，得91d41d，所以d.又aka40，所以0，即k10.答案10考向一等比数列基本量的计算【例1】(2011全国)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330.求an和Sn.审题视点 列方程组求首项a1和公差d.解设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【训练1】 等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x0的两根，又q(0,1)a1，a6，q5，q，ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.考向二等比数列的判定或证明【例2】(2012长沙模拟)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式审题视点 第(1)问把bnan1an中an1换为整理可证；第(2)问可用叠加法求an.(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nN*) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【训练2】 (2011四川)设d为非零实数，anCd2Cd2(n1)Cdn1nCdn(nN*)(1)写出a1，a2，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设bnndan(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知可得a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.当n2，k1时，CC，因此anCdkCdkdCdkd(d1)n1.由此可见，当d1时，an是以d为首项，d1为公比的等比数列；当d1时，a11，an0(n2)，此时an不是等比数列(2)由(1)可知，and(d1)n1，从而bnnd2(d1)n1Snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1当d1时，Snd21.当d1时，式两边同乘d1得(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相减可得dSnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)nd2.化简即得Sn(d1)n(nd1)1.综上，Sn(d1)n(nd1)1.考向三等比数列的性质及应用【例3】已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和审题视点 利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列解Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6.当S2n4时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为3的等比数列，则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n项的和为S6nS3n36414378.当S2n6时，同理可得再后3n项的和为S6nS3n12614112.故所求的和为378或112. 本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，若把数列an平均分成若干组，其积也为等比数列【训练3】 (2011北京)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n1规范解答11怎样求解等差与等比数列的综合性问题【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.【示例】(本题满分12分)(2011湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列 正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问解答示范 (1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5.(2分)所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，由(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)(4分)故bn的第3项为5，公比为2，由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3.(6分)(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.(8分)所以S1，2.(10分)因此是以为首项，公比为2的等比数列(12分) 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量【试一试】 (1)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列an唯一，求a的值；(2)是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由尝试解答(1)设an的公比为q，则b11a，b22aq，b33aq2，由b1，b2，b3成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即aq24aq3a10.由a0得，4a24a0，故方程有两个不同的实根再由an唯一，知方程必有一根为0，将q0代入方程得a.(2)假设存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列设an的公比为q1，bn的公比为q2，则b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q.由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差数列得即q2得a1(q1q2)(q11)20，由a10得q1q2或q11.)当q1q2时，由得b1a1或q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾)当q11时，由得b10或q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾综上所述，不存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列第1讲数列的概念与简单表示法【高考会这样考】1以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等【复习指导】1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用基础梳理1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5Sn与an的关系已知Sn，则an在数列an中，若an最大，则若an最小，则 一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性 两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)f(n)型，采用叠乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决双基自测1(人教A版教材习题改编)已知数列an的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列an的通项公式的一项是()Aan1(1)n1 Ban2sinCan1cos n Dan解析根据数列的前4项验证答案B2在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31 C32 D33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案B3已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析an1an30，an1an30，an1an.故数列an为递增数列答案A4设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64解析由于Snn2，a1S11.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，又a11适合上式an2n1，a828115.答案A5(2012泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中x的值为_解析观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和答案21考向一由数列的前几项求数列的通项【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，所以an(10n1) 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来【训练1】 已知数列an的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：an；an；ansin2；an；an；an(n1)(n2)其中可以作为数列an的通项公式的有_(填序号)答案考向二由an与Sn的关系求通项an【例2】已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.审题视点 利用anSnSn1(n2)求解解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12也满足an23n1.故数列an的通项公式为an23n1.答案23n1 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示【训练2】 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an答案an考向三由数列的递推公式求通项【例3】根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知数列an满足an1an3n2，且a12，求an.审题视点 (1)可用构造等比数列法求解(2)可转化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解(1)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2. 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解【训练3】 根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以上(n1)个式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)个式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.考向四数列性质的应用【例4】已知数列an的通项an(n1)n(nN)，试问该数列an有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由审题视点 作差：an1an，再分情况讨论解an1an(n2)n1(n1)nn.当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；故a1a2a3a9a10a11a12，所以数列中有最大项为第9,10项 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法【训练4】 已知数列an的前n项和Snn224n(nN*)(1)求an的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解(1)n1时，a1S123.n2时，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.经验证，a123符合an2n25，an2n25(nN*)(2)法一Snn224n，n12时，Sn最大且Sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故S12最大，最大值为144.难点突破13数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【示例1】 (2010辽宁)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【示例2】 (2011浙江)若数列中的最大项是第k项，则k_.第2讲等差数列及其前n项和【高考会这样考】1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用【复习指导】1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法基础梳理1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.3等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)7最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列双基自测1(人教A版教材习题改编)已知an为等差数列，a2a812，则a5等于() A4 B5 C6 D7解析a2a82a5，a56.答案C2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34解析由已知可得解得S88a1d32.答案B3(2011江西)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11.那么a10()A1 B9 C10 D55解析由SnSmSnm，得S1S9S10a10S10S9S1a11.答案A4(2012杭州质检)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35 C49 D63解析a1a7a2a631114，S749.答案C5在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析设公差为d.则a5a23d6，a6a33d7613.答案13考向一等差数列基本量的计算【例1】(2011福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值审题视点 第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7为所求 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法【训练1】 (2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，a9，由题意可得a1a2a3a43，a7a8a94，设等差数列an的公差为d，则有4a16d3，3a121d4，由可得d，a1，所以a5a14d4.答案考向二等差数列的判定或证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式，an 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断【训练2】 已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列(1)解设SnAn2BnC(A0)，则解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)证明当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)当n1时符合上式，故an4n6，an1an4，数列an成等差数列考向三等差数列前n项和的最值【例3】设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值审题视点 第(1)问：列方程组求a1与d；第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练3】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二同法一求得d.Sn20nn2n2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三同法一得d.又由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.审题视点 在等差数列 an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)用此性质可优化解题过程解由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程【训练4】 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_解析(1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S202020180.答案(1)153(2)180阅卷报告6忽视an与Sn中的条件n2而致误【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：anblcrc (avs4alco1(S1(n1)，,SnSn1(n2).)这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由anSnSn1求出an后，一定不要忘记验证n1是否适合an.【示例】(2009安徽改编)已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式错因求an、bn时均未验证n1.实录anSnSn1，an2n22n2(n1)22(n1)4n.又Tn2bn，bnTnTn12bn2bn1，即bnbn1，bnn121n.正解当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，又a1S14，故an4n，当n2时，由bnTnTn12bn2bn1，得bnbn1，又T12b1，b11，bnn121n.【试一试】 已知在正整数数列an中，前n项和Sn满足：Sn(an2)2.(1)求证：an为等差数列(2)若bnan30.求数列bn的前n项和的最小值尝试解答(1)证明：当n1时，S1a1(a12)2，(a12)20，a12.当n2时，anSnSn1(an2)2(an12)2，anan14，an为等差数列(2)由(1)知：ana1(n1)44n2，由bnan302n310得n.bn的前15项之和最小，且最小值为225.第4讲数列求和【高考会这样考】1考查非等差、等比数列求和的几种常见方法2通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力【复习指导】1熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式2熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性基础梳理数列求和的常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和两个提醒在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项三个公式(1)；(2)；(3).双基自测1(人教A版教材习题改编)等比数列an的公比q，a81，则S8() A254 B255 C256 D257解析由a81，q得a127，S8281255.答案B2(2011潍坊模拟)设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn()A. B. C. Dn2n解析由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.答案A3(2011北京海淀模拟)等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B70C75 D100解析Snn(n2)，n2.数列前10项的和为：(1210)2075.答案C4(2011沈阳六校模考)设数列(1)n的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn()A. B.C. D.解析因为数列(1)n是首项与公比均为1的等比数列，所以Sn.答案D5若Sn1234(1)n1n，S50_.解析S5012344950(1)2525.答案25考向一公式法求和【例1】已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值审题视点 求出公比，用等比数列求和公式直接求解解(1)由题意得2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，Tnna24n. 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式【训练1】 在等比数列an中，a39，a6243，求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn，并求a9和S8的值解在等比数列an中，设首项为a1，公比为q，由a39，a6243，得q327，q3.由a1q2a3，得9a19，a11.于是，数列an的通项公式为an13n13n1，前n项和公式为Sn.由此得a93916 561，S83 280.考向二分组转化求和【例2】(2012包头模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x