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2 5 1平面几何的向量方法 2 5平面向量应用举例 第二章平面向量 平面几何中的向量方法 向量概念和运算 都有明确的物理背景和几何背景 当向量与平面坐标系结合以后 向量的运算就可以完全转化为 代数 的计算 这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题 问题 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗 猜想 1 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系 2 类比猜想 平行四边形有相似关系吗 例1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知 平行四边形abcd 求证 解 设 则 分析 因为平行四边形对边平行且相等 故设其它线段对应向量用它们表示 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 简述 形到向量向量的运算向量和数到形 例2如图 abcd中 点e f分别是ad dc边的中点 be bf分别与ac交于r t两点 你能发现ar rt tc之间的关系吗 猜想 ar rt tc 解 设则 由于与共线 故设 又因为共线 所以设 因为所以 故at rt tc 练习 证明直径所对的圆周角是直角 分析 要证 acb 90 只须证向量 即 解 设则 由此可得 即 acb 90 思考 能否用向量坐标形式证明 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹
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