高考数学大一轮复习 专题2 函数概念与基本初等函数课件 文.ppt

专题2函数的概念与基本初等函数 第1节函数的概念及其表示第2节函数的基本性质第3节二次函数与幂函数第4节指数函数与对数函数第5节函数的图象及其应用第6节函数与方程函数的实际应用 目录 600分基础考点 考法考点8函数的定义域 值域及其表示考点9分段函数及其应用700分综合考点 考法综合问题2函数的新定义问题 第1节函数的概念及其表示 考点8函数的定义域 值域及其表示 1 函数的定义 非空数集a 非空数集b 对应关系f 对于集合a中的任意一个数x b中都有唯一确定的数f x 和它对应 就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 考点8函数的定义域 值域及其表示 1 函数的定义 定义域 值域和对应关系是函数的三要素 其中 在函数y f x x a中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的值域 2 函数的表示法 2 若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同 可用分段函数来表示 解析法列表法图象法 最常用的方法是解析式法 在实际问题中需要建立函数式 首先要选定变量 然后寻找等量关系 求得函数的解析式 还要注意定义域 1 函数的三种表示法 考点8函数的定义域 值域及其表示 3 常见函数的定义域 函数的定义域就是自变量的取值范围 2 偶次方根中 被开方数非负 1 分式中 分母不为0 3 对于y x0 要求x 0 负指数的底数不为0 4 对数函数中 真数大于0 底数大于0且不等于1 7 实际问题考虑实际意义 5 指数函数的底数大于0且不等于1 6 正切函数y tanx要求x k 2 k z 常见函数的定义域要求如下 考点8函数的定义域 值域及其表示 4 常见函数的值域 1 一次函数y kx b k为常数且k 0 的值域为r 2 反比例函数y k x k为常数且k 0 的值域为 0 0 3 二次函数y ax2 bx c a b c为常数且a 0 4 对勾函数f x ax b x a b 0 的值域为 求二次函数的值域时 应掌握配方法 y ax2 bx c 考点8函数的定义域 值域及其表示 考法1求函数的定义域 考法2求函数的解析式 函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3求函数的值域与最值 考点8函数的定义域 值域及其表示 类型1已知函数解析式求定义域 考法1求函数的定义域 类型2抽象函数的定义域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法2 求函数的定义域 由基本初等函数通过四则运算构成 由基本初等函数复合而成 各个基本初等函数的定义域的交集 应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子集 从外向内层层计算 1 解析式是否可以先化简 2 y f g x 的定义域是谁的取值范围 类型1已知函数解析式求定义域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法1 求函数的定义域 2 已知函数f g x 的定义域为d 则函数f x 的定义域就是函数y g x x d 的值域 1 已知函数f x 的定义域为d 则函数f g x 的定义域就是不等式g x d的解集 类型2抽象函数的定义域 注意 2 求函数定义域时 对于解析式先不要化简 1 函数f g x 的定义域指的还是x的取值范围 而不是g x 的取值范围 3 求出定义域后 一定要将其写成集合或区间的形式 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法1 求函数的定义域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法1 求函数的定义域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法1 求函数的定义域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法2 求函数解析式 方法1整体代入法 若已知f x 的解析式 求f g x 的解析式 可将g x 看作一个整体 代入f x 的解析式 方法2待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 对数函数等 可用待定系数法设出解析式 再根据已知条件列出方程 组 求解 方法3换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 令t g x 由此解出x的表达式并代入f g x 中求得f t 从而求得f x 的解析式 此时要注意自变量的取值范围 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法2 求函数解析式 求解析式过程中需要注意的是什么 自变量的取值范围 方法4特值思想 1 方程组法 已知关于f x 与f 1 x 或f x 满足的等式 可令x取值1 x 或 x 构造出另一个等式 与原等式组成方程组 通过解方程组求出f x 2 赋值法 对于函数f x 如果已知对一些实数成立的等式 那么这些实数中的任意一个值也可以使得等式成立 此时通过赋特殊值来求一些函数的解析式 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法2 求函数解析式 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法2 求函数的解析式 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 求值域或最值过程中需要注意的是什么 自变量的取值范围 边界值能否取到 求值域的方法 2 基本不等式法 1 单调性法 3 导数法 4 分离变量法 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 1 单调性法 若所给函数为单调函数 可根据函数的单调性求值域 通常 如果函数y f x 在 a b 上有定义且单调递增 那么f x 在端点处取最值 如果函数y f x 在区间 a b 上有定义且单调递增 在区间 b c 上有定义且单调递减 那么ymax f b 如果函数y f x 在区间 a b 上有定义且单调递减 在区间 b c 上有定义且单调递增 那么ymin f b 从而得出值域 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 3 导数法 利用导数求函数值域时 一种是利用导数判断函数单调性 具体见专题3考点20 进而根据单调性求值域 另一种是利用导数与极值 最值的关系求函数的值域 具体见专题3考点21 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点8 考法3 求函数的值域或最值 考点8函数的定义域 值域及其表示 考点9分段函数及其应用 若函数定义域内的不同子集上的对应法则不同 可用几个式子来表示这个函数 这种形式的函数叫做分段函数 它是一类重要函数 它是一个函数 不能误认为它是几个函数 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内 自变量取值范围要不重不漏 注意 分段函数虽由几个部分组成 但表示的是一个函数 根据分段函数的特征知 研究分段函数的有关问题常用的基本思想方法是分类讨论 数形结合等 考点9分段函数及其应用 1 分段函数的定义 2 分段函数的定义域与值域 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集 分段函数的值域也是各段函数值域的并集 类型1求分段函数的函数值 考法4分段函数的应用 考点9分段函数及其应用 类型2已知函数值或函数值的取值范围 求自变量的值或自变量的取值范围 1 求分段函数的函数值时 要先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段区间对应的解析式求值 当出现f f a 的形式时 应从内到外依次求值 2 当自变量的值所在区间不确定时 要分类讨论 分类标准应参照分段函数不同段的端点 考点9 考法4 1 当自变量的值不确定时 要分类讨论 分类的标准一般参照分段函数不同段的端点 2 一定要检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围 解分段函数问题时需要注意的是什么 分段函数的应用 类型1求分段函数的函数值 考点9分段函数及其应用 考点9 考法4 分段函数的应用 类型1求分段函数的函数值 考点9分段函数及其应用 方法一 解决此类问题时 先在分段函数的各段上分别求解 然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集 最后将各段的结果合起来 即取并集 即可 方法二 如果分段函数的图象易得 也可以画出函数图象后结合图象求解 考点9 考法4 分段处理 解分段函数问题时需要注意的是什么 分段函数的应用 类型2已知函数值或函数值的取值范围 求自变量的值或自变量的取值范围 考点9分段函数及其应用 考点9 考法4 分段函数的应用 类型2已知函数值或函数值的取值范围 求自变量的值或自变量的取值范围 考点9分段函数及其应用 考点9 考法4 分段函数的应用 考点9分段函数及其应用 考点9 考法4 分段函数的应用 考点9分段函数及其应用 综合问题2函数的新定义问题 综合点1函数的新定义问题 1 常见形式 1 讨论新函数的性质 2 利用新函数进行运算 3 判断新函数的图象 4 利用新概念判断命题真假等 2 解题思路 1 理解定义 2 合理转化 3 特值思想 综合点1函数的新定义问题 综合问题2函数的新定义问题 目录 600分基础考点 考法考点10函数的单调性和最值考点11函数的奇偶性 周期性与对称性 第2节函数的基本性质 考点10函数的单调性和最值 1 函数的单调性 考点10函数的单调性和最值 具体 对函数f x 的定义域i或定义域i的某个区间上的任意两个自变量值x1 x2 且x1 x2 实质 在函数定义域或定义域的某个区间上函数值的大小变化情况 其中 根据函数的单调性解不等式是函数单调性的重要应用 1 增函数满足 x1 x2 f x1 f x2 即自变量的变化与函数值的变化对应一致 2 减函数满足 x1 x2 f x1 f x2 即自变量的变化与函数值的变化对应相反 1 函数的单调性 说明 3 x1 x2 d 若x1 x2 f x1 f x2 函数f x 在区间d上是增函数 用于判断函数的单调性 2 若在不同区间上的单调性相同 单调区间之间应用 或 和 连接 1 讨论函数单调性必须在其定义域内进行 函数的单调区间是其定义域的子集 因此 讨论函数的单调性时 应先确定函数的定义域 x1 x2 d 若f x1 f x2 函数f x 在区间d上是增函数 x1 x2 用于比较自变量值的大小 x1 x2 d 若x1 x2 函数f x 在区间d上是增函数 f x1 f x2 用于比较函数值的大小 考点10函数的单调性和最值 2 函数单调性的有关结论与性质 对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时增或减 则y f g x 为增函数 若t g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函数 简称 同增异减 1 复合函数的单调性 考点10函数的单调性和最值 2 函数单调性的有关结论与性质 2 函数单调性的性质 若f x g x 均为区间a上的增 减 函数 则f x g x 也是区间a上的增 减 函数 更进一步 即 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同 偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 若k 0 则kf x 与f x 单调性相同 若k 0 则kf x 与f x 单调性相反 在公共定义域内 函数y f x f x 0 与y f x y f x 1 单调性相反 在公共定义域内 函数y f x f x 0 与y 单调性相同 考点10函数的单调性和最值 3 函数的最值 考点10函数的单调性和最值 考法1确定函数的单调性或单调区间 考法3利用函数的单调性求最值 函数的单调性和最值 考点10 考法2利用函数的单调性求参数范围 考点10函数的单调性和最值 1 判断函数单调性的方法 考法1确定函数的单调性或单调区间 2 单调区间的求法 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法1 确定函数的单调性或求单调区间 1 判断函数单调性的方法 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法1 注意 1 函数的多个递增区间或递减区间不能合并 在表示的时候一般将各区间用逗号或 和 字进行连接 1 利用基本初等函数的单调区间 2 图象法 对于基本初等函数及其函数的变形函数 可以作出函数图象求出函数的单调区间 3 复合函数法 对于函数y f g x 可设内层函数为u g x 外层函数为y f u 可以利用复合函数法来进行求解 遵循 同增异减 即内层函数在区间d上与外层函数在内层函数的值域上的单调性相同 则函数y f g x 在区间d上单调递增 内层函数在区间d上与外层函数在内层函数的值域上的单调性相反 则函数y f g x 在区间d上单调递减 4 导数法 不等式f x 0的解集与函数f x 的定义域的交集即为函数f x 的单调递增区间 不等式f x 0的解集与函数f x 的定义域的交集即为函数f x 的单调递减区间 确定函数的单调性或求单调区间 2 单调区间的求法 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法1 2 单调区间的求法 注意 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法1 确定函数的单调性或求单调区间 考点10函数的单调性和最值 类型1利用函数单调性解函数不等式 考法2利用函数的单调性求参数范围 类型2已知函数单调区间求所含的参数的取值 范围 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法2 类型1利用函数单调性解函数不等式 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法2 类型1利用函数单调性解函数不等式 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法2 类型2已知函数单调区间求所含的参数的取值 范围 注意 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 求参数的取值 范围 时 主要有以下几种方法 将函数解析式中的参数视为常数 结合函数单调区间的求解方法解得函数的单调区间 再根据单调区间与所给区间的包含关系或相等关系列不等式或等式 求得参数的取值 范围 确定已知复合函数f g x 中的初等函数f x 和g x 首先由外层函数f x 的单调性确定内层函数g x 在给定区间上的单调性 再结合内层函数的图象或其单调区间 列出等式或不等式求解 利用图象平移解决问题 首先将已知函数f x 整理为f x a f t a为题目中涉及的参数 并确定函数f t 的单调区间 再根据函数f t 的图象是由f x 的图象左 右平移得到的 从而得出函数f x 的单调区间 进而列出不等式或等式求解 若函数是分段函数 则根据函数为增 减 函数可知 函数在每一段上均为增 减 函数 同时注意衔接点处的函数值的大小比较 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法2 类型2已知函数单调区间求所含的参数的取值 范围 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法3 利用函数的单调性求最值 利用函数的单调性求最值的步骤为 1 判断或证明函数的单调性 2 计算端点值 3 比较值的大小 确定最大 小 值 考点10函数的单调性和最值 考点10 考法3 利用函数的单调性求最值 考点10函数的单调性和最值 考点11函数的奇偶性与周期性 1 奇函数与偶函数 2 周期性 1 周期函数 对于定义域中任意的x和一个非零常数t f x t f x 恒成立 f x 是以t为周期的周期函数 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 若不特别说明 t一般都是最小正周期 3 对称性 考点11函数的奇偶性与周期性 考法4函数奇偶性的判断及其应用 考法5函数的周期性与对称性 函数的奇偶性 周期性与对称性 考点11 考法6利用函数的奇偶性 周期性 单调性等求值 考点11函数的奇偶性与周期性 1 判断函数的奇偶性的常用方法 考法4函数奇偶性的判断及其应用 2 利用奇偶性求值 考点11函数的奇偶性与周期性 方法1定义法 直接根据定义证明 1 求出函数f x 的定义域 判断定义域是否关于原点对称 若定义域不关于原点对称 则此函数为非奇非偶函数 若定义域关于原点对称 则继续进行第 2 步 2 判断是否满足f x f x 或f x f x 若满足f x f x 则为奇函数 若满足f x f x 则为偶函数 若两者都不满足 则此函数为非奇非偶函数 方法2性质法设f x g x 的定义域关于原点对称 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 偶 考点11 考法4 1 判断函数的奇偶性的常用方法 求解函数奇偶性问题的前提和关键是 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 考点11函数的奇偶性与周期性 1 求函数值 利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值 进而得解 2 求参数值 根据函数的奇偶性求参数的取值的方法 在定义域关于原点对称的前提下 根据奇函数满足f x f x 或偶函数满足f x f x 列等式 根据等式两侧对应相等确定参数的值 特别要注意的是 若能够确定奇函数的定义域中包含0 可以根据f 0 0列式求解 若不能确定则不可用此法 3 利用 奇函数在关于原点对称的区间上有最值 则f x max f x min 0 的性质解决有关最值问题 考点11 考法4 2 利用奇偶性求值 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法4 函数奇偶性的判断及其应用 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法4 函数奇偶性的判断及其应用 考点11函数的奇偶性与周期性 1 周期性 1 若f x a f x 则函数f x 是周期函数 其中一个周期为t a 2 若f x a f x 或f x a 1 f x 或f x a 1 f x 则函数f x 是周期函数 其中一个周期为t 2 a 3 若f x a f x b a b 则函数f x 是周期函数 其中一个周期为t a b 4 若对于r上的任意x都有f 2a x f x 且f 2b x f x 其中a b 则y f x 是以2 b a 为周期的周期函数 2 函数图象的对称性 1 函数y f x 满足f x 2b f 2a x 也就是y f x 的图象关于点 a b 成中心对称 2 函数y f x 满足f x f 2a x 也就是y f x 的图象关于直线x a成轴对称 3 y f x a 是偶函数 也就是函数y f x 的图象关于直线x a对称 y f x a 是奇函数 也就是函数y f x 的图象关于点 a 0 对称 考点11 考法5 函数的周期性与对称性 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法5 函数的周期性与对称性 考点11函数的奇偶性与周期性 类型1求函数值 考法6利用函数的奇偶性 周期性 单调性等求值 类型2解不等式 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法6 类型1求函数值 1 利用奇函数的定义式f x f x 或偶函数的定义式f x f x 建立f x 与f x 之间的关系 将所求的f t 转化到可求值的f t 上 达到求值的目的 2 利用周期函数的定义式f x t f x 把不在已知的解析式范围之内的x通过周期变换转化到已知的解析式范围之内 以方便代入解析式求值 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法6 类型2解不等式 1 根据奇函数 偶函数的图象特征和性质 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 f x 为偶函数 f x f x 得出区间上的单调性或函数图象 将函数不等式转化为一般不等式 从而解决函数不等式问题 2 根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上 再根据单调性脱去符号 f 求解 考点11函数的奇偶性与周期性 考点11 考法6 利用函数的奇偶性 周期性 单调性等求值 考点11函数的奇偶性与周期性 目录 600分基础考点 考法考点12二次函数的图象和性质考点13幂函数700分综合考点 考法综合问题3二次函数的综合应用 第3节二次函数与幂函数 考点12二次函数的图象和性质 1 一般式f x ax2 bx c a 0 2 顶点式f x a x h 2 k a 0 h k 是其图象的顶点坐标 3 两点式f x a x x1 x x2 a 0 x1 x2是其图象与x轴交点的横坐标 1 二次函数解析式的三种形式 考点12二次函数的图象和性质 2 二次函数的图象和性质 考法1二次函数的图象 考法2二次函数的性质 二次函数的图象和性质 考点12 考点12二次函数的图象和性质 确定二次函数的图象 主要有以下三个要点 一是看二次项系数的符号 二是看对称轴和最值 三是看函数图象上的一些特殊点 从这三方面入手 能准确地判断出二次函数的图象 考点12 考法1 二次函数的图象 确定二次函数图象的开口方向 确定二次函数图象的具体位置 如函数图象与y轴的交点 与x轴的交点 函数图象的最高点或最低点等 考点12二次函数的图象和性质 考点12 考法1 二次函数的图象 考点12二次函数的图象和性质 1 二次函数的单调性 考点12 考法2 二次函数的性质 二次函数的单调性在其图象对称轴左 右两侧不同 因此其单调性主要依据图象的对称轴进行分析讨论 2 二次函数在给定区间的最值 主要有三种类型 轴定区间定轴动区间定轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系 当含有参数时 要结合函数图象 依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 考点12二次函数的图象和性质 考点12 考法2 二次函数的性质 2 二次函数在给定区间的最值 设f x ax2 bx c a 0 则二次函数f x 在闭区间 m n 上的最大值 最小值有如下的分布情况 其实质是 无论二次函数图象的开口向上还是向下 都有 二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值 它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴处取得 若对称轴不在给定区间内则只考虑端点 可分别求出函数值再通过比较大小确定最值 对于a 0的情况 讨论类似 注意 研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负及图象对称轴的位置 这两点不应被忽视 求最值时 也可考虑先用导数法确定单调性或根据极值与最值关系求解 考点12二次函数的图象和性质 考点12 考法2 二次函数的性质 考法例 1 已知函数f x x2 4x 3 x 4 6 求f x 的最值 2 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a的值 考点12二次函数的图象和性质 解 1 f x x2 4x 3 x 2 2 1 x 4 6 f x 在 4 2 上单调递减 在 2 6 上单调递增 f x 的最小值是f 2 1 又 f 4 35 f 6 15 f x 的最大值是35 2 函数f x x2 2ax 1 a x a 2 a2 a 1 其图象的对称轴方程为x a 当a1时 f x max f 1 a a 2 综上 a 1或a 2 考点12 考法2 二次函数的性质 考法例 3 设函数y x2 2x x 2 a 若函数的最小值为g a 求g a 解 函数y x2 2x x 1 2 1 函数图象的对称轴为直线x 1 当 21时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 y取得最小值 即ymin 1 综上 考点12二次函数的图象和性质 3 注意三个 二次 的关系 考点12 考法2 二次函数的性质 二次函数f x ax2 bx c a 0 的零点 图象与x轴交点的横坐标 是相应一元二次方程ax2 bx c 0的根 也是一元二次不等式ax2 bx c 0 0 解集的端点值 考点12二次函数的图象和性质 考点12 考法2 二次函数的性质 考点12二次函数的图象和性质 考点13幂函数 思考 幂函数解析式满足的特点 1 幂函数的定义 一般地 形如y x r 的函数称为幂函数 其中底数x是自变量 为常数 2 常见幂函数的图象 在同一平面直角坐标系内 幂函数y x y x2 y x3 y x0 5 y x 1的图象分别如图所示 由图可知 幂函数的图象一定出现在第一象限 一定不出现在第四象限 若与坐标轴相交 一定交于原点 考点13幂函数 3 幂函数的性质 考点13 考法3 幂函数的图象和性质 解决幂函数有关问题时 要掌握以下原则 1 幂函数解析式一定要设为y x 为常数 的形式 2 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性 单调性 3 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 考点13幂函数 考点13 考法3 幂函数的图象和性质 借助函数图象进行比较时 应掌握 幂函数在第一象限的图象中 以直线x 1为分界线 当01时 越大 图象越高 即图象离x轴越远 不包含y x0 由此比较同指数幂的大小 考点13幂函数 考点13 考法3 幂函数的图象和性质 考点13幂函数 考点13 考法3 幂函数的图象和性质 考点13幂函数 综合问题3二次函数的综合应用 综合点1二次函数恒成立问题 综合问题3二次函数的综合应用 若 x r 不等式恒成立 常使用方法 1 2 若x d 常使用分离变量法 在使用分离变量法时 一定要观察分离变量时能否使得不等式等价变形 综合点1二次函数恒成立问题 考法例 浙江温州2016届一模 已知函数f x x t x t r 1 讨论函数f x 的单调区间 2 若 t 0 2 对于 x 1 2 不等式f x x a都成立 求实数a的取值范围 综合问题3二次函数的综合应用 综合点1二次函数恒成立问题 方法二 设h t f x x x t x x x t 0 2 只需h t max a 对x 1 2 都成立 则只需h 0 x x x a对x 1 2 都成立 设m x x x x x 1 2 只需m x min a 易求得a 综合问题3二次函数的综合应用 目录 600分基础考点 考法考点14指数函数的图象与性质考点15对数函数的图象与性质700分综合考点 考法综合问题4指数 对数函数综合问题 第4节指数函数与对数函数 考点14指数函数的图象与性质 1 有理数指数幂 1 幂的有关概念 2 有理数指数幂的运算性质 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂也适用 考点14指数函数的图象与性质 2 指数函数图象与性质 y ax与y a x的图象关于y轴对称 考法1与指数函数的图象相关的问题 考法2指数函数性质的应用 指数函数的图象与性质 考点14 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法1 与指数函数的图象相关的问题 1 对于有关指数型函数的图象问题 一般是从最基本的指数函数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 2 有关指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象 数形结合求解 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法1 与指数函数的图象相关的问题 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法1 与指数函数的图象相关的问题 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 当底数相同 指数不同时 构造一个指数函数 然后比较大小 当指数相同 底数不同时 构造两个指数函数 利用图象比较大小 或构造一个幂函数 然后比较大小 当底数不同 指数不同时 可借助中间值0或1比较大小 再间接得出大小关系 1 比较两个指数幂大小时 尽量化同底或同指 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 利用图象比较时 指数函数y ax y bx y cx y dx a 1 b 1 0b 1 c d 0 根据y轴右侧的图象 也可以利用口诀 底大图高 来记忆 由此判断同指的指数幂的大小 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 2 与指数函数有关的复合函数的单调性 要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 而与其有关的最值问题 往往转化为二次函数的最值问题 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点14 考法2 指数函数性质的应用 考点14指数函数的图象与性质 考点15对数函数图象与性质的应用 1 对数的概念 1 指数式与对数式的互化 ax n x logan a 0且a 1 在x logan中 a叫做对数的底数 n叫做真数 真数应大于0 2 几种常见对数 考点15对数函数图象与性质 2 对数的性质与运算法则 3 对数函数的图象与性质 对数函数中 真数大于0 因此对数函数y logax的定义域为 0 研究其单调性时分0 a 1和a 1两种情况 考点15对数函数图象与性质 4 反函数 指数函数y ax与对数函数y logax a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线y x对称 考点15对数函数图象与性质 考法3指数与对数的运算 考法5对数函数的性质及其应用 对数函数的图象与性质 考点15 考法4对数函数的图象及其应用 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法3 指数与对数的运算 在幂的运算中 先利用幂的运算把底数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 在对数的运算中 化同底是对数式变形的首选方向 其中经常用到换底公式 然后运用对数运算法则化简合并 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法4 对数函数的图象及其应用 1 研究对数型函数的图象时 一般从最基本的对数函数的图象入手 抓住图象上的三个关键点 a 1 1 0 以及函数的定义域及单调性 并结合平移 伸缩 对称变换等手段 特别地 要注意底数a 1和0 a 1的两种不同情况 根据直线x 1右侧的图象 单调性相同时也可以利用口诀 底大图低 来记忆 由此b a 1 d c 0 2 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法4 对数函数的图象及其应用 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法4 对数函数的图象及其应用 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法5 1 比较对数式的大小 1 当底数相同时 直接利用对数函数的单调性比较大小 若0g x 0 logaf x logag x 若a 1 则f x g x 0 logaf x logag x 2 当底数不同 真数相同时 可转化为同底 利用换底公式 或利用函数的图象数形结合解决 若a b 1 当f x 1时 logbf x logaf x 当0logbf x 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法5 1 比较对数式的大小 若a 1 b 0 当f x 1时 logaf x 0 logbf x 当0 f x 1时 logaf x 0 logbf x 3 当不同底 不同真数时 可利用中间量 0或1 进行比较 若01时 logbf x logaf x 当0logbf x 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法5 2 对数型函数的性质及应用 3 对于y logaf x 借助 同增异减 的规则 其单调性与函数f x 的单调性在a 1时相同 在0 a 1时相反 相应地 单调区间是函数f x 对应的单调区间与定义域的交集 函数y f logax 的单调性一般用复合函数的 同增异减 规则来判定 2 判断对数函数的底数a与1的关系 当底数a的大小不确定时 要判断函数单调性 就必须对底数a 0 1 和a 1 进行分类讨论 1 先求出函数的定义域 研究对数型复合函数的单调性 一定要坚持 定义域优先 原则 否则所得范围易出错 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法5 2 对数型函数的性质及其应用 考点15对数函数图象与性质 考点15 考法5 2 对数型函数的性质及其应用 考点15对数函数图象与性质 综合点1指数 对数函数关系 反函数 的应用 综合点2与指数 对数函数有关的恒成立问题 指数 对数函数综合问题 综合问题4 综合点3与指数 对数函数有关的方程 不等式问题 综合点1指数 对数函数关系 反函数 的应用 综合问题4指数 对数函数综合问题 指数函数 对数函数 互为反函数 定义域和值域互换 性质 图象关于直线y x对称 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 2 若函数y f x 图象上有一点 a b 则点 b a 必在其反函数的图象上 反之 若点 b a 在反函数的图象上 则点 a b 必在原函数的图象上 3 反函数的定义域 值域分别是原函数的值域 定义域 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 奇偶性 综合点1指数 对数函数关系 反函数 的应用 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点2与指数 对数函数有关的恒成立问题 1 与指数型函数有关的恒成立问题的解法 转化与化归的思想 f x g x 0恒成立 当a 1时 af x ag x 恒成立 f x g x 恒成立 f x g x min 0 构造函数 f x g x min 0 设h x f x g x 求出h x 的最小值即可 当0 a 1时 af x ag x 恒成立 f x g x 恒成立 构造函数 f x g x max 0 设h x f x g x 求出h x 的最大值即可 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点2与指数 对数函数有关的恒成立问题 2 与对数型函数有关的恒成立问题的解法 与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关 对于函数y logaf x 若定义域为r 即对任意x都有意义 则f x 0在r上恒成立 若函数y logaf x 的值域为r 则函数f x 能取遍所有正实数 在进行转化时 一定要等价转化 需要讨论参数时 要进行分类讨论 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点2与指数 对数函数有关的恒成立问题 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点3与指数 对数函数有关的方程 不等式问题 利用指数 对数函数的定义域和单调性等性质来解指数 对数方程及不等式的常用的方法如下 方法1图象法 方法2同底法 常用方法 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点3与指数 对数函数有关的方程 不等式问题 方法3对数法 方法4换元法 在讨论与指数 对数有关的函数问题时 一定要分清0 a 1还是a 1 注意函数的定义域 如果需将函数解析式 或方程等 变形 注意保证等价性及取值范围 p a2x q ax r 0 令t ax 得pt2 qt r 0 转化为关于t的一元二次方程 p q r为常数 p 0 a 0且a 1 同理可将不等式通过换元转化为一般不等式求解 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点3与指数 对数函数有关的方程 不等式问题 综合问题4指数 对数函数综合问题 综合点3与指数 对数函数有关的方程 不等式问题 综合问题4指数 对数函数综合问题 目录 600分基础考点 考法考点16函数的图象及其应用 第5节函数的图象及其应用 考点16函数的图象及其应用 1 函数图象的作法 1 描点法作图 通过列表 描点 连线三个步骤 画出函数图象 用描点法在选点时往往选取特殊点 有时也可利用函数的性质 如单调性 奇偶性 周期性 画出图象 2 图象变换法作图 一个函数的图象经过适当的变换 得到另一个与之有关的函数图象 在高考中要求学生掌握三种变换 平移变换 伸缩变换 对称变换 考点16函数的图象及其应用 2 函数图象间的变换 1 平移变换 注意 左加右减 上加下减 2 函数图象间的变换 2 对称变换 翻折变换 3 伸缩变换 考点16函数的图象及其应用 考法2函数图象的识辨 考法1函数图象的作法及变换 函数的图象及其应用 考点16 考法3函数图象的应用 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法1 函数图象的作法及变换 1 直接法 根据函数解析式 基本初等函数的图象及作图法作出函数图象 2 利用函数图象的变换 1 平移变换 2 伸缩变换 3 对称翻折变换 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法1 函数图象的作法及变换 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法2 函数图象的识辨 识辨函数图象 1 直接法 根据函数解析式判断函数的奇偶性 单调性和周期性 作出 判断 图象的一部分 再结合性质作出 判断 函数图象 或者是根据图象变换作出 判断 函数的图象 2 间接法 1 从函数的定义域 判断图象的左右位置 2 从函数的单调性 判断图象的升降变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 从函数的周期性 判断图象是否具有循环往复的特点 5 从特殊点出发 灵活应用上述方法 可以很快确定函数的图象 3 以实际背景 图形为依托 判断其中某两个量构成的函数的图象时 一是根据题目所给条件确定解析式 从而判断函数图象 定量分析 二是根据自变量取不同值时函数值的升降 增减速度等判断函数图象 定性分析 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法2 函数图象的识辨 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法2 函数图象的识辨 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法2 函数图象的识辨 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 数形结合是解决数学问题重要的思想方法 利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题 如利用函数的图象解决函数性质的应用问题 解决函数的零点 方程的解的问题 解决有关不等式的问题等 函数图象的应用常与函数零点 方程或不等式有关 一般为讨论函数f x 零点 方程f x 0的根 的个数或由零点 根 的个数求参数取值 范围 或使不等式f x 0成立的参数范围等 此时题中涉及的函数f x 的图象一般不易直接画出 但可将其转化为与f x 有一定关系的函数f x 和g x 如f x f x g x 的图象问题 且f x 与g x 的图象易得 具体如下 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 1 方程根的个数问题与函数零点 图象交点的个数问题 1 判断方程f x 0的根的个数问题 可以转化为函数y f x 的图象与x轴的交点个数问题 也就是函数y f x 的零点个数问题 2 判断方程f x g x 的根的个数问题 可以转化为函数y f x 和y g x 图象交点的个数问题 通过在直角坐标系中作出两个函数图象 从而确定交点的个数 也就是方程f x g x 根的个数 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 2 不等式问题 对于不等式f x 0或f x 0的解集 当y f x 的图象在x轴下方时 函数值小于0 相应图象上的点的横坐标的集合为不等式f x 0的解集 利用函数f x 和g x 图象的上下位置关系 也可直观地得到不等式f x g x 或f x g x 的解集 当f x 的图象在g x 的图象的下方时 此时自变量x的取值范围便是不等式f x g x 的解集 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 考点16函数的图象及其应用 考点16 考法3 函数图象的应用 考点16函数的图象及其应用 目录 600分基础考点 考法考点17函数的零点问题考点18函数的实际应用 第6节函数与方程函数的实际应用 考点17函数的零点问题 1 函数零点的定义 对于函数y f x x d 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 考点17函数的零点问题 3 零点存在性定理 函数零点的判定 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 1 不满足f a f b 0的函数也可能有零点 2 函数的零点不是y f x 图象与x轴的交点 是交点的横坐标 即函数的零点不是点 是自变量 这一点与极值点类似 注意 4 二分法求方程的近似解 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 令a c 零点在区间 c b 内 4 判断是否达到精确度 若 a b 小于精确度 可得零点的近似值 否则重复步骤 2 3 考点17函数的零点问题 考法1函数零点所在区间与零点个数的判断 考法2根据零点的存在情况 求参数的值或范围 函数的零点问题 考点17 考法3与二次函数有关的零点问题 考点17函数的零点问题 考点17 考法1 函数零点所在区间与零点个数的判断 根据函数的零点与相应方程根的关系可知 求函数的零点与求相应方程的根是等价的 对于求方程f x g x 的根 可以构造函数f x f x g x 函数f x 的零点即方程f x g x 的根 1 函数零点所在区间的判断方法 2 函数在给定区间上的零点个数的判断方法 考点17函数的零点问题 考点17 考法1 函数零点所在区间与零点个数的判断 1 函数零点所在区间的判断方法 1 图象法 画出相应的函数图象 通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断 2 解方程 当对应方程易解时 可通过解方程确定