高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件1.ppt

2 2函数的基本性质 高考数学 考点一函数的单调性1 函数的单调性 对于给定区间上的函数f x 及属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在给定区间上是减函数 这个区间就叫做这个函数的单调减区间 反映在图象上 若函数f x 是区间d上的增 减 函数 则图象在d上的部分从左到右是上升 下降 的 2 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 3 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 4 奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性 偶函数在对称的两个区间上具有 相反的单 知识清单 调性 5 利用导数研究函数的单调性 3 复合函数单调性的判断方法 如果y f u 和u g x 单调性相同 那么y f g x 是增函数 如果y f u 和u g x 的单调性相反 那么y f g x 是减函数 4 一些重要函数的单调性 1 y x 的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 0 和 0 1 2 y ax a 0 b 0 的单调增区间为 和 单调减区间为 0和 5 函数的单调性是一个 区间概念 有时一个函数在其定义域的几个 区间上都是增 减 函数 也不能说这个函数在其定义域上是增 减 函数 例如 函数f x 在 0 上是减函数 在 0 上也是减函数 但不能说f x 在 0 0 上是减函数 因为当x1 1 x2 1时 有f x1 1 f x2 1 不满足减函数的定义 特别提醒 求函数单调区间应注意以下几个问题 1 函数的单调区间是函数定义域的非空子集 求函数的单调区间必须先确定函数的定义域 求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行 2 函数的单调区间可以是开的 也可以是闭的 还可以是半开半闭的 对于闭区间上的连续函数来说 只要在开区间上单调 它在闭区间上也单 调 因此 只要函数在单调区间的端点连续且有意义 都可以使单调区间包括端点 考点二函数的奇偶性与周期性1 函数的奇偶性 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做 偶函数 函数f x 可以是奇函数也可以是偶函数 也可以既是奇函数又是偶函数 也可以两者都不是 但必须注意 研究函数的奇偶性必须先明确函数的定义域是否关于 原点对称 2 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y轴对称 反之也成立 在定义域的公共部分内 两个奇函数之积 商 为偶函数 两个偶函数之积 商 也是偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注 取商时应使分母不为0 奇 偶 函数定义的等价形式 f x f x f x f x 0 1 f x 0 3 若函数y f x 是奇函数且0在定义域内 则f 0 0 4 一些重要类型的奇偶函数 a 0且a 1 1 函数f x ax a x为偶函数 函数f x ax a x为奇函数 2 函数f x 为奇函数 3 函数f x loga为奇函数 4 函数f x loga x 为奇函数 5 函数的周期性 对于函数y f x 如果存在一个不为零的常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 f x t f x 都成立 那么就把函数y f x 叫周 期函数 不为零的常数t叫这个函数的周期 显然nt n z 且n 0 也为f x 的周期 函数单调性的解题策略1 证明函数的单调性 可利用单调性定义 2 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 常用的方法有 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义确定单调区间 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 则可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 3 运用函数单调性解不等式 要特别注意函数的定义域 4 复合函数单调性的判断方法 由两个基本初等函数复合而成的函数的单调性的判定法则是 同增异减 即若两个基本初等函数的单调性相 方法技巧 解析当函数f x 在 2 上是增函数时 有解得1 a 当函数f x 在 2 上是减函数时 有无解 综合得1 a 例2若函数f x loga ax2 x 在区间上是增函数 求实数a的取值范围 解析函数f x 是由y logau与u ax2 x复合而成的 当a 1时 函数y logau在 0 上为增函数 要使函数f x loga ax2 x 在区间上是增函数 则函数u ax2 x在区间上是增函数 且x 时 u 0恒成立 则有得a 2 当00恒成立 则有无解 综合可知a 2 关于函数奇偶性的解题策略1 判断函数的奇偶性 一般利用奇偶性定义或函数图象 2 在判断函数的奇偶性时 要注意先判断函数的定义域是否关于原点对称 在判断分段函数的奇偶性时 应根据x的范围分段讨论 3 奇偶性的应用往往与单调性 对称性 周期性相结合 例3 2017浙江镇海中学模拟卷二 4 已知f x b是奇函数 其中a 0 b r 则f 1 a 1b c d 2 c 解题导引由奇函数的定义得恒等式 求得a b的值 求得解析式 由解析式得结论 解析因为f x b是奇函数 所以f x f x 0 即 b b 0恒成立 即 2b 所以22x 2a 2x 1 2b a 22x a2 1 2x a 恒成立 即所以故f x 因此f 1 故选c 例4已知函数y f x 1 为偶函数 且f x 在 1 上递减 设a f log210 b f log310 c f 0 10 2 则a b c的大小关系正确的是 a a b cb b a cc c b ad c a b c 解析因为y f x 1 为偶函数 所以f x 1 f x 1 从而c f 0 10 2 f 2 0 10 2 又log210 log310 2 2 0 10 2 1 f x 在 1 上递减 故有f log210 f log310 f 2 0 10 2 f 0 10 2 即a b c 求函数值域 或最值 的解题策略1 基本函数法基本函数的值域 或最值 可通过它的图象 性质直接求解 2 配方法对于形如y ax2 bx c a 0 或f x a f x 2 bf x c a 0 类的函数的值域 或最值 问题 均可用配方法求解 3 换元法利用代数或三角换元 将所给函数转化成易求值域 或最值 的函数 形如y 的函数 令f x t 形如y ax b a b c d均为常数 ac 0 的函数 令 t 含结构的函数 可利用三角代换 令x acos 0 或令x asin 4 基本不等式法利用基本不等式 a b 2 a 0 b 0 求函数值域 或最值 时 要注意条件 一正 二定 三相等 即利用a b 2求某些函数值域 或最值 时应满足三个条件 a 0 b 0 a b 或ab 为定值 取等号条件a b 三个条件缺一不可 5 函数的单调性法由函数在定义域 或定义域的某个子集 上的单调性求出函数的值域 或最值 例如f x ax a 0 b 0 当利用基本不等式法 等号不能成立时 可考虑用函数的单调性解题 6 数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义 可借助于几何法求函数的值域 或最值 如由可联想点 x1 y1 与点 x2 y2 连线的斜率 7 函数的有界性法形如y 可用y表示出sinx 再根据 1 sinx 1解关于y的不等式 可求出y的取值范围 8 判别式法若函数y f x 可以化为一个系数含有y的关于x的方程a y x2 b y x c 0 则当a y 0时 若x r 则 0 得到关于y的不等式 解此不等式得到y的取值范围 从而确定函数的值域 或最值 并检验a y 0时对应的x值是否 在定义域内 以决定a y 0时y的值的取舍 例5 2017浙江杭州二模 4月 20 1 设函数f x 求函数f x 的值域 解析解法一 函数f x 的定义域是 1 1 f x 当f x 0时 解得x 0 所以f x 在 0 1 上单调递减 在 1 0 上单调递增 所以f x min f 1 f 1 f x max f 0 2 所以函数f x 的值域为 2 解法二 设t 两边平方知t2 2 2 因为 1 x 1 所以2 t2 4 所以 t 2 即函数f x 的值域为 2 例6 2015湖北 17 5分 a为实数 函数f x x2 ax 在区间 0 1 上的最大值记为g a 当a 时 g a 的值最小 解析当a 0时 f x x2 在 0 1 上为增函数 g a f 1 1 当a 0时 f x 的图象如图所示 i 当a 2时 1 此时f x 在 0 1 上为增函数 g a f 1 a 1 ii 当1 a 2时 1 a 此时g a f iii 当0 a 1时 a 1 此时g a max f f 1 1 a 当0f 1 g a f 当a0时f x 的图象关于y轴对称 所以求a 0时的最值即可 g a 其图象如图所示 当a 2 2时 g a 的值最小 答案2 2 关于函数周期性的解题策略1 函数的周期性问题一般需先判断函数的周期 再利用周期性求函数值 2 函数的周期性与对称性往往同时出现 转化的技巧在于换元 有时也可通过求特殊值发现函数的周期