高考数学大一轮复习 专题4 三角函数课件 文.ppt

专题4三角函数 第1节三角函数的概念 三角恒等变换第2节三角函数的图象和性质第3节正弦定理 余弦定理及解三角形 目录 600分基础考点 考法考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式考点23两角和与差 倍角公式的应用700分综合考点 考法综合问题7三角恒等变换的综合问题 第1节三角函数的概念 三角恒等变换 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 1 任意角和弧度制 1 终边相同的角一般地 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s k 360 k z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 注意 1 要使角 与角 的终边相同 应使角 为角 与 的偶数倍 不是整数倍 的和 2 注意锐角 集合为 0 90 与第一象限角 集合为 k 360 90 k 360 k z 的区别 锐角是第一象限角 仅是第一象限角中的一部分 但第一象限角不一定是锐角 2 三角函数的定义 3 三角函数值在各象限的符号规律概括为一全正 二正弦 三正切 四余弦 4 同角三角函数的基本关系式 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 5 诱导公式 1 公式 3 诱导公式记忆法 2 诱导公式的应用原则 负化正 大化小 化到锐角为止 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考法1利用三角函数的定义求值 考法2利用同角三角函数基本关系 诱导公式化简和求值 任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法1 利用三角函数的定义求值 1 利用三角函数定义求三角函数值 参数值 利用三角函数的定义求三角函数值 参数值 时 需要确定角的终边上异于原点的任意一点p的坐标以及点p到原点的距离r 具体做法有下列三种 1 已知角 终边上一点p的坐标 根据三角函数的定义求出相应的值即可 2 若已知角 的终边所在直线的方程求三角函数值 可以先设出终边上一点的坐标 再根据定义求相应的值 若所给的终边是射线 三角函数值只有一种情况 若所给的终边是直线 注意两个象限的可能情况 要讨论两种情况 避免漏解 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的值 再求三角函数值 3 若角 终边上的点的坐标中含参数 要讨论参数的各种情况 以确定角 终边所在的象限 进一步正确得出各个三角函数值 此时注意不要漏解或多解 注意 认清角的终边所在的象限 用来确定三角函数值的符号 防止出现错误 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法1 利用三角函数的定义求值 2 根据三角函数定义确定图象由题意求得解析式 再根据三角函数定义或三角函数线确定图象 或根据题意判断变量变化规律与三角函数的吻合性 从而判断图象 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法1 利用三角函数的定义求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法1 利用三角函数的定义求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法2 利用同角三角函数基本关系 诱导公式化简和求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法2 利用同角三角函数基本关系式 诱导公式化简和求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法2 利用同角三角函数基本关系式 诱导公式化简和求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点22 考法2 利用同角三角函数基本关系式 诱导公式化简和求值 考点22任意角的三角函数 同角三角函数基本关系与诱导公式 考点23两角和与差 倍角公式的应用 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 3 有关公式的逆用 变形 4 辅助角公式 考法3三角函数式的化简 给角求值 考法4三角函数的给值求值 角 两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法5倍角公式与其他三角公式的应用 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法3 三角函数式的化简 给角求值 给角求值问题 即在不查表的前提下 通过三角恒等变换求三角函数式的值 一般所给出的角都是非特殊角 通过转化化为如下几种 特殊角的三角函数值 正 负相消的项和特殊角三角函数值 可约分的项和特殊角的三角函数值等 强调三个变化 1 变角 2 变名 3 变式 通过对角的拆分尽可能化为同角 特殊角 已知角的和与差 其手法通常是 配凑 通过变换尽可能减少函数种类 降低次数 减少项数 其手法通常有 切化弦 升幂与降幂 等 根据式子的结构特征进行变形 使其更简化 更贴近某个公式或某个期待的目标 其手法通常有 常值代换 逆用 变形用公式 通分与约分 分解与组合 配方与平方 等 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法3 三角函数式的化简 给角求值 考点23两角和与差 倍角公式的应用 类型1给值求值问题类型2给值求角 考法4三角函数的给值求值 角 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法4 类型1给值求值问题 1 解题中的三大重要过程在具体求解时 如果已知式中含有正切 一般是切化弦 化简之后 要注意几点 1 发现差异 2 寻找联系 3 合理转化2 特别注意两个技巧 1 拆角 拼角技巧 2 化简技巧 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法4 类型2给值求角 解决给值求角问题遵循的原则 选取合适的函数有利于求解的准确性 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法4 三角函数的给值求值 角 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法4 三角函数的给值求值 角 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法5 倍角公式与其他三角公式的应用 根据已知条件 题目中经常出现如下几种情况 考点23两角和与差 倍角公式的应用 考点23 考法5 倍角公式与其他三角公式的应用 考点23两角和与差 倍角公式的应用 综合点1三角恒等变换与三角函数性质的综合 综合点2三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换的综合问题 综合问题7 综合点3三角恒等变换与向量的综合 综合点1三角恒等变换与三角函数性质的综合 1 三角恒等变换的应用思路 1 如果函数解析式中出现 及其二倍角 半角或函数值的平方 应根据变换的难易程度去化简 往往要利用到二倍角公式 升幂或降幂公式 把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式 2 要正确理解三角函数的性质关键是掌握三角函数的图象 根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性 最值与周期 2 往往都要先化成f x asin x 的形式再求解 因此辅助角公式f acos bsin sin a b为非零常数 在解决此类题时非常重要 对公式要熟练掌握 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点1三角恒等变换与三角函数性质的综合 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点1三角恒等变换与三角函数性质的综合 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点2三角恒等变换与解三角形的综合 使用三角恒等变换参与解三角形时 主要有两种途径 1 利用正弦定理把边的关系化成角 因为三个角之和等于 可以根据此关系把未知量减少 再用三角恒等变换化简求解 2 利用余弦定理把角的关系化成边的关系 再用三角恒等变换化简求解 注意 此类题中的角是在三角形中 每个角的范围限制在 0 内 如果是锐角三角形 那么需要限制各个角均在内 角的范围在解题中至关重要 做题时要特别注意 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点2三角恒等变换与解三角形的综合 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点3三角恒等变换与向量的综合 综合问题7三角恒等变换的综合问题 综合点3三角恒等变换与向量的综合 综合问题7三角恒等变换的综合问题 目录 600分基础考点 考法考点24三角函数图象及其变换考点25三角函数性质的应用 第2节三角函数的图象和性质 考点24三角函数图象及其变换 1 五点法 描图 1 五点法 描图 2 三角函数图象的变换 函数y asin x k a 0 0 中 参数a k的变化引起图象的变换 a的变化引起图象中振幅的变换 即纵向伸缩变换 的变化引起周期的变换 即横向伸缩变换 的变化引起左右平移变换 k的变化引起上下平移变换 图象平移遵循的规律为 左加右减 上加下减 考点24三角函数图象及其变换 考法1三角函数图象的变换 考法2根据三角函数图象 或性质 求解析式 三角函数图象及其变换 考点24 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法1 三角函数图象的变换 1 解决三角函数图象的变换问题的思路 1 若变换前后的两个函数不同名 应把变换前后两个函数化为同名函数 2 找出它们的不同 指出实施的变换 注意平移变换是针对x而言的 2 常规方法 先平移变换 先相位变换的区别是 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法1 三角函数图象的变换 1 解决三角函数图象的变换问题的思路 1 若变换前后的两个函数不同名 应把变换前后两个函数化为同名函数 要合理利用诱导公式 2 找出它们的不同 指出实施的变换 注意平移变换是针对x而言的 2 常规方法 3 快速方法 图象平移变换实质就是点的平移变换 横坐标的平移变换对应着图象的左右平移 纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移 一般可选定变换前后两函数f x g x 的图象与x轴的第一个交点 即图象上升时与x轴的交点 分别为 x1 0 x2 0 f x1 0 g x2 0 则由x2 x1的值可判断出左右平移的情况 由g x max f x max的值可判断出上下平移的情况 由三角函数最小正周期的变化判断伸缩变换 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法1 三角函数图象的变换 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法1 三角函数图象的变换 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法2 根据三角函数的图象 或性质 求解析式 由图象 或性质 求三角函数解析式的方法 考点24三角函数图象及其变换 考点24 考法2 根据三角函数的图象 或性质 求解析式 考点24三角函数图象及其变换 考点25三角函数性质的应用 三角函数的图象和性质函数 考法3三角函数的奇偶性及其图象的对称性 考法4三角函数的周期性 三角函数性质的应用 考点25 考法5三角函数的单调性与单调区间 考法6三角函数的最值及值域 考法7三角函数图象的综合应用 考法8三角函数性质的综合应用 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法3 三角函数的奇偶性及其图象的对称性 1 奇偶性 2 对称性 整体思想 在求解三角函数问题中应用广泛 如果具有奇偶性 一般可以写成 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法3 三角函数的奇偶性及其图象的对称性 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法4 三角函数的周期性 1 一般先要对三角函数关系式进行三角恒等变换 把三角函数式化为一个角的一个三角函数 即化为y asin x h或y acos x h或y atan x h的形式 注意 使用周期公式时一定要加绝对值 有正负 2 根据三角函数的周期公式求解 正弦型函数y asin x 和余弦型函数y acos x 的最小正周期为 正切型函数y atan x 的最小正周期为 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法4 三角函数的周期性 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法5 三角函数的单调性与单调区间 1 求形如y asin x h 0 的单调区间时 一般利用复合函数的单调性原理 同增异减 来求出此函数的单调区间 步骤为 把 x 看作一个整体去分析 在定义域内讨论单调性 求解中要注意的是 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法5 三角函数的单调性与单调区间 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法6 三角函数的最值及值域 1 如果出现的角为x 1 x 2 可以考虑根据两角和差公式化为关于x的三角函数式 如果出现sin2x cos2x或sinx cosx 可逆向运用二倍角公式 将函数化为关于角2x的三角函数等 2 求解三角函数的最值 值域 时 常见以下几种类型的题目 形如y asinx bcosx c的函数 应用辅助角公式化为y sin x c a b为非零常数 的形式 再根据sin x 的取值范围求最值 值域 形如y asin2x bsinx c的函数 可先设sinx t 化为关于t的二次函数y at2 bt c 再根据二次函数的单调性及t的取值范围求最值 值域 形如y asinxcosx b sinx cosx c的函数 可先设t sinx cosx 得到t2 1 2sinxcosx 根据此关系把原解析式化为关于t的二次函数 再求最值 值域 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法6 三角函数的最值及值域 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法7 三角函数图象的综合应用 1 给出函数解析式 利用性质判断函数图象 通常采取排除验证的方法 从选项中找出突破口 根据函数解析式 综合分析出它的各种性质 定义域 单调性 奇偶性 周期性 尤其是图象上的特殊点 利用这些特征排除干扰项 找出正确答案 2 根据图象研究方程根的情况 此类题目一般不要求直接解方程 而是根据方程对应的函数图象的交点个数来判断根的个数 用到函数与方程的思想 解题过程中作函数图象要准确 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法7 三角函数图象的综合应用 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法8 三角函数性质的综合应用 三角函数综合题的解答常与三角恒等变换相结合 难度不大 一般涉及如下几类 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法8 三角函数性质的综合应用 考点25三角函数性质的应用 考点25 考法8 三角函数性质的综合应用 考点25三角函数性质的应用 目录 600分基础考点 考法考点26利用正弦 余弦定理解三角形700分综合考点 考法综合问题8正弦定理 余弦定理的综合应用 第3节正弦定理 余弦定理及解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 1 正弦定理 2 余弦定理 3 面积公式 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 4 解三角形常用到的几个结论 2 内角a b c成等差数列 b 60 a c 120 3 三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 abc中 a b a b sina sinb 4 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 考法1利用正弦定理解三角形 考法2利用余弦定理解三角形 利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法3利用正弦定理 余弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法1 利用正弦定理解三角形 1 在解三角形时 利用正弦定理可解决的两类问题 1 已知 abc的两角a b及一边a 求角c和边b c 2 已知 abc的两边a b及一边的对角a 求边c和角b c 也可以由余弦定理列出关于c的方程 求边c 再应用正弦定理或余弦定理求b c 此时可避免对角的讨论 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法1 利用正弦定理解三角形 2 已知 abc的两边a b及一边的对角a 求角b这个问题是这部分的难点 结果可能有一解 两解 无解 具体如下表所示 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法1 利用正弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法1 利用正弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法1 利用正弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法2 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可解决两类问题 1 已知两边a b及夹角c 求第三边c和其他两角a b 2 已知三边a b c 或三边的关系 求各角 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法2 利用余弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法2 利用余弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法3 利用正弦定理 余弦定理解三角形 利用正弦定理 余弦定理解三角形时 应熟练掌握考法1和考法2的内容 1 若已知等式中左右均有边 一般利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 2 若已知等式中左右均有角的正弦 也可利用正弦定理将角的关系转化为边的关系 3 否则 可考虑使用余弦定理 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 考点26 考法3 利用正弦定理 余弦定理解三角形 考点26利用正弦 余弦定理解三角形 综合点1判断三角形形状 综合点2与面积 范围有关的问题 正弦定理 余弦定理的综合应用 综合问题8 综合点3正弦定理 余弦定理在平面几何中的应用 综合点4解三角形在实际问题中的应用 综合点1判断三角形形状 1 两种思考途径要判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思考 主要有以下两条途径 1 角化边 把已知条件 一般是边的一次式 角的正余弦 转化为只含边的关系 通过因式分解 配方法等得到边的相应关系 从而判断三角形形状 2 边化角 把已知条件 边的二次式 两边的积 角的余弦 转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断三角形形状 此时要注意a b c 这个结论 综合问题8正弦定理 余弦定理的综合应用 综合点1判断三角形形状 2 常用结论 综合问题8正弦定理 余弦定理的综合应用 综合点1判断三角形形状 综合问题8正弦定理 余弦定理的综合应用 综合点2与面积 范围有关的问题 1 三角形面积问题的解决策略解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式 具体的题型及解题策略为 1 利用正弦定理 余弦定理解三角形 求出三角形的有关元素之后 直接求三角形的面积 或求出两边之积及夹角正弦 求解 2 把面积作为已知条件之一 与正弦定理 余弦定理结合求出三角形的其他各量 面