高中数学 1.3 反证法课件 北师大版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 成才之路 数学 推理与证明 第一章 3反证法 第一章 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 本节重点 反证法概念的理解以及反证法的解题步骤 本节难点 应用反证法解决问题 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定 成立 在这个前提下 若推出的结果与 矛盾 或与 相矛盾 或与 相矛盾 从而断定 不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 反证法的证题步骤是 1 作出 的假设 2 进行推理 导出 3 否定 肯定 命题的反面 定义 公理 定理 命题中的已知条件 假定 命题结论的反面 否定结论 矛盾 假设 结论 1 反证法证明数学命题的四个步骤第一步 分清命题的条件和结论 第二步 做出与命题结论相矛盾的假设 第三步 由假设出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的假设不真 于是原结论成立 从而间接地证明了命题为真 常见的主要矛盾有 1 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论相矛盾 2 与假设矛盾 3 与公认的简单事实矛盾 2 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 5 一些基本命题 定理 3 用反证法证明不等式 常用的否定形式有 的反面为 的反面为 及 4 一些常见的 结论词 与 反设词 5 反证法属于逻辑方法范畴 它的严谨体现在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中第一个否定是指 否定结论 假设 第二个否定是指 逻辑推理结果否定了假设 反证法属于 间接证明方法 书写格式易错之处是 假设 错写成 设 用反证法证明问题 一般由证明p q 转向证明 q r t t与假设矛盾或与某个真命题矛盾 从而到判断 q为假 得出q为真 反证法 不是从已知条件去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上进行演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 反证法证明 否定性 命题 分析 bc 0的否定形式为bc 0 包括 b 0 c 0 b 0 c 0 b 0 c 0三种情况 要注意分类讨论 证明 假设bc 0 1 若b 0 c 0 方程变为x2 0 则x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的两根 这与方程有两个不相等的实数根矛盾 2 若b 0 c 0 方程变为x2 c2 0 但c 0 此时方程无解 与x2 bx c2 0有两个不相等的非零实根相矛盾 3 若b 0 c 0 方程变为x2 bx 0 方程根为x1 0 x2 b 这与方程有两个非零实数根相矛盾 综上所述 可知bc 0 点评 结论中出现 不 不是 不存在 不等于 等词语的命题 其反面比较具体 通过反设 转化为肯定性命题 作为条件应用 进行推理 此时用反证法更方便 点评 本题第 2 问如果不用反证法证明也可以利用第 1 问函数单调性证明 即x0 1 x 0时 f x f 0 1 故当x 0时 f x 0 所以无负实数根 至少 至多 型命题 点评 该命题中有 至少 直接方法很难证明 故可采用反证法 此题解法揭示 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 注意 至少有一个 至多有一个 都是 的否定形式分别为 一个也没有 至少有两个 不都是 反证法在几何中的应用 分析 本题要证明的是ab cd能不能互相平分 能与不能二者必居其一 由于不易证明 ab cd不能互相平分 不妨假设 ab cd能互相平分 以此为出发点 得出与条件 ab cd不全为直径 矛盾的结论 证明 假设ab cd互相平分 则四边形acbd为平行四边形 所以 acb adb cad cbd 因为四边形acbd为圆内接四边形 所以 acb adb 180 cad cbd 180 因此 acb 90 cad 90 所以对角线ab cd均为直径 这与已知中 ab cd不全为直径 相矛盾 因此ab cd不能互相平分 点评 用反证法证明该几何问题时 反设之后 以反设为出发点 并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论 从而证明了原命题成立 证明 假设ac 平面sob 连接ab 因为直线so在平面sob内 所以so ac 又因为so 底面圆o 所以so ab 又因为ac ab a 所以so 面sab 所以平面sab 底面圆o 这显然不成立 所以假设不成立 即ac与平面sob不垂直 反证法在数列中的应用 点评 当结论为否定形式时 通过反设 转化为肯定形式 可作为条件进行推理 此时应用反证法很方便 反证法的综合应用 分析 证明 假设a 0不成立 则a 0 分两种情况证明 1 当a0 bc0 b c a 0 a b c 0矛盾 由以上分析可知 假设不成立 因此 a 0 同理可得 b 0 c 0 点评 分类讨论的关键是要全面 考虑周到 不能遗漏 比如 本题 a 0 的反面是 a 0 即有两种情况 a 0 或 a 0 分类讨论时 不能遗漏其中任何一种情况 分析 本题直接证明不易找思路 我们用间接证明的方法 反证法 答案 假设a不是偶数 则a为奇数 设a 2m 1 m为整数 则a2 4m2 4m 1 4 m2 m 是偶数 4m2 4m 1为奇数 即a2为奇数 与已知矛盾 a一定是偶数 点评 利用反证法进行证题时 首先要对所要证明的结论作出否定性的假设 并以此为条件进行正确的推理 导出矛盾 从而证明原命题成立 即利用反证法证题时必须严格按照 否定 推理 否定 的步骤进行 错解在证明的过程中并没有用到假设的结论 因而证明方法不是反证法 一 选择题1 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列作为条件使用的是 结论相反的判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 答案 c 2 2013 浙江余姚中学高二期中 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么a b c中至少有一个是偶数 时 下列假设中正确的是 a 假设a b c都是偶数b 假设a b c都不是偶数c 假设a b c至多有一个偶数d 假设a b c至多有两个是偶数 答案 b 解析 至少有一个 的对立面是 一个都没有 答案 d 二 填空题4 用反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 矛盾 故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 abc中有两个直角 不妨设 a 90 b 90 上述步骤的正确顺序为 答案 解析 考查反证法的证题步骤 5 用反证法证明命题 若x2 a b x ab 0 则x a且x b 时 应假设为 答案 x a或x b 解析 对 且 的否定应为 或 所以 x a且x b 的否定应为 x a或x b 三 解答题6 求证 若两条平行直线a b中的一条与平面 相交 则另一条也与平面 相交 证明 不妨设直线a与平面 相交 b与a平行 从而要证b也与平面 相交 假设b不与平面 相交 则必有下面两种情况 1 b