小学数学知识概要(讲解版).doc

小学数学知识概要四大领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用数与代数数的认识1整数的认识。表示物体个数的1、2、3都是自然数，0也是自然数，它们都是整数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数，0是最小的自然数。2小数的意义与性质。分母是10、100、1000的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，这是小数的性质。利用小数的这一性质，通常可以去掉小数末尾的0，把小数化简；也可以根据需要在小数的末尾添上0；还可以在整数个位的右下角点上小数点，再添上0，把整数改写成小数的形式。3分数的意义及其基本性质。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变，这是分数的基本性质。4百分数的认识。表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。5负数的认识。像+4、19、+8844这样的数都是正数，像-4、-11、-7、-15这样的数都是负数。0既不是正数，也不是负数。“每相邻的两个计数单位间的进率都是十”，这种计数方法叫做十进制计数法。它是“数的认识”的基本原理，其核心是“满十进一”的进位制和位值制。复习本身是一个“串点成线”的过程，理一点明一片，明一片会一面。例如在整理“倍数和因数”一单元内容时，就需要我们注意前后知识之间的联系：（1）只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下，才能讨论因数和倍数的概念。如50.84，虽然等式成立，但不能说5和0.8是4的因数，或4是和0.8的倍数。（2）倍数和因数是一对相互依存的概念，不能单独存在。描述倍数或因数时必须说清楚谁是谁的倍数（或因数），如“2是12的因数，12是2的倍数”，而不是“2是因数，1是倍数”。（3）要区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中“因数”的联系和区别。前者是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数或分数；而后者只能是整数。（4）要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数要广，如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。关系概念：因数、倍数、质数、合数、分解质因数数的运算（一）四则运算。1四则运算的意义。加法：把两个数合并成一个数的运算。减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。乘法：一个数乘以整数&就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数乘以分数，就是求这个数的几分之几是多少。除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。加法和减法互为逆运算&乘法和除法互为逆运算。（错）我们知道，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，那么，加法是不是减法的逆运算呢，乘法是不是除法的逆运算呢？ 关于这个问题，可以从运算的数学意义角度理解。 一般说运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的有序元素对a、b，有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应，叫做集合A中定义了一种运算。(例如，(3，2)这对数按照某种法则与5相对应，这就是一种加法运算，3+2=5。如果这对数与6相对应，就是乘法运算，32=6。) 所谓逆运算，就是把c以及a、b中的一个当作已知，把a、b中的另一个当做所求的运算。这样看来，对于前面元素对a,b与c对应的运算来说，就存在两种逆运算。它的第一个逆运算是：对于元素对c、b，使元素a与它们对应；它的第二个逆运算是：对于元素对c、a，使元素b与它们对应。 如果一个运算满足交换律，即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a，永远得到同一的结果，那么，这个运算的两个逆运算是一致的。也就是说，在这种情况下，这个运算有唯一的逆运算。 对于整数集来说，任意两个整数的加法运算满足加法交换律，加法算式中的两个加数都可以用“和减去一个加数等于另一加数”求出来，所以加法有唯一的逆运算减法。 例如，数对(3，2)与5对应，确定加法运算后，已知3和5，可以用减法求出2，已知2和5也可以用减法求出3。 但是，每一个运算并不都有逆运算。例如，减法算式中的被减数和减数，只有被减数可以用“差与减数相加”这种加法运算得到，减数却不能用加法运算得到。例如，数对(3，2)与1对应确定减法运算后，已知2和1可以用加法求出3，但已知3和1，却不能用加法求出2。 所以不能说加法是减法的逆运算，也就不能说加法和减法互为逆运算。 同样道理，我们也不能说乘法是除法的逆运算，或者乘除法是互逆运算。2 四则运算的法则。3四则运算各部分之间的关系。一个加数和另一个加数被减数差减数减数被减数差一个因数积另一个因数被除数商除数除数被除数商4 四则混合运算的顺序。在四则混合运算中，运算顺序规定如下：（1）在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，则应按照从左到右的顺序进行计算。（2）在一个没有括号的算式里，如果既含有第一级运算，又含有第二级运算，则应先算第二级运算，后算第一级运算。也就是“先算乘或除，后算加或减”，简称“先乘除，后加减”。（3）在一个有括号的算式里，应先做括号内的运算。运算顺序是先算小括号里的算式，再算中括号里的算式，最后算大括号里的算式。5运算定律和性质。简算，顾名思义能使计算简便、简洁，但简算必须要有依据，不能想当然，否则只会弄巧成拙。运算定律和运算性质是进行简算的基本依据。（二）解决问题。1解决整数、小数问题。2解决分数、百分数问题。1熟悉基本的数量关系。解决问题的重点是分析问题，核心是分析数量关系。2掌握分析问题的思路和方法。分析问题的“思路”好比解决问题的“向导”，它为我们指明了思考的方向。其中，基本的思路有两种：一种是“从条件想起”，另一种是“从问题想起”。分析问题的“方法”如同解决问题的“工具”，它能帮助我们理解题意和分析数量关系。重要的方法有：列表。适合解决有多种情况的问题，如解决租车、租船问题时，设计最省钱的租车、租船方案。假设。适合解决具体数量未知的问题。画示意图。适合解决跟图形有关的问题。画线段图。适合解决行程问题、分数问题。这些方法，在解决简单问题时看似作用不大，但在解决复杂问题时帮助很大。因此，我们需要切实掌握，并会灵活运用。3解决问题的一般步骤。弄清题意，看清条件，明确问题。分析题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么。确定每一步该怎样算，列出算式并计算。对答案进行检验，写答句。式与方程一、知识要点1用字母表示数。认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示数和数量关系。会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。2解简易方程。明确“方程”、“方程的解”、“解方程”的含义，会用方程表示简单情境中的等量关系，理解等式的两条基本性质等式两边加上或减去相等的数，等式不变；等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式不变。会用等式的性质解简易方程。3列方程解决实际问题。用简易方程解决一些实际问题，能根据具体情况，灵活选择算法。上述三个知识要点中，“用字母表示数”是学习“方程”的基础，“方程的意义”是学习“解简易方程”的基础，“列方程解决实际问题”则是“解简易方程”的发展。“列算式解”和“列方程解”是我们在解决实际问题时常用的方法。“列算式解”的算式中全是已知数，未知数不参加列式，它是通过已知数量的加、减、乘、除，得出问题的结果；“列方程解”则是将未知数设为字母参与列式，通过列出符合题意的等式，求解等式得出问题的结果。两种解法各有优势，我们在解决问题的过程中要根据题意，合理选择方法。不过，在解答比较简单的分数除法实际问题时，如果用算术方法解，需要逆向思考，即从“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的角度去理解数量关系。用方程解，只要根据分数乘法的意义，顺向思考，就能找到等量关系并列出方程。所以在解决此类问题时，列方程比列算式更容易思考。常见的量1货币单位。认识货币单位元、角、分及各种面值的人民币，熟悉相邻两个单位之间的进率，会进行简单的计算。2时间单位。认识时间单位世纪、年、季、月、日、时、分、秒，了解它们之间的关系，知道每个月以及平年、闰年各有多少天，会用24时计时法表示时刻，能计算简单的经过时间。3长度单位。认识长度单位千米km、米m、分米dm、厘米cm、毫米mm熟悉相邻两个单位之间的进率，建立长度观念，会进行简单的单位换算。4质量单位。认识质量单位吨t、千克kg、克g，建立1克和1千克的观念，熟悉相邻两个单位之间的进率，能进行简单的计算。5面积单位。认识面积单位平方千米km2、公顷hm2、平方米m2、平方分米dm2、平方厘米cm2、平方毫米mm2，建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的表象，熟悉相邻两个单位之间的进率，会进行简单的单位换算。6 体积（容积）单位。认识体积单位立方米m3、立方分米dm3、立方厘米cm3、立方毫米mm3，容积单位升L、毫升ml，熟悉相邻两个单位之间的进率，会进行单位之间的换算。适度扩展：长度单位（英里、海里、码、英寸、忽米、微米、光年等）时间单位（传说故事。天文历法等）凡含有计量单位名称的数统称为名数。名数的改写有两类：一类是单名数之间的改写，一类是单名数与复名数之间的改写。顾名思义，单名数是指只含有一个计量单位名称的名数；复名数是指含有两个或两个以上计量单位名称的名数。熟练掌握名数的改写。比和比例一、知识要点1比。比的意义，比与分数、除法的关系，比的基本性质，化简比，求比值，运用比的知识解决实际问题。2比例。比例、正比例和反比例的意义，比例的基本性质，解比例，比例尺，图形的放大与缩小，用比例知识解决实际问题。比例尺表示图上距离与实际距离的比，根据图上距离与实际距离求比例尺的方法是：首先依据比例尺的意义确定比的前项和后项，写出比，图上距离与实际距离位置不能写错；接着把两项化成相同的单位；最后化简比。若要把线段比例尺改写成数值比例尺，只需根据线段比例尺写出图上距离与实际距离的比。需要注意的是由于图上距离和实际距离的单位不同，要把不同单位化成相同单位，另外比例尺是一个比，无需带单位名称。1数字比例尺 数字比例尺一般用分子为1的分数形式表示。设图上某一直线的长度为d，地面上相应线段的水平长度为D，则图的比例尺为 式中M为比例尺分母。当图上1cm代表地面上水平长度10m(即1000cm)时尺就是。通常称1：1000000、1：500000、1：200000为小比例尺地形图；1：100000、1：50000和1：25000为中比例尺地形图；1：10000、1：5000、1：2000、1：1000和1：500为大比例尺地形图。建筑类各专业通常使用大比例尺地形图。按照地形图图式规定，比例尺书写在图幅下方正中处。 2图示比例尺 为了用图方便，以及减弱由于图纸伸缩而引起的误差，在绘制地形图时，常在图上绘 制图示比例尺。1: 1000的图示比例尺，绘制时先在图上绘两条平行线，再把它分成若干相等的线段，称为比例尺的基本单位，般为2cm；将左端的一段基本单位又分成十等分，每等分的长度相当于实地2m。而每一基本单位所代表的实地长度为2cm100020m。数学思考1探索规律。探索给定图形或数字中隐含的简单规律。2排列组合。有顺序地、全面地找出事物的排列数和组合数。如用三个数字卡片组成三位数，找出不同三位数的排列数；两件上装和三件下装不同搭配，找出不同穿法的组合数。3逻辑推理。能根据已知条件通过判断推出结论。4集合思想。用集合圈准确分类，直观、形象地表示出数学概念，用集合的思想方法解决简单的实际问题。5等量代换。明确等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。6统筹优化。从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。7植树问题。找准总数和间隔数之间的关系，能根据不同的情况总结出规律，并利用这些规律解决类似的实际问题。8数字编码。会用数字或者符号进行编码，准确地表示出事物蕴含的客观规律。9鸡兔同笼。用“假设法”和列方程的方法解决鸡兔同笼问题。10抽屉原理。准确区分什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，“抽屉”有几个，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。人教版教材从一年级下册开始，每一册都安排了一个单元“找规律”或“数学广角”的内容。其中“找规律”是探索给定图形或数字中简单的排列规律，“数学广角”中渗透了排列、组合、集合、等量代换、逻辑推理、统筹优化、数字编码、抽屉原理等方面的数学思想方法。通过全面回顾，使原来分散学习的知识得以梳理，由知识点串成知识线，由知识线构成知识网，从而帮助我们完善头脑中的数学认知结构，增进持久记忆。数学思想方法看上去很抽象，很繁杂，其实它是有规律可循的。“植树问题”关键要分清是一条线段还是一条首尾相接的封闭曲线，若是一条线段还需考虑两端栽的情况；“排列、组合”的要领是有序、不重复、不遗漏；“找次品”的最优策略是把待测物品尽量平均分成3份，不能平均分的要使多的一份与少的一份只相差1；“抽屉原理”具有一个普遍性的结论要把a个物体放进n个抽屉，如果an=bc（c0），那么一定有一个抽屉至少可以放（b1）个物体可见，每一类数学思想方法都有相应的要领、思路和方法，关键在于我们要善于把握规律，化繁为简，以简驭繁。空间与图形一、知识要点（一）图形的认识与测量。1平面图形的特征。2平面图形周长和面积的计算。3立体图形的特征。4立体图形表面积和体积的计算。（二）图形与变换。1图形的平移和旋转。2图形的放大与缩小。3轴对称图形。(将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。通俗地讲，所谓平移，就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转，就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合中小学生的认知水平，但对教师来说，绝对是不够的。请看一个案例。在一堂教学平移与旋转的公开课中，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执着地要求发言，他说：老师，我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为我坐在上面是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的应变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课，都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移，也有少数认为是平移的。那么是否旋转呢？同样有两种意见，莫衷一是。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。2.什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？先说平移与旋转。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。摩天轮在旋转，但上面的座仓及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座仓上下 图1 图2部中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。那么座仓及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。明明摩天轮在旋转，而座仓与里面的人却不是在旋转，是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动，从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向，并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。（三）图形与位置。1根据方向和距离确定位置。2用数对表示位置。3辨认方向和使用路线图。这部分内容最重要的数学思想是“转化”。重要的操作技能：画直线、射线、线段、角垂线（高）、平行线长方形、正方形、圆形角的度量、统计与概率1一个统计过程一般包括：收集数据、整理数据、描述数据和分析数据四个阶段。2收集数据的方法：调查，测量，做实验，有时也可以直接从报刊中引用，或上网查询获得。3整理数据的方法：分类整理和分段整理。整理时会用画“正”字法计数。4描述数据：能根据具体问题，选择适当的统计图表，并能正确绘制。5分析数据：能解释统计结果，并根据统计结果作出简单的判断和预测。统计图的特点和作用。共同点：用统计图表示有关数量之间的关系，比统计表更加形象具体，使人一目了然，印象深刻。各自的特点和作用见下表：（二）统计量：平均数，中位数，众数。平均数、中位数和众数是三个“从不同角度”描述一组数据“集中趋势”的统计量。三个统计量，意义不同，特点和适用范围也不同：平均数反映的是一组数据的平均情况。它的大小跟每个数据都有关，任何数据的变化都会引起平均数的变化。当一组数据中没有极端数据（特别大或特别小的数据）时，用平均数作代表比较合适。中位数反映的是一组数据的中等情况。求中位数时，首先要将一组数据从大到小或从小到大排列起来。中位数的特点是：不受偏大或偏小数的影响。当一组数据中出现个别极端数据时，取中位数作代表比较合适。如果数据是偶数个时，取正中间的两个数的平均数为中位数。众数反映的是一组数据的多数情况。当一组数据中某个数据出现次数较多时