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2012 线性代数线性代数 期中考试试卷及答案详解期中考试试卷及答案详解 一 单项选择题一 单项选择题 每小题 4 分 共 20 分 1 下列各式中 哪个是 5 阶行列式 det aij 的项 B A B 5541342312 aaaaa 2451421533 aaaaa C D 4124335215 aaaaa 5433451122 aaaaa 解解 根据n 阶行列式的定义 行列式的算式中 每一项都是不同行 不同列的n个数的乘积 并且带有符号 1 若行标排列是标准排列 则该项的符号取决于列标排列的逆序数 的奇偶性 2 若列标排列是标 准排列 则符号取决于行标排列的逆序数 的奇偶性 3 若行标 列 标排列都不是标准排列 则 符号取决于行标排列与列标排列的 逆序数 之和的奇偶性 或者 交换一般项中的元素 使行标成为标准排列 再 根据列标排列的逆序数 判断 题中每个选项都是5 阶行列式不同行 不同列的5 个数的乘积 因 此 需进一步判断各项是否带有正确的符号 选项 A 错误 其行标排列是标准排列 列标排列的逆序数 为t 23415 3 故 列标排列为奇排列 或者 由于将列标排列23415 变成标准 排列12345 需要进行奇数次对换 也可得 23415 为奇排列 所以选项 A 缺少 选项 B 正确 其行标和列标排列都不是标准排列 方法一 行标排 列和列标排列的逆序数之和t 31452 t 35214 4 6 10 得符号为 方法二 交换相乘的元素 使行标成为标准排列 得a15a24a33a42a51 此时列标排列54321为偶排列 故取 同理 选项 C 和 D 错误 都应带 2 已知n 阶行列式 D 1 将 D 逆时针旋转 90o 得行列式 则D 的值为D C A 1 B 1 C 1 n n 1 2 D 1 n 2 解解 将D 逆时针旋转90o 相当于对D 先作转置 这不会改变行列式 的 值 再作上下翻转 即交换n n 1 2 次相邻行的位置 每次交换都改 变行列式的符号 因此 应选 C 参见 行列式的性质 布置的思考题 或者 教材习题一第7 题的解 答 3 n 阶行列式 Dn 0 的必要条件是 D A 有一行 列 元素全为零 B 有两行 列 元素对应成比例 C 各列元素之和皆为零 D 以 Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 解解 选项 A B C 都是Dn 0 的充分条件 但不是必要条件 只有选项 D 为 充分必要条件 4 已知 A B 均为 n 阶方阵 E 是 n 阶单位矩阵 则下列命题中正 确的是 D A 若 A B 则 A B B 若 A E B E O 则 A E 或 B E C A2 B2 A B A B D A2 E A E A E 解解 答案为 D 选项 A 错误 反例 10 01 A 11 12 B 选项 B 错误 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵 例如 因此 A E B E O A E O 或 B 00 00 30 00 00 02 E O 反例 10 02 A 22 01 B 选项 C 错误 因为 A B A B A2 AB BA B2 所以 当且仅当A B 可交换时 才会有 A B A B A2 B2 选项 D 正确 因为AE EA A 即A E 可交换 所以 A E A E A2 AE EA E2 A2 E 5 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵 则下列命题中正确的是 A A A2 1 A 1 2 B kA 1 kA 1 k 0 C A B 1 A 1 B 1 D A 1BA B 解解 选项 A 正确 根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质 有 A2 1 AA 1 A 1A 1 A 1 2 选项 B 错误 应该是 kA 1 k 1A 1 k 0 选项 C 错误 A B 均为 n 阶可逆矩阵时 A B 不一定可逆 即使 A B 可逆 A B 1也不一定是 A 1 B 1 反例 10 01 A 或者 10 02 B 10 01 A 10 02 B 选项 D 错误 矩阵乘法一般不满足交换律 故A 1BA A 1AB B 二 填空题二 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 行列式 2013 10000 00002013 00020120 00200 01000 解解 10000 00002013 00020120 00200 01000 1 0002013 0020120 0200 1000 2013 2013 1 2 12013 2013 注注 以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式 注意 A B 必须是方阵 BA BO OA mm kk 以及副副对角行列式的计算公式 n nn n 21 2 1 2 1 1 2 行列式 1 n 1 n 1 一 n 0111 1011 1101 1110 解解 一 n 0111 1011 1101 1110 0111 1011 1101 1111 3 2 1 nnnn ni rr i 0111 1011 1101 1111 1 n 一一一一一一一一一 1 1 1 1111 1 3 2 1 n ni rri 1 n 1 n 1 注注 本题行列式的特点是 各行 列 元素之和都相等 3 3 4321 4321 4321 4321 3 0001 0010 0100 1000 0000 1000 0100 0010 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 1134 dddd 解解 用左乘矩阵A 相当于将A 的各行向上移动一行 0000 1000 0100 0010 故 0000 1000 0100 0010 4321 4321 4321 4321 3 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 4321 dddd 另外 用右乘矩阵 A 相当于将 A 左右翻转 故 0001 0010 0100 1000 3 4321 4321 4321 4321 3 0001 0010 0100 1000 0000 1000 0100 0010 dddd cccc bbbb aaaa 0000 0000 0000 1134 dddd 注注 参见 矩阵的运算 所布置的思考题 或者第二章习题讲 义 要点和公式 中的 Part II 一些特殊矩阵的乘积 4 已知 则 A 1 7 5 3 1 A 1 3 1 5 1 7 1 解解 利用副对角阵的求逆公式 1 1 1 2 1 1 2 1 a a a a a a n n 5 已知 A 是 4 阶可逆矩阵 且 A 2 则 A 1 1 2 A 8 解解 利用可逆矩阵的性质 A 1 A 1 以及伴随矩阵的性质 A A n 1 可得 A 1 2 1 A 24 1 8 注注 也可按如下方式求 A 因为 AA A E 将 A 2 代入 得AA 2E 等号两边取行列式 有 A A 2E 即2 A 24 于是 A 8 三 计算题三 计算题 每小题 7 分 共 35 分 1 设 n 阶爪形行列式 求 D 中所有元素的代 12 12 12 2222 D 数余子式之和 解解 将 D 的第 1 行元素全部替换为 1 并按第 1 行展开 得 D 的 第 1 行元素的代数余子式之和为 12 12 12 1111 11211 n AAA 1 13 12 1 21 3 2 1 n n ni rr i n23 将 D 的第 2 行元素全部替换为 1 并按第 2 行展开 得 D 的第 2 行元素的代数余子式之和为 两行元素成比例 0 12 12 1111 2222 22221 n AAA 同理 D 的第 3 4 n 行元素的代数余子式之和也都是 0 于是 D 的所有元素的代数余子式之和为 nA n i n j ij 23 11 注注 1 如果改变行列式 D 的某一行 列 元素 行列式虽然变了 但 该行 列 元素的代数余子式不会改变 注注 2 本题利用了行列式按行 列 展开法则 或 i 1 2 n ij n k jkik DAa 1 ij n k kjki DAa 1 2 问 只有零解时 k 必须满足什么条件 02 0 02 0 43 21 41 31 xx xkx xx kxx 解解 此方程组为齐次线性方程组 并且方程个数 未知量个数 根 据 方程组只有零解 系数行列式 D 0 有 即 k 1 4 014 2100 001 1002 001 k k k D 3 设方阵 100 100 100 1000 a a a A 1 求 A 的值 并指出当 a 满足什么条件时 A 是可逆矩阵 2 当 A 可逆时 求 A 1 解解 对矩阵 A 分块 100 100 100 1000 a a a A DC BO一一 1 331 1 a CBA 当且仅当 a 0 时 A 0 此时 A 为可逆矩阵 2 根据分块法求逆矩阵的公式 OB CDBC A 1 111 1 其中 1 1 B 1 1 1 1 a a a C 11 DBC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a 于是 A 1 0001 00 00 00 11 11 11 aa aa aa 注注 1 解答中使用了分块法计算行列式的公式 参见第一章习题讲义 要点和公式 BA B AO km mm kk 1 注注 2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式 虽然也可以用公式 A 1 A 1A 但计算过程繁琐 容易出错 注注 3 另外 求出逆矩阵后 最好验算是否有 AA 1 E 4 设方阵 求 Ak k 为正整数 369 246 123 A 解解 T A 一一 1 2 3 3 2 1 369 246 123 于是 TTTk A TTT TkT 1 其中 10 3 2 1 1 2 3 T A A 11 1010 nTnn 369 246 123 10 1n 注注 当矩阵的任意两行 列 元素对应成比例时 该矩阵可分解为列 矩阵和行矩阵的乘积 5 已知 A B 都是 2 阶方阵 且 A BA 2A B E 其中 A 是 A 的伴随矩阵 E 为 2 阶单位矩阵 求矩阵 11 12 A B 解解 对 A BA 2A B E 两端左乘 A 得 AA BA 2AA B A 根据伴随矩阵的性质 AA A E 有 A BA 2 A B A 由于 于是1 A BA 2B A B A 2E A 其中 由于 故 A 2E 可逆 其逆 11 10 2EA12 EA 矩阵 A 2E 1 于是 01 11 12 23 01 11 11 12 2 1 EAAB 注注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时 可以用 两调一除 公式 四 证明题四 证明题 每小题 8 分 共 16 分 1 设 A 是 n 阶反对称矩阵 n 为奇数 证明 齐次线性方程组 Ax O 有非零解 证证 A 是 n 阶反对称矩阵 AT A 对上式两边取行列式 有 AT A A 1 n A 由于 n 为奇数 故 A A 即 A 0 因此 当 A 是奇数阶反对称矩阵时 齐次线性方程组 Ax O 的 系数行列式等于 0 于是该方程组有非零解 注注 A 是方阵 所以 Ax O 是 方程个数 未知量个数 的齐次线性 方程组 于是 要证明 Ax O 有非零解 就是证 A 0 2 已知 A B 均为 n 阶方阵 且 AB A B 1 证明 A E 和 B E 均可逆 且互为逆矩阵 2 证明 如果 A 可逆 则 A B 也可逆 证证 1 AB A B AB A B E E A E B E E A E 和 B E 均可逆 且互为逆矩阵 定理 若 A 和 B 均为 n 阶方阵 且 AB E 则 BA E 亦即 A B 均可逆 且互为逆矩阵 2 AB A B A B E B 已知 A 可逆 又由 1 知 B E 可逆 所以 B A B E 可逆 定理 n 阶可逆矩阵的乘积仍是 n 阶可逆矩阵 A 和 B 可逆 所以 AB 可逆 由于 A B AB 故 A B 可逆 也可按如下方式证明 A 可逆 A 0 于是 AB A B A E B A A E B A 0 B 0 于是 A B AB A B 0 故 A B 可逆 注 注 下列错误不得分 在第 1 题中使用了 A 1或 B 1 在第 2 小题 中认为两个可逆矩阵的加和也必然是可逆矩阵 五 解答题五 解答题 9 分 在某地 每年有比例为 30 的农村居民移居城镇 有比例为 10 的城镇居民移居农村 假设该地总人口不变 且上述人口迁移的 规律也不变 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例分别 记为 an和 bn an bn 1 1 记 求关系式中的矩阵 A n n n b a x 1 nn Axx 2 已知 1 中的矩阵 A 满足关系式 AP PB 其中 13 11 P 求矩阵 B 3 设目前农村人口和城镇人口相等 即 求 5 0 5 0 0 x n x 解解 1 依题意 有 即 11 11 9 03 0 1 07 0 nnn nnn bab baa 1 1 9 03 0 1 07 0 n n n n b a b a 故 9 03 0 1 07 0 A 2 P 4 故 P 可逆 其逆矩阵为 13 11 4 1 1 P 对 AP PB 两边左乘 P 1 得 B P 1AP 13 11 9 03 0 1 07 0 13 11 4 1