电机设计方法

第2章 电磁场有限元分析简介电磁场的边值问题实际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦（Maxwell）方程组及由方程组深化出的其他偏微分方程问题。从求解问题的技术手段上来说，它可以分为解析求解和数值求解两大类。对于简单模型，有时可以得到方程的解析解。若模型复杂度增加，则往往很难获得模型的解析解。随着计算工具，特别是高速大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入到工业生产各个领域，解决问题的面越来越广，分析的问题也日趋复杂。电磁场数值分析是一门综合性的学科，涉及电磁场理论、数值分析、计算方法、计算机基础知识及高级语言等多个方面，但在计算上存在着共性。有限元法是一种常用的数值方法，并有相应的电磁软件问世，其中ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D就是非常优秀的电磁分析软件。本章将对电磁场的基本理论、电磁场有限元的求解及ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D作简单的介绍。至于完整的电磁理论描述，读者可以参考许多教科书。如果读者已熟悉电磁理论，完全可以略过本章，直接从第2章开始学习如何使用Maxwell电磁软件。1.1电磁场基本理论1.1.1麦克斯韦方程组在19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克期韦方程组。它是电磁场理论的基础，也是工程电磁场数值分析的出发点。麦克斯韦方程组包括微分和积分两种形式，在此仅给出它们的微分形式，通过它们可以导出能用有限元处理电磁问题的微分方程。麦克斯韦方程组为法拉第电磁感应定律E=-Bt麦克斯韦-安培定律H=J+Dt高斯电通定律D=高斯磁通定律B=0电荷守恒定律J=-t式中，E为电场强度，V/m；D为电通量密度，C/m；H为磁场强度，A/m；B为磁通量密度，T；J为电流密度，A/；P为电荷密度C/m3。上面5个方程中包含两个旋度方程式（1.1）、式（1.2）和3个散度方程式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）。1.1.2麦克斯韦方程组各方程之间的关系上面提到的麦克斯韦方程组的5个方程中，只有3个方程是独立的，另外两个相关方程可以从独立方程中导出。其中两个旋度方程肯定是独立方程，另外一个独立方程可以在散度方程式（1.3）和式（1.5）中任选一个，方程式（1.4）只能作为相关方程。读者可以参考表1.1。表1.1 麦克斯韦方程组中的独立方程与相关方程独 立 方 程相 关 方 程 1 2 3 (1.1) (1.2) (1.3)(1.1) (1.2) (1.5)1 2(1.4) (1.5)(1.4) (1.3)1、方程式（1.1）与式（1.4）的关系对方程式（1.1）两边取散度，有E=-Bt根据矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零Bt=0设在场域内B关于时间和场点二阶混合偏导数连续，则式（1.7）可以化为tB=0即B=CC是与时间无关的常数。同理，B也是与时间无关的常数，只要在初始时刻t=0取C=0，则在t0以后的任意时刻恒有B=0由此，可以看出方程式（1.1）与式（1.4）是相关的，由方程式（1.1）可以推导出式（1.4）。2、方程式（1.2）、式（1.3）与式（1.5）之间的关系对方程式（1.2）两边取散度，有H=J+tD=0显然，如果仅仅利用方程式（1.2）不能同时导出方程式（1.3）和式（1.5）。这时，要私将方程式（1.3）设为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.5）；要么将方程式（1.5）设定为独立方程，联合方程式（1.11）推导出方程式（1.3）。1）方程式（1.11）与式（1.3）联合推导式（1.5）将方程式（1.3）代入式（1.11）有J+t=02）方程式（1.11）与式（1.5）联合推导式（1.3）将方程式（1.5）代入式（1.11）有tD-=0即D-=C这里，C为与时间无关的常数，那么只要在初始时刻t=0取C=0，则在t0以后的任意时刻恒有D=1.1.3 本构关系场量E、D、B、H之间的关系，由媒质的特性决定，对于线性介质，本构关系为D=EB=HJ=E式中，为介质的介电常数，F/m；为介质的磁导率，H/m；为介质的电导率，S/m。还需要说明的是，对于各向同性介质，、和是标量；对于各向导性介质，它们是张量。如果希望得到电磁场问题的惟一解，除了上述方程外，还需要配备定解条件；对于瞬变场，需要配备边界条件和初始条件；对于静态场、稳态场、时谐场，只需配备边界条件。1.1.4 二阶电磁场微分方程在实际有限元计算中，通常并不针对麦克斯韦方程组中的一阶方程，常常先将方程化为二阶方程，然后针对二阶方程进行有限元数值求解。实际上，比较方便的做法是根据场的基本性质，引入辅助的计算量，如标量电势、矢量磁位A等。Maxwell常用的求解方程有二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程()=-二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程()=0二维交变电场求解器所满足的复数拉普拉斯方程+j=0二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程1AZ=JZ二维涡流场求解器所满足的波动方程组1(A)=-jA(+j)IT=J*d=-jA(+j)d二维轴向磁场涡流求解器所满足的齐次波动方程1+jH+jH=0三维静磁场和涡流求解器所满足的齐次波动方程组1+jH+jH=0()=0 115电磁场求解的边界条件 电磁场问题求解中，有各种各样的边界条件，结合Maxwell 3D2D，归结起来可概括为6类。 1、自然边界条件 自然边界条件是软件系统的默认边界条件，不需要用户指定，是不同媒质交界面场量的切向和法向边界条件。 2诺伊曼边界条件 电磁场教科书中常常称诺伊曼边界条件为第二类边界条件，它规定了边界处势的法向导数分布。Maxwell所提到的是齐次诺伊曼边界，即法向导数为零。它是Maxwell系统默认边界条件，不需要用户指定。 3狄利克莱边界条件 电磁场教科书中常常称狄利克莱边界条件为第一类边界条件，有限元计算领域，常常称其为约束边界条件，或本质边界条件。它规定了边界处势的分布，势是边界位置的函数，也可以是常数和零。 4对称边界条件 对称边界条件包括奇对称和偶对称两大类。奇对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相反。偶对称边界可以模拟一个设备的对称面，在对称面的两侧电荷、电位、电流等满足大小相等，符号相同。采用对称边界条件可以减小模型的尺寸，有效地节省计算资源。5匹配边界条件匹配边界条件是模拟周期性结构的对称面，使主边界和从边界场量具有相同的幅度(对于时谐量还有相位)，相同或相反的方向。6气球边界条件气球边界条件是Maxwell 2D求解器常见的边界条件，常常指定在求解区的外边界处,用于模拟绝缘系统等。除此之外，有一些求解器中还有各自“特色”的边界条件如交变电场中的电阻边界、涡流场中的阻抗边界，主要用来模拟很薄的介质层。12电磁场求解的有限元方法所谓的有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子区域通常称为“单元”或“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，通过选取恰当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得非常简单，经过对每个单元进行重复而简单的计算，再将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的整个区域的解，这一整体矩阵又常常是稀疏矩阵，可以更进一步简化和加快求解过程。由于计算机非常适合重复性的计算和处理过程，因此整体矩阵的形成过程很容易使用计算机处理来实现。下面就以一个简单的例子说明有限元法的基本原理。 121一维有限元法 1【例11】问题的描述 考虑一个两极板电容器的静电场分布问题。极板间充有密度为 = 的自由电荷，即自由电荷密度恰好等于介质的介电常数。前面已经介绍静电场所满足方程式(1.19)。考虑到极板间只有一种介质，可以导出本例中静电场满足的方程为2=-1假定极板都接在0.5V电源端，极板的间距为2，如图1.1所示。由于电容器的激励和几何形状都关于Y轴对称，只要求解整个区域的一半即可，而另外一半可由对称关系得出。从边界条件上看，这种对称结构导致电力线垂直穿过Y轴，使电势在该对称轴上沿x方向的变化率为零，即对称面可以用齐次诺伊曼条件表示，为简化起见，这里没有考虑实际的物理单位。受到狄里克莱和齐次诺伊曼边界条件的约束，即|x=1=0.5nx=0=0假定电容器极板的尺寸远远大于极板间的距离t那么电容器的电势分布问题简化为一维边值问题。2有限元求解用有限元求解问题的第一步就是划分单元。一般说来单元数越多，则近似解的精度就越高，当然计算量也就越大，越费时。所以单元数应该足够多，以保证精度。对于例【1.1】所考虑的问题，整个区域(0，1)被分割成4个单元，记为单元el、单元e2、单元e3和单元e4。这些单元大小可以相同，也可以不同。在实际问题中，根据场分布的疏密程度，有限元可以具有不同的尺寸，这样便于处理复杂的几何结构和激励源。 分割后的区域由4个单元和5个点组成，这些点称为“节点”，对应于这5个点的电势记为1、2、3、4、5，每一个单元都由相邻的两个节点所限定，如图12所示。 对于一维空间来说，一个单元只是一个线段。对二维空间来说，有限元可以有各种形状，如三角形、矩形等。 作为一种数值计算方法，有限元并非用来寻求问题的解析解。实际上许多工程问题目前都无法找到解析解。有限元的作用就在于求解分布场的势函数在每个节点上的近似值，而势函数在单元其他位置的值，可以用插值方法获得。如果采用线性插值方法表示势函数，则称为一阶有限元。如果采用高阶插值表示势函数，则称为高阶有限元。本节只介绍一阶有限元。 在图13中，将任意单元记为“e”，对应于这一有限元有两个节点：xi和xi+1，这两个节点上的电势分别记为i和i+1，显然它们为待定的未知量，称为自由度。对于一阶有限元，由于采用线性插值，如果将单元上的电势分布用图形表示，实际上就成为一条连接两个节点电势值的线段。这一分布函数记为e，一旦节点上的电势被求出，在单元上的其他各点的电势值即可由线性关系得到。显然，求解电势分布的关键是找到节点上的电势值。采用加权余数法(伽辽金法)或变分法(里兹法)可以得到以下代数方程组i=14ijdCi=jd式中，i为尝试函数；Ci为各待定系数。可以令待定系数Ci为各节点上的电势值i，这样一旦解出各待定系数，也就获得了节点上的电势值，也就是说，求解待定系数和求解节点电势成为一个统一的计算过程t这是有限元法的巧妙处之一。另外，还需要设法使方程的近似解满足边界处的狄里克莱条件。实际上，采用有限元法，满足这一边界条件并不困难，只要令狄里克莱边界上的节点电势为给定的值即可，同时也要求尝试函数在这些节点上的值为1。如此一来，狄里克莱边界上的电势不再是未知数，而是由狄里克莱边界所确定的己知量。这样不但满足了边界条件，而且减少了未知数的个数。这是有限元法的巧妙处之二。考察式(1.29)可以发现；每一个积分都是对整个区域进行的，因此需要利用分步积分法求解该积分。如果区域比较复杂，则这些积分的计算会非常烦琐。有限元法巧妙地利用数学推演，可以使该积分局部化，即积分只对每一个单元进行，而最后的结果则综合每个单元上的积分而得到。为达到这一目的，需要适当地选取尝试函数。事实上，尝试函数代表了单元近似解的一种插值关系，它决定了近似解在单元上的形状。因此尝试函数在有限元法中称为形函数。对于一阶有限元来说，形函数为一个直线段；对于高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；对于二维一阶有限元来说，形函数为一个平面；对于二维高阶有限元来说，形函数为一曲面；对于三维有限元来说，形函数为多维平面或曲面。对于一维有限元来说，形函数分段线性，对应于任意一个节点i 的形函数i，如图14所示。该形函数在节点i上的值为1，并在与节点i相邻的两个单元上线性减小，直到在相邻节点i-1和i+1上分别减小为零。选择这样的形函数可以使式(1.29)积分局部化，从而大大简化了计算过程，也便于用计算机进行重复处理。这是有限元法的巧妙处之三。如图1.5所示，任意单元“e”上电势的分布为e=ii+i+1i+1 将式(1.30)代入式(1.29)，即可获得有限元方程K=f这里，K为55阶系数矩阵；f为5l阶激励矩阵；而为5l阶节点电势矩阵。矩阵中各元素为Kij=Kji=ijdfj=jd系数矩阵中的任意一个元素的计算可以通过对每一个单元进行计算，然后将各单元的积分结果相加得到，即单元“e”对应的区域为e，单元的局部系数矩阵对应的元素为Kije，局部激励矩阵对应的元素为fje。由于本例中共划分了4个单元，因此有Kij=e=14eijd=e=14Kijefj=e=14ejd=e=14fje对于任意单元来说，局部的积分计算常常通过采用局部坐标而得到简化。节点i和i+1构成的单元“e”，设单元长度为 le。若采用局部坐标系，则新的坐标可以由原始坐标变换而来t=x-xi式中，t为新的局部坐标的变量。在单元e上，对于节点i和i+1的形函数i和i+1都是单元上的直线段，为it=1-t lei+1t=t le则单元系数矩阵和单元激励矩阵分别为Ki,i+1e=Ki,ieKi,i+1eKi+1,ieKi+1,i+1efie=fiefi+1e式中，各元素为Ki,ie=0le-1le2dt=1 leKi,i+1e=0le-1le1 ledt=-1 leKi+1,i+1e=0le1le2dt=1 lefie=0le1-t ledt= le2fi+1e=0let ledt= le2将式（1.41）式（1.45）代入式（1.39）和式（1.40）可以得到Ki,i+1e=1 le1-1-11fie= le1212以上求出的局部矩阵知合于整体区域中的任何一个单元。只要单元的长度已知，就可以根据上面两式求解局部系数矩阵和局部激励矩阵。代入数据到式（1.46）和式（1.47），有K1,2e=K2,3e=K4,5e=51-1-11K3,4e=2.51-1-11f1e=f2e=f4e=0.111f3e=0.211整体矩阵可由局部矩阵组合而成。具体的说，Ki,i+1e应该放置于K中的第i行、第j列与第i+1行、第j+1列之间，fie应该放置在f中的第i行、第j+1行。对于本例，有以下有限元方程5-5000 -55+5-500 0-55+2.5-2.50 00-2.52.5+5-50.10.1+0.10.1+0.20.2+0.10.1以上矩阵为对称稀疏矩阵，很多元素为零，易于计算机求解。考虑到边界处的狄里克莱边界，可知5=0.5，则可以消去以上矩阵第五行，将5直代入其余各行，并移到右侧与激励矩阵合并，则可整理出对应于4个节点的有限元方程5-500 -510-50 0-57.5-2.5 00-2.57.5 1234=0.10.20.32.8求解以上矩阵方程，可以得到4个节点上的电势值为=1,0.98,0.92,0.68,0.5。3、解析解实际上，对于上述一维电场问题，微分方程可以用积分的方法来求得精确的解析解。方程（1.26）在一维情况下，可以写为2x2=-1显然，方程解可以设为=-x22+bx+c将式（1.27）和式（1.28）代入式（1.55），可以解出b=0，c=1则方程的解为=1-x22对应上面4个节点上的电势值为=1,0.98,0.92,0.68,0.5T对比有限元计算结果和解析解在节点上的结果，可以发现，二者在节点上的电势值是一致的。其结果对比如图1.6所示。可以看出，对于非节点上的电势值，有限元法采用线性插值的方法，近似解呈分段线性，与解析解之间存在误差。如果选取更多的单元计算则得到的近似解会有更高的精度。图16有限元计算和解析解该问题比较简单，因而根本没有必要采用有限元求解。本节引入这个简单的例子只是借此说明有限元法的基本原理，便于初学者理解，读者通过一维有限元的学习，可以轻而易举地将这些概念和原理应用到二维和三维有限元中。122电磁场解后处理对于大部分工程问题来说，仅仅求出电势、磁势分布是不够的，还要得到其他物理参数或工程参数，如电磁力、转矩、电感、电容、电磁场能量、损耗等。通常把从势函数到具体