10考研高等数学强化讲义(附录)全.doc

附录I 一、微分学在经济方面的应用 例1设某企业每月需要使用某种材料2400公斤，每公斤成本150元，每年库存费为成本的6%，而每次订货费为100元。试求每批订货量为多少时，方使每月库存费和订货费之和最少？并求出这个最少费用（假设材料是均匀使用的）。 解：设每批订货公斤 均匀使用，平均库存量为批量的一半，即，每公斤库存费为，每批库存费为（元） 订货费（元） 令 解出 （另一负值不合题意舍去） 为极小值点 只有唯一的极值，可知也是最小值点 元 故每批订货800公斤，每月库存费与订货费之和为600元最少。 例2某商品的成本每件元，若另售价定为每件元可卖出件，如果每件售价减少元则可多卖出件，试求该商品每件售价定为多少时，方可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：以表示卖出件数，售价为元/件，利润为 则，由题意可知 于是 ，因此 ， 令 得， 又 当（元）时，（元）为极大值也是最大值 例3设某商品单价为时，售出商品数量为 其中均为正数，且。 （1）求在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； （2）要使销售额最大，商品单价应取何值？最大销售额是多少？ 解：（1）设售出商品的销售额为，则，。 令，得。 当时，有。所以随单价的增加，相应的销售额也将增加。 当时，有所以随单价的增加，相应的销售额将减少。 （2）由（1）可知，当时，销售额取得最大值，最大销售额为 。 （） 例4某商品进价为（元/件），根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件（均为正常数，且），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。 解：设表示降价后的销售价，为增加的销售量，为总利润，那么 ， 则 。 从而 。 对求导，得 令，得惟一驻点 。 由问题的实际意义或可知，为极大值点，也是最大值点，故定价为 （元） 时，得最大利润 （元）。 例5设某商品需求量是价格的单调减少函数：，其需求弹性。 （1）设为总收益函数，证明。 （2）求时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。 解：（1）。 上式两边对求导数，得 。 （2） 经济意义：当时，若价格上涨1%，则总收益将增加 例6设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量。 （1）求需求量对价格的弹性； （2）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。 解：（1）。 （2）由，得 。 又由，得。 当时，于是。 故当时，降低价格反而使收益增加。 二、多元函数微分学在经济方面的应用（数学三和数学四） 例1某公司通过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入（万元）与电视广告费（万元），报纸广告费（万元）有如下关系： ， （1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为万元，求相应的广告策略。 解：（1）利润函数为， 令 ，为唯一的驻点。 万元 当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为（万元），此即为最佳广告策略。 （2）求广告费用为万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件：下，的最大值。 令 ， 解方程组 ，这是唯一的驻点，又由题意一定存在最大值，故 （万元）为最大值。 例2设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数，其中为正常数，且假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为时，两要素各投入多少可以使投入总费用最小。 解：需要在产出量的条件下，求总费用的最小值，为此作拉格朗日函数 令 （1） （2） （3） 由（1）和（2），得 ， 将代入（3），得 ， 因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故说明，时，投入总费用最小。 例3假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元吨），和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 其中，表示该产品在两个市场的销售总量，即 （1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。 解：（1）根据题意，总利润函数为 令 解得，则（万元吨），（万元吨） 因驻点唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为 （万元） （2）若实行价格无差别策略，则，于是有约束条件构造拉格朗日函数 ， 令 解得 ，则，最大利润为 （万元） 由（1），（2）结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润 三差分方程（数学三） 1差分和差分方程概念 （1）差分概念 函数，记，则， 一阶差分 ， 二阶差分 ， 阶差分 （2）差分性质 （i） （ii） （3）差分方程的概念 或 均是差分方程。 （i）差分方程的阶就是差分方程中出现差分的最高阶数。 （ii）差分方程的解就是代入差分方程，能使之成为恒等式的函数。 （iii）差分方程的通解就是差分方程的解中所含独立的任意常数的个数恰等于方程阶数的解。 （iv）差分方程的特解就是差分方程的解中不含任意常数或通解中的任意常数已被确定的解。 （v）初始条件就是确定差分方程通解中任意常数的条件。 2一阶常系数线性差分方程的求解方法 （1）齐次方程 （常数） 通解 为任意常数 （2）非齐次方程 （常数） 通解 为任意常数 为非齐次方程的特解，先根据形状确定其形状，再用待定系数法。 （i）（常数） 若，设（待定常数）算出 若，设 算出 （ii） 若，设 算出 （常数） 若，设 算出 （iii） 若，设 算出 （为常数） 若，设 算出 （iv）, 均为常数 若， 设， 算出 若，设 算出 ，或， （v） 若， 设（常数，正整数）代入方程确定常数。 若， 设代入方程确定常数 3、典型例题 例1求解 解：相当， 齐次方程通解为 令非齐次方程特解代入方程化简后 解出， 故 通解为 例2 （1）设，试计算， （2）求差分方程的通解 （3）求差分方程的通解 解：（1） （2）对应齐次方程通解为（为任意常数） 非齐次方程特解 非齐次方程通解 （3）对应齐次方程，通解为 非齐次方程， 现在，故令， 因此所求通解为 例3设某种商品时刻供给量，需求量，价格它们关系为 ；，又假定在每个时期中，且当时，求价格随时间变化的规律。 解：， ， 即 这是一阶常系数线性非齐次差分方程，由于， 故方程特解为 对应齐次方程通解为，于是 又时确定常数， 故附录 II（数学一和数学二的补充资料）一、曲率（数学一和数学二）设曲线，它在点处的曲率，若，则称为点处的曲率半径，在点的法线上，凹向这一边取一点，使，则称为曲率中心，以为圆心，为半径的圆周称为曲率圆。例、求曲线上曲率最大的点。（数学一和数学二）解：由于是曲率为从而令，在的定义域内取得驻点，当时，即单调减小，当时，即单调增加，故知在处取得唯一的极大值，亦即最大值。因此，上，曲率最大的点为。二、平面曲线的弧长（数学一和数学二） 1直角坐标系 设光滑曲线，也即有连续的导数 弧长 而也称为弧微分 2极坐标系 设光滑曲线，在上有连续导数 弧长 3参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线，在上有连续的导数 曲线的弧长例1、 求星形线的周长（常数）解：星形线的参数方程周长例2、 求心形线的周长解：例3、 求曲线的弧长解：三、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二） 设平面曲线位于轴上方，它绕轴一周所得旋转曲面的面积为。 1设的方程为 则 2设的极坐标方程为， 则 3设的参数方程为， 则 4设以弧长为参数的参数方程 则例1、 求下列旋转面的面积（1）围成的图形绕轴旋转所得曲面；（2）绕极轴旋转所成曲面解：（1）该旋转面的面积为（2）这是心形线，则，曲线关于极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为于是02a例2、 求由星形线绕直线旋转一周所得旋转体的侧（表）面积解：考虑，而与之对称。曲线上一点它到直线的距离而到一段弧长为则微元侧（表）面积则整个侧面面积（这个问题也是表面积）为（积分时，为了去掉绝对值符号还必须分成和两段进行，在后面一个区间上是负的）四、微分学的应用（数学一和数学二）例1、用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？解：设油桶的直径为，高为，容积为。则由后一式解出代入前一式，得目标函数求导，有令即解得驻点（负根舍去）。又故是的唯一极大值点，它也是最大值点，即圆柱油桶的直径为时，其容积最大，这时油桶的高（）例2、某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为一定值，试确定半圆的半径和矩形的高，使所能通过的光线最为充足。解：本题实际是求窗的面积最大时的圆半径和矩形高的值，设窗的面积为，则有满足条件解出代入中得 则令解出由于此问题只有唯一的驻点，所以它必为所求，因此和时面积最大，亦即通过光线最充足。例3、把一根长为的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各长多少时，圆形面积与正方形面积之和最小？解：（1）建立目标函数，设圆形周长为，则正方形周长为，圆形面积与正方形面积之和为这就是目标函数（2）求目标函数的最小值点令得唯一驻点。又故是的唯一极小值点，它也是的最小值点。因此，当铅丝两段长分别为与时，所围圆形面积与正方形面积之和最小。例4、在椭圆位于第一象限的部分上求一点，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中，）。分析：先写出如图所示阴影部分面积的表达式，然后再求其最小值。解：设为所求的点，则可得此点处的切线方程为令，得该切线在轴上的截距为，令，得该切线在轴上的截距为于是所求阴影部分的面积为为求的最小值，可改为求的最大值。令得内唯一驻点。且在的左侧为正，右侧为负，从而为的极大值点，即是的极小值点，而为的极小值。因此所求之点为五、积分学的应用（数学一和数学二） 例1由抛物线及绕轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器（剖面图见图），高为。现于其中盛水，水高，问要将水全部抽出，外力需作多少功？ 解：设水的比重为，图中阴影部分的水重量为 抽出这部分水外力需作的功为 故抽出全部水外力需作的功 例2半径为的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要作多少功？（设球的比重为1） 解：首先建立坐标系，取轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心。见图 任取中的小区间相应的球体中的薄片，其重量为，在水中时浮力与重量相等。当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是，故对它需作功 因此，将球从水中取出时要作功 例3某闸门的形状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高，应为多少（米）？ 解：如图建立坐标系，则抛物线的方程为。闸门矩形部分承受的水压力 ， 其中为水的密度，为重力加速度。闸门下部承受的水压力 。 由题意知，即，得， （舍去），故。即闸门矩形部分的高应为。 例4设有一质量均匀的细直杆，其长为，质量为。 在的延长线上与端点的距离为处有一质量为的质点，试求细杆对点的引力 解：建立坐标系如图，积分变量为，积分区间为，细杆在这一段的质量为， 该小段对位于处的质点的引力为， 其中为引力系数，于是细杆对质点的引力为 六、微分方程的应用（数学一和数学二）1、几何方面例1、 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点处的曲率等于此曲线在该点法线段长度的倒数（是法线与轴的交点），且曲线在点处的切线与轴平行解：见图，所求曲线为，于是其在点处的曲率为 （因为曲线为凹的，故）曲线在点处的法线方程它与轴的交点的坐标于是由题设，即这是不显含的方程，初始条件为令，于是方程变为代入得积分得代入得故所求曲线为即例2、 已知曲线过点，如果把曲线上任一点处的切线与轴的交点记作，则以为直径所做的圆都经过点，求此曲线方程。解：作草图（见图），所求曲线设为于是切线方程为切线与轴的交点的坐标为设点为切线段的中点，坐标为因为圆经过点，所以，于是得方程 （*）令，则方程（*）（*）（1）（2）令为（*）的解，代入并整理，得故（*）的通解为即方程的通解为代入初值得于是所求曲线为例3、 设曲线的极坐标方程为，为上任一点，为上一定点。若极径与曲线所围成的曲边扇形的面积值等于上两点间弧长值的一半，求曲线的方程。解：曲边扇形的面积公式为。又弧微分于是由题设有两边对求导，即得，所求所满足的微分方程为即（它与原方程等价）注意到为方程的通解，再由条件可知所以曲线的方程为：2、微分方程在物理力学方面的应用 例1从船上向海中沉放某种探索仪器，下沉深度（从海平面算起），下沉速度，下沉过程中受到阻力和浮力，仪器质量，体积，海水比重，阻力与成正比（比例系数）试建立与所满足方程，并求。 解：根据牛顿第二定律 ， 则 ， 得 例2某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增加阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为的飞机，着陆时的水平速度为。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）问从着陆点算起滑行的最长距离是多少？ 解：由题设，飞机的质量，着陆时的水平速度。从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为。 解一：根据牛顿第二定律，得 。 又 ， 由以上二式得 ， 积分得 。 由于 ， 故得 ， 从而 。 当时， 所以，飞机滑行的最长距离为。 解二：根据牛顿第二定律，得， 所以 。 两端积分得通解，代入初始条件解得， 故 。 飞机滑行的最长距离为 。 解三：根据牛顿第二定律，得 ， ， 其特征方程为，解之得， 故 。 由， 得 ， 于是 。 当时， 所以，飞机滑行的最长距离为。 七、方向导数与梯度（数学一）1、平面情形在平面上过点沿方向的方向导数在点处的梯度为而方向导数与梯度的关系为由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为这相当用两向量的点乘的坐标公式2、空间情形在空间上过点沿方向的方向导数在点处的梯度而方向导数与梯度的关系为由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为例1