山东省中考数学 一元二次方程课件.ppt

一元二次方程 一 一元二次方程的概念1 定义 只含有 个未知数 并且未知数的最高次数是 的整式方程 2 一般形式 1 2 ax2 bx c 0 a b c是已知数 a 0 二 一元二次方程的解法 实数根 x1或x2 三 根的判别式与一元二次方程的根的情况1 b2 4ac 0 方程 的实数根 2 b2 4ac 0 方程 的实数根 3 b2 4ac 0 方程 实数根 有两个不相等 有两个相等 没有 四 根与系数的关系如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 思维诊断 打 或 1 方程ax2 bx c 0是一元二次方程 2 一元二次方程3x2 8x 10 0的一次项系数是8 3 一元二次方程x2 1的解是x 1 4 用配方法解方程x2 4x 1 0 配方得 x 2 2 3 5 方程2x2 3x 1中 3 2 4 2 1 1 6 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有实数根的条件是b2 4ac 0 7 方程x2 x 1 0的两个根之和是 1 两根之积是1 8 某药品经过两次降价 每瓶零售由100元降到81元 已知两次降价的百分率相同 则两次降价的百分率为10 热点考向一元二次方程的解 例1 一元二次方程 a 1 x2 ax a2 1 0的一个根为0 则a 思路点拨 把x 0代入方程 a 1 x2 ax a2 1 0 得出关于a的一元一次方程 解方程求出a的值 自主解答 因为一元二次方程的一根为0 所以a2 1 0 所以a 1 又a 1 0 a 1 故a 1 答案 1 易错提醒 求未知字母系数应注意的问题1 若题目中确定是一元二次方程 则必须保证二次项系数不为0 2 若没有指明是一元二次方程 则需分一元一次方程和一元二次方程两种情况分类讨论 规律方法 已知方程的根求未知系数注意隐含条件 二次项系数不为0 针对演练 1 若x 2是关于x的一元二次方程的一个根 则a的值为 a 1或4b 1或 4c 1或4d 1或 4 解析 选b 把x 2代入一元二次方程得 2 2 a 2 a2 0 即a2 5a 4 0 a 1 a 4 0 解得a1 1 a2 4 故选b 2 已知关于x的一元二次方程x2 ax b 0有一个非零根 b 则a b的值为 a 1b 1c 0d 2 解析 选a 关于x的一元二次方程x2 ax b 0有一个非零根 b b2 ab b 0 b 0 b 0 方程两边同时除以b 得b a 1 0 a b 1 故选a 3 若x 1是关于x的一元二次方程x2 3mx n 0的解 则6m 2n 解析 将x 1代入关于x的方程x2 3mx n 0 得3m n 1 则6m 2n 2 3m n 2 答案 2 4 已知x 1是一元二次方程x2 ax b 0的一个根 则代数式a2 b2 2ab的值是 解析 x 1是一元二次方程x2 ax b 0的一个根 a b 1 a2 b2 2ab a b 2 1 2 1 答案 1 热点考向二一元二次方程的解法 例2 5分 解方程 x2 3x 1 0 规范解答 规律方法 一元二次方程的解法选择1 直接开平方法适用情况 1 当方程缺少一次项时 即方程ax2 c 0 a 0 ac 0 2 形如 x m 2 n n 0 的方程 2 因式分解法适用情况 1 缺少常数项 即方程ax2 bx 0 a 0 2 一元二次方程的一边为0 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 3 配方法适用情况 1 二次项系数化为1后 一次项系数是偶数的一元二次方程 2 各项的系数比较小且便于配方的情况 4 公式法适用情况 形如ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0 的方程 针对演练 1 方程 x 2 x 3 0的解是 a x 2b x 3c x1 2 x2 3d x1 2 x2 3 解析 x 2 x 3 0 x 2 0或x 3 0 解得x1 2 x2 3 故选d 方法技巧 一元二次方程的解法选择口诀方程没有一次项 直接开方最理想 如果缺少常数项 因式分解没商量 b c相等都为零 等根是零不要忘 b c同时不为零 因式分解或配方 也可直接套公式 因题而异择良方 2 用配方法解方程x2 2x 1 0时 配方后所得的方程为 a x 1 2 0b x 1 2 0c x 1 2 2d x 1 2 2 解析 x2 2x 1 0 x2 2x 1 x2 2x 1 2 x 1 2 2 故选d 知识归纳 用配方法解一元二次方程的四个步骤1 二次项系数化为1 即在方程的两边同时除以二次项系数 2 移项 使方程的左边为二次项和一次项 右边为常数项 3 配方 在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 把原方程化成 x m 2 n的形式 4 开方 若n 0 则两边直接开平方求解 若n 0 则原方程无解 3 一元二次方程 x 6 2 16可转化为两个一元一次方程 其中一个一元一次方程是x 6 4 则另一个一元一次方程是 a x 6 4b x 6 4c x 6 4d x 6 4 解析 x 6 2 4 2 所以x 6 4 所以另一个方程是x 6 4 故选d 4 一元二次方程x2 3x 0的根是 解析 因为x2 3x 0 所以x x 3 0 所以x 0或x 3 0 所以x1 0 x2 3 答案 x1 0 x2 3 5 方程x2 2x 2 0的解是 解析 因为a 1 b 2 c 2 b2 4ac 4 8 12 0 所以答案 知识归纳 用公式法解方程的三个步骤1 把一元二次方程化为一般形式ax2 bx c 0 a 0 确定a b c的值 2 求出b2 4ac的值 3 分类讨论 若b2 4ac 0 则利用求根公式求出方程的根 若b2 4ac 0 则原方程没有实数根 6 一元二次方程2x2 3x 1 0的解为 解析 a 2 b 3 c 1 b2 4ac 3 2 4 2 1 1 0 即x1 1 x2 答案 x1 1 x2 7 解方程 2x2 4x 1 0 解 a 2 b 4 c 1 知识拓展 十字相乘法解一元二次方程1 二次三项式ax2 bx c分解因式 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1x c1 a2x c2 其中二次三项式的系数a分解成a1 a2 常数项c分解成c1 c2 并且把a1 a2 c1 c2排列如下 这里按斜线交叉相乘 再相加 就得到a1c2 a2c1 如果它们正好等于ax2 bx c的一次项系数b 那么ax2 bx c就可以分解成 a1x c1 a2x c2 其中a1 c1位于第一行 a2 c2位于下一行 像这种借助画十字交叉分解系数 从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法 叫做十字相乘法 2 十字相乘法解一元二次方程 例 解方程 2x2 7x 3 0 解 原方程可化为 x 3 2x 1 0 所以x 3 0 2x 1 0 解得x1 3 x2 热点考向三根的判别式及其应用 例3 已知关于x的方程x2 ax a 2 0 1 若该方程的一个根为1 求a的值及该方程的另一根 2 求证 不论a取何实数 该方程都有两个不相等的实数根 思路点拨 1 由题意可将x 1代入方程求得a值 确定一元二次方程的一般形式 再利用根与系数关系求得另一根 2 先求得根的判别式 再确定a的取值 自主解答 解 1 将x 1代入方程x2 ax a 2 0得 1 a a 2 0 解得a 方程为 即2x2 x 3 0 设另一根为x1 则1 x1 x1 2 a2 4 a 2 a2 4a 8 a2 4a 4 4 a 2 2 4 0 不论a取何实数 该方程都有两个不相等的实数根 规律方法 根的判别式的三个作用1 不解方程 直接判断一元二次方程根的情况 2 根据方程根的情况 确定某个未知系数的值 或范围 3 证明一个一元二次方程根的情况 针对演练 1 下列关于x的方程有实数根的是 a x2 x 1 0b x2 x 1 0c x 1 x 2 0d x 1 2 1 0 解析 因为 x 1 x 2 0 所以x 1 0或x 2 0 得x 1或x 2 故选c 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实数根 下列选项中正确的是 a b2 4ac 0b b2 4ac 0c b2 4ac 0d b2 4ac 0 解析 根据一元二次方程有实数根的判断方法 故选b 3 一元二次方程x2 4x 5 0的根的情况是 a 有两个不相等的实数根b 有两个相等的实数根c 只有一个实数根d 没有实数根 解析 b2 4ac 4 2 4 1 5 16 20 4 0 所以一元二次方程x2 4x 5 0没有实数根 故选d 4 已知关于x的方程x2 ax a 2 0 1 当该方程的一个根为1时 求a的值及该方程的另一根 2 求证 不论a取何实数 该方程都有两个不相等的实数根 解 1 设方程的另一根为x1 则解得 2 a2 4 a 2 a 2 2 4 a 2 2 0 0 不论a取何实数 该方程都有两个不相等的实数根 变式训练 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 那么k的取值范围是 a k b k 且k 0c k d k 且k 0 解析 根据题意 得解得且k 0 故选d 热点考向四列一元二次方程解应用题 例4 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本 其中固定成本每年均为4万元 可变成本逐年增长 已知该养殖户第一年的可变成本为2 6万元 设可变成本平均每年增长的百分率为x 1 用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元 2 如果该养殖户第3年的养殖成本为7 146万元 求可变成本平均每年的增长百分率x 思路点拨 1 根据第一年的可变成本2 6万元和年平均增长的百分率x 直接表示出第3年的可变成本为2 6 1 x 2 2 第三年的成本包括固定成本4万元和可变成本 由 1 得 2 6 1 x 2万元 两部分 由题意列出方程 求解即可 自主解答 解 1 2 6 1 x 2 2 根据题意 得4 2 6 1 x 2 7 146 解这个方程 得x1 0 1 x2 2 1 不合题意 舍去 答 可变成本平均每年增长的百分率是10 规律方法 列一元二次方程解应用题的 六字诀 1 审 理解题意 明确未知量 已知量以及它们之间的数量关系 2 设 根据题意 可以直接设未知数 也可以间接设未知数 3 列 根据题中的等量关系 用含所设未知数的代数式表示其他未知量 从而列出方程 4 解 准确求出方程的解 5 验 检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题 6 答 写出答案 针对演练 1 某果园2011年水果产量为100吨 2013年水果产量为144吨 求该果园水果产量的年平均增长率 设该果园水果产量的年平均增长率为x 则根据题意可列方程为 a 144 1 x 2 100b 100 1 x 2 144c 144 1 x 2 100d 100 1 x 2 144 解析 2012年增长后的产量是100 1 x 2013年增长后的产量是100 1 x 2 故根据题意得100 1 x 2 144 故选d 知识归纳 应用公式解平均增长 降低 率问题对于平均增长 降低 率问题 应用公式a 1 x n b a 1 x n b 可直接列方程 其中 a为增长 降低 前的基础数量 x为增长 降低 率 n为增长 降低 的次数 b为增长 降低 后的数量 注意 1 设增长率 降低率 为x 而不设为x 这样能简化计算 2 根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 2 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形 a的值不可能为 a 20b 40c 100d 120 解析 设长方形的长为xcm 根据长方形的面积公式可得一元二次方程x 20 x a 即x2 20 x a 0 根据一元二次方程根的判别式可得202 4a 0 解得a 100 故a的值不可能是120 故选d 3 随着市民环保意识的增强 烟花爆竹销售量逐年下降 咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱 到2013年烟花爆竹销售量为9 8万箱 求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率 解析 解 设年销售量的平均下降率为x 依题意得 20 1 x 2 9 8 解这个方程 得x1 0 3 x2 1 7 因为x2 1 7不符合题意 所以x 0 3 30 答 咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30 热点考向五根与系数的关系 例5 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 1 求实数m的最大整数值 2 在 1 的条件下 方程的实数根是x1 x2 求代数式的值 解题探究 1 方程有两个不相等的实数根可推出什么条件 提示 0 即 2 如何把转化为含x1 x2 x1x2的等式 提示 尝试解答 1 由题意 得 0 即 m 2 m的最大整数值为1 2 把m 1代入关于x的一元二次方程得 根据根与系数的关系 x1 x2 x1x2 1 x1x2 x1 x2 2 3x1x2 3 1 5 规律方法 根与系数的五种恒等变形 注意 利用根与系数的关系解题 要注意前提条件 0 针对演练 1 已知x1 x2是一元二次方程x2 4x 1 0的两个根 则x1 x2等于 a 4b 1c 1d 4 解析 由根与系数的关系得x1 x2 1 故选c 2 方程x2 m 6 x m2 0有两个相等的实数根 且满足x1 x2 x1x2 则m的值是 a 2或3b 3c 2d 3或2 解析 方程x2 m 6 x m2 0有两个相等的实数根 m 6 2 4m2 0 解得m1 6 m2 2 当m 6时 方程为x2 12x 36 0 不满足x1 x2 x1x2 当m 2时 方程为x2 4x 4 0 满足x1 x2 x1x2 m 2 故选c 3 已知实数a b分别满足a2 6a 4 0 b2 6b 4 0 且a b 则的值是 a 7b 7c 11d 11 解析 选a 由题意知a b是方程x2 6x 4 0的两个根 所以a b 6 ab 4 所以 变式训练 已知一元二次方程x2 6x 5 0的两根为a b 则的值是 解析 因为a b是一元二次方程x2 6x 5 0的两根 所以由根与系数的关系 得a b 6 ab 5 因此答案 4 2014 江西中考 若 是方程x2 2x 3 0的两个实数根 则 2 2 解析 由一元二次方程的根与系数的关系得 2 3 2 2 2 2 22 2 3 10 答案 10 5 已知关于x的一