江苏省南京市建邺高级中学高三第一轮复习数学《第5课时.doc

第5课时 函数的单调性 【考点概述】理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题【重点难点】：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值【知识扫描】1.增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是_.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是_.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间上是_或是_，就说这个函数在这个区间上具有_（区间称为_）。3.最大（小）值 （前面已复习过）4.判断函数单调性的方法（1）定义法：利用定义严格判断。（2）导数法 若在某个区间内可导，当时，为_函数；当时，为_函数。若在某个区间内可导，当在该区间上递增时，则_0，当 在该区间上递减时，则_0。（3）利用函数的运算性质：如若为增函数，则为增函数；为减函数（）；为增函数（）；为增 函数（）；为减函数。（4）利用复合函数关系判断单调性法则是“_”即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为_，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为_，（5）图像法（6）奇函数在两个对称区间上具有_的单调性；偶函数在两个对称区间上具有_的单调性；【热身练习】1.设函数是上的减函数，则的取值范围为 . 2已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则的取值范围是 。3 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则= 4已知函数在上是增函数，则的取值范围是_5函数的单调递减区间是_. 【范例透析】【例1】已知函数，（1）当时，求最大值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。【例2】已知函数，（1）用函数单调性的定义证明上是单调递增函数； （2）若的定义域、值域都是，求实数a的值. 【例3】已知函数和的图像关于原点对称，且。（1）求函数的解析式；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。【例4】函数对任意的a,bR，都有，并且当x0时，1. (1).求证：是R上的增函数。 （2）.若，解不等式【方法规律总结】1. 高考中主要考察求函数的单调区间及单调性的应用（如：利用函数单调性求值域、比较大小、解不等式等），多以小题的形式出现。但近几年常以导数为工具研究函数单调性问题在大题中是必考内容。2. 用定义证明（判断）函数在某一区间上的单调性，其步骤是：（1） 设是该区间上的任意两个值，且；（2） 作差，然后变形；( 注意变形结果)（3） 判定的符号（4） 根据定义作出结论。注意：1。单调性定义中的要有任意性，不能由两个特殊值的大小决定单调性。 2.不同的单调区间不能用并集表示【巩固练习】1如果函数f（x）= x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.2已知函数在区间上是减函数,则与的大小关系是 3在R上为减函数，则 .4若函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是 .5求函数的单调区间。6. 如果函数的定义域为，且增函数， (1).求证：； （2）.已知，且，求a的取值范围。7. 设函数f（x）对于任意x，yR，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x0时f（x）0，f（1）=-2（1）求f（0）；（2）证明f（x）是奇函数；（3）试问在x-3，3时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；（4）解不等式.第5课时 函数的单调性参考答案【热身练习】1. 2. 3. 25 4. 5. -1, 14.解析：对称轴方程为，在上是增函数，所以，解得。5.解析：由得，函数定义域为。令，则它的单调递减区间为，而为增函数，所以所求单调递减区间是。【范例透析】例1解: （1）。（2）由题意知函数的对称轴必须在区间的右侧或左侧右函数的对称轴为. ，即. 例2 解：（1）设， ， 上是单调递增函数。 （2）的定义域、值都是上是单调增函数，。例3解：（1）设为图像上任一点，则关于原点的对称点在的图像上，且即点在函数图像上， ，即故。（2）当时，在上是增函数，满足要求；当时，对称轴的方程为（i）当时，解得；（ii）当时，解得 综上，【巩固练习】1答案：a3 解析 ：对称轴x=1a，由1a4，得a3.2答案： 解析：a2a1(a)2，在上是减函数，3答案： 4答案：或解析：对称轴，或，解得或。7.证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），得fx+（-x）=f（x）+f（-x），f（x）+f（-x）=f（0）又f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（2）从而有f（x）+f（-x）=0f（-x）=-f（x）f（x）是奇函数（3）任取x1、x2R，且x1x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-fx1+（x2-x1）=f（x1）-f（x1）+f（x2-x1）=-f（x2-x1）由x1x2，x2-x10f（x2-x1）0-f（x2-x1）0，即f（x1）f（x2），从而f（x）在R上是减函数由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在-3，3上的最大值是f（-3），最小值为f（3）由f（1）=-2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3（-2）=-6，f（-3）=-f（3