高中数学 第二章 解三角形 1.1 正弦定理(二)课件 北师大版必修5.ppt

第二章解三角形 1 1正弦定理 二 1 熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题 2 能根据条件 判断三角形解的个数 3 能利用两边夹角求三角形面积 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一正弦定理的常见变形 1 sina sinb sinc 4 sina sinb sinc a b c 2r 3 a b c 2rsina 2rsinb 2rsinc 知识点二判断三角形解的个数 思考1 答案 在 abc中 a 9 b 10 a 60 判断三角形解的个数 故对应的钝角b有90 b 120 也满足a b 180 故三角形有两解 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角 三角形解的个数并不一定唯一 例如在 abc中 已知a b及a的值 由正弦定理 可求得sinb 在由sinb求b时 如果a b 则有a b 所以b为锐角 此时b的值唯一 如果a b 则有a b 所以b为锐角或钝角 此时b的值有两个 思考2 答案 已知三角形的两边及其夹角 为什么不必考虑解的个数 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等 则这两个三角形全等 即三角形的两边及其夹角确定时 三角形的六个元素即可完全确定 故不必考虑解的个数的问题 梳理 解三角形4个基本类型 已知三边 已知两边及其夹角 已知两边及其一边对角 已知一边两角 其中只有类型 解的个数不确定 知识点三三角形面积公式的拓展 思考 答案 如果已知底边和底边上的高 可以求三角形面积 那么如果知道三角形两边及夹角 有没有办法求三角形面积 abc中 如果已知边ab bc和角b 边bc上的高记为ha 则ha absinb 从而可求面积 梳理 abc中 角a b c的对边分别为a b c 则 abc的面积s absinc bcsina acsinb 题型探究 类型一判断三角形解的个数 例1在 abc中 已知a 20cm b 28cm a 40 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 解答 因为0 a b a 1 当b 64 时 c 180 a b 180 40 64 76 2 当b 116 时 c 180 a b 180 40 116 24 综上 b 64 c 76 c 30cm或b 116 c 24 c 13cm 引申探究例1中b 28cm a 40 不变 当边a在什么范围内取值时 abc有两解 范围中保留sin40 解答 如图 a 40 cd ad ac 28cm 以c为圆心 a为半径画圆弧 当cd a ac 即bsina a b 28sin40 a 28时 abc有两解 ab1c ab2c均满足题设 反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时 首先求出另一边的对角的正弦值 根据该正弦值求角时 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值 或者根据该正弦值 不等于1时 在0 180 范围内求角 一个锐角 一个钝角 只要不与三角形内角和定理矛盾 就是所求 跟踪训练1已知三角形中a b 6 a 30 判断三角形是否有解 若有解 解该三角形 解答 又因为bsina 6sin30 3 bsina a b 所以本题有解 且有两解 由正弦定理 得 因为b a b a b 0 180 所以b 60 或120 类型二利用正弦定理求最值或取值范围 例2在锐角 abc中 角a b c分别对应边a b c a 2bsina 求cosa sinc的取值范围 解答 a 2bsina 由正弦定理 得sina 2sinbsina 由锐角 abc知 反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题 1 先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素 2 将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数 三角函数 从而转化为函数的值域或最值问题 跟踪训练2在 abc中 若c 2b 求的取值范围 解答 因为a b c c 2b 类型三三角形面积公式的应用 命题角度1已知边角求面积例3在 abc中 ab ac 1 b 30 求 abc的面积 解答 0 ac c b c 60 或120 当c 60 时 a 90 当c 120 时 a 30 反思与感悟 三角形面积公式s absinc s bcsina s acsinb中含有三角形的边角关系 因此求三角形的面积 与解三角形有密切的关系 首先根据已知 求出所需 然后求出三角形的面积 跟踪训练3在 abc中 a 1 a 30 c 45 则 abc的面积为 答案 解析 b 180 a c 180 30 45 105 命题角度2给出面积求边角例4在 abc中 a 60 ab 2 且 abc的面积为 则ac的长为 1 答案 解析 b 1 即ac 1 反思与感悟 利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个 到底选择哪一个 要看题目给出的条件和解题目标 跟踪训练4已知锐角三角形abc的面积为 bc 4 ca 3 则角c的大小为 答案 解析 a 75 b 60 c 45 d 30 当堂训练 1 在 abc中 ac bc 2 b 60 则角c的值为a 45 b 30 c 75 d 90 答案 解析 1 2 3 答案 解析 2 在 abc中 若 则 abc是a 直角三角形b 等边三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 1 2 3 1 2 3 tana tanb tanc 又 a b c 0 a b c 故三角形为等边三角形 3 已知 abc的面积为 且b 2 c 则sina 1 2 3 答案 解析 规律与方法 1 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 这时三角形解的情况可能无解 也可能一解或两解 首先求出另一边的对角的正弦值 当正弦值大于1或小于0时 这时三角形解的