GM(1,1).docx

7.3 灰色预测模型7.3.1 GM（1,1）模型符号含义为 G M （1， 1） Grey Model 1阶方程 1个变量 1GM(1,1)模型令为GM(1,1)建模序列，为的一次累加序列，,令为的紧邻均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为 (7.3.2)式中称为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足 =其中=， =称 (7.3.3)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1） 白化方程的解也称时间响应函数为2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为+，3） 取，则+，4） 还原值上式即为预测方程。有关建模的问题说明如下：1 定原始序列中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2 建模数据的取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。3 一般建模数据序列应当由最新的数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。7.3.2 GM（1,1）模型检验GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。1 残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算，将累减生成，最后计算原始序列与的绝对残差序列，及相对残差序列，%并计算平均相对残差给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。2 关联度检验关联度检验，即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出与原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。3 后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验。（1） 计算出原始序列的平均值：= （2） 计算原始序列的均方差：=（3） 计算残差的均值：=（4） 计算残差的均方差：=（5） 计算方差比C：（6） 计算小残差概率：P (19)（P是满足的基本事件数除以n得到的值.由C和P判断预测模型精度）令=0.6745，即P。若对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型。表7.1 后验差检验判别参照表模型精度0.950.800.700.65勉强合格0.65不合格若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。7.3.3 GM（1,1）模型应用实例例7.1 某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。年份199920002001200220032004销售额(亿元)2.673.133.253.363.563.72解：设=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步 构造累加生成序列=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步 构造数据矩阵和数据向量，第3步 计算=第4步 得出预测模型0.043879=2.925663=69.345766.6757（=2.67；=66.6757）第5步 残差检验(1)根据预测公式，计算，得2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69(=0,1, ,6)(2)累减生成序列，=1,2, ,62.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71原始序列：2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：0，0.02，0，0.04，0.02，0.01相对残差序列：0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%相对残差不超过1.19%，模型精确度高。第6步 进行关联度检验(1) 计算序列与的绝对残差序列(k)0,0.02,0,0.04,0.02,0.01min(k) = min0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0max(k) = max0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0.04(2) 计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。求得1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67(3) 计算关联度0.67r=0.67是满足P=0.5时的检验准则r0.6的。第7步 后验差检验(1) 计算：=2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72=3.28(2) 计算序列的均方差：=0.3671(3) 计算残差的均值：=0.015(4) 计算残差的均方差：=0.0152(5) 计算C：=0.0152/0.3671=0.0414(6) 计算小残差概率：=0.67450.3671=0.27460.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小残差概率=1，而同时C=0.04140.35，故模型=69.345766.6757合格。第8步 预测：k=7，(8)=(8)(7)=4.23即2005年的产品销售额预测值为4.23亿元。7.3.4 GM（1,1）残差模型当原始数据序列建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度。若用原始序列建立的GM(1,1)模型=+可获得生成序列的预测值，定义残差序列=。若取j=i, i+1, , n，则对应的残差序列为：=