高中立体几何模拟题(附答案)

第 1 页 共 38 页 高中立体几何模拟题高中立体几何模拟题 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 在空间直角坐标系中 已知点 P x y z 下列叙述中正确的个数是 点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1 x y z 点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 x y z 点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 x y z 点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 x y z A 3B 2C 1D 0 2 空间四边形 ABCD 中 若向量 3 5 2 7 1 4 点 E F 分 别为线段 BC AD 的中点 则的坐标为 A 2 3 3 B 2 3 3 C 5 2 1 D 5 2 1 3 设平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 若 则 k A 2B 4C 2D 4 4 已知 3 2 3 1 x 1 1 且 与 的夹角为钝角 则 x 的取值 范围是 A 2 B 2 C 2 D 5 若 1 2 2 1 1 与 的夹角为 60 则 的值为 第 2 页 共 38 页 A 17 或 1 B 17 或 1 C 1D 1 6 设平面 内两个向量的坐标分别为 1 2 1 1 1 2 则下列向量中 是平面的法向量的是 A 1 2 5 B 1 1 1 C 1 1 1 D 1 1 1 7 若 1 2 2 是平面 的一个法向量 则下列向量能作为平面 法向量 的是 A 1 2 0 B 0 2 2 C 2 4 4 D 2 4 4 8 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A B C D 9 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 AC 2 BC D E 分别是 AC1 和 BB1的中点 则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 3 小题 小题 10 设平面 的一个法向量为 1 2 2 平面 的一个法向量为 第 3 页 共 38 页 2 4 k 若 则 k 11 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴 上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的坐标是 12 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 底面 ABC AB BC AA1 ABC 90 点 E F 分别是棱 AB BB1的中点 则直线 EF 和 BC1的夹角是 三 解答题 共三 解答题 共 18 小题 小题 13 如图 四边形 ABCD 为矩形 四边形 ADEF 为梯形 AD FE AFE 60 且平面 ABCD 平面 ADEF AF FE AB 2 点 G 为 AC 的中点 求证 EG 平面 ABF 求三棱锥 B AEG 的体积 试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直 若垂直 请证明 若不垂直 请 说明理由 14 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 D 是 BC 的中点 1 求证 平面 AB1D 平面 B1BCC1 2 求证 A1C 平面 AB1D 第 4 页 共 38 页 15 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 是 BC 上的 ABD 折起 使 BDC 90 证明 平面 ADB 平面 BDC 设 BD 1 求三棱锥 D ABC 的表面积 16 三棱锥 S ABC 中 SA AB SA AC AC BC 且 AC 2 BC SB 1 证明 SC BC 2 求三棱锥的体积 VS ABC 17 如图 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 PO 底面 ABCD E 是 PC 的中 点 求证 1 PA 平面 BDE 第 5 页 共 38 页 2 BD 平面 PAC 18 如图 在四棱锥 V ABCD 中底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平 面 VAD 底面 ABCD 1 证明 AB 平面 VAD 2 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 AB 1 PA 2 证明 直线 CE 平面 PAB 求三棱锥 E PAC 的体积 20 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 PA 平面 ABCD BD 交 AC 第 6 页 共 38 页 于点 E F 是线段 PC 中点 G 为线段 EC 中点 求证 FG 平面 PBD 求证 BD FG 21 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱 AA1 底面 ABC AC AB AC AA1 1 AB 2 P 为线段 AB 上的动点 I 求证 CA1 C1P II 若四面体 P AB1C1的体积为 求二面角 C1 PB1 A1的余弦值 22 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 AB 1 AA1 2 点 E 为 CC1中点 点 F 为 BD1中点 1 证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线 2 求点 D1到面 BDE 的距离 23 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面 ABCD PA AD AB 2BC M N 分别为 PC PB 的中点 第 7 页 共 38 页 求证 PB DM 求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值 24 在如图所示的多面体中 EF 平面 AEB AE EB AD EF EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G 为 BC 的中 点 1 求证 AB 平面 DEG 2 求证 BD EG 3 求二面角 C DF E 的正弦值 25 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 侧棱 SA 底面 ABCD AB 垂直于 AD 和 BC SA AB BC 2 AD 1 M 是棱 SB 的中点 求证 AM 面 SCD 求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 设点 N 是直线 CD 上的动点 MN 与面 SAB 所成的角为 求 sin 的最大 值 第 8 页 共 38 页 26 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AC AA1 2 ABC 1 证明 AB A1C 2 求二面角 A A1C B 的正弦值 27 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 BAD 60 Q 为 AD 的中 点 1 若 PA PD 求证 平面 PQB 平面 PAD 2 点 M 在线段 PC 上 PM tPC 试确定 t 的值 使 PA 平面 MQB 3 在 2 的条件下 若平面 PAD 平面 ABCD 且 PA PD AD 2 求二面角 M BQ C 的大小 28 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 AA1B1B 为正方形 侧面 BB1C1C 为菱形 CBB1 60 AB B1C I 求证 平面 AA1B1B 平面 BB1C1C II 求二面角 B AC A1的余弦值 第 9 页 共 38 页 29 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD ABC 是正三角形 AC 与 BD 的交 点 M 恰好是 AC 中点 又 PA AB 4 CDA 120 点 N 在线段 PB 上 且 PN 求证 BD PC 求证 MN 平面 PDC 求二面角 A PC B 的余弦值 30 如图 平面 ABCD 平面 PAD APD 是直角三角形 APD 90 四边形 ABCD 是直角梯形 其中 BC AD BAD 90 AD 2BC 且 AB BC PD 2 O 是 AD 的中点 E F 分别是 PC OD 的中点 求证 EF 平面 PBO 求二面角 A PF E 的正切值 第 10 页 共 38 页 2017 年年 03 月月 25 日日 1879804507 的高中数学组卷的高中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 2016 春 孝感期末 在空间直角坐标系中 已知点 P x y z 下列叙述 中正确的个数是 点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1 x y z 点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 x y z 点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 x y z 点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 x y z A 3B 2C 1D 0 解答 解 P 关于 x 轴的对称点为 P1 x y z 关于 yOz 平面的对称点为 P2 x y z 关于 y 轴的对称点为 P3 x y z 点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 x y z 故 错误 故选 C 2 2015 秋 石家庄校级期末 空间四边形 ABCD 中 若向量 3 5 2 7 1 4 点 E F 分别为线段 BC AD 的中点 则的坐标为 第 11 页 共 38 页 A 2 3 3 B 2 3 3 C 5 2 1 D 5 2 1 解答 解 点 E F 分别为线段 BC AD 的中点 3 5 2 7 1 4 2 3 3 故选 B 3 2015 邹城市校级模拟 设平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 若 则 k A 2B 4C 2D 4 解答 解 平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 由题意可得 k 4 故选 D 第 12 页 共 38 页 4 2014 秋 越城区校级期末 已知 3 2 3 1 x 1 1 且 与 的夹角为钝角 则 x 的取值范围是 A 2 B 2 C 2 D 解答 解 与 的夹角为钝角 cos 0 且 与 不共线 0 且 3 2 3 1 x 1 1 3 2 x 1 3 0 且 x x 的取值范围是 2 故选 B 5 2014 秋 从化市校级期末 若 1 2 2 1 1 与 的夹角 为 60 则 的值为 A 17 或 1 B 17 或 1 C 1D 1 解答 解 cos60 化为 2 16 17 0 解得 17 或 1 故选 B 6 2015 春 济南校级期中 设平面 内两个向量的坐标分别为 1 2 1 1 1 2 则下列向量中是平面的法向量的是 A 1 2 5 B 1 1 1 C 1 1 1 D 1 1 1 解答 解 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 第 13 页 共 38 页 向量 1 1 1 是此平面的法向量 故选 B 7 2016 秋 兴庆区校级期末 若 1 2 2 是平面 的一个法向量 则 下列向量能作为平面 法向量的是 A 1 2 0 B 0 2 2 C 2 4 4 D 2 4 4 解答 解 2 4 4 2 1 2 2 向量 2 4 4 与平面 的一个法向量平行 它也是此平面的法向量 故选 C 8 2015 株洲一模 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A B C D 解答 解 以 D 点为坐标原点 以 DA DC DD1所在的直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 图略 则 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 C1 0 2 1 2 0 1 2 2 0 且为平面 BB1D1D 的一个法向量 cos BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 故答案为 D 9 2015 广西模拟 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 第 14 页 共 38 页 AB 1 AC 2 BC D E 分别是 AC1和 BB1的中点 则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 A B C D 解答 解 取 AC 的中点为 F 连接 BF DF 因为在直三棱柱 ABC A1B1C1中 CC1 BB1 又因为 DF 是三角形 ACC1的中位线 故 DF CC1 BB1 BE 故四边形 BEDF 是平行四边形 所以 ED BF 过点 F 作 FG 垂直与 BC 交 BC 与点 G 由题意得 FBG 即为所求的角 因为 AB 1 AC 2 BC 所以 ABC BCA 直角三角形斜边中线 BF 是斜边 AC 的一半 故 BF AC CF 所以 FBG BCA 故选 A 二 填空题 共二 填空题 共 3 小题 小题 10 2016 秋 碑林区校级期末 设平面 的一个法向量为 1 2 2 平 面 的一个法向量为 2 4 k 若 则 k 4 第 15 页 共 38 页 解答 解 存在实数 使得 解得 k 4 故答案为 4 11 2009 安徽 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的坐标是 0 1 0 解答 解 设 M 0 y 0 由 12 y2 4 1 y 3 2 1 可得 y 1 故 M 0 1 0 故答案为 0 1 0 12 2016 秋 临沂期末 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 底面 ABC AB BC AA1 ABC 90 点 E F 分别是棱 AB BB1的中点 则直线 EF 和 BC1的夹角是 解答 解 如图所示 建立空间直角坐标系 由于 AB BC AA1 不妨取 AB 2 则 E 0 1 0 F 0 0 1 C1 2 0 2 0 1 1 2 0 2 第 16 页 共 38 页 异面直线 EF 和 BC1的夹角为 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 18 小题 小题 13 2015 重庆校级模拟 如图 四边形 ABCD 为矩形 四边形 ADEF 为梯形 AD FE AFE 60 且平面 ABCD 平面 ADEF AF FE AB 2 点 G 为 AC 的中点 求证 EG 平面 ABF 求三棱锥 B AEG 的体积 试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直 若垂直 请证明 若不垂直 请 说明理由 解答 I 证明 取 AB 中点 M 连 FM GM G 为对角线 AC 的中点 GM AD 且 GM AD 又 FE AD GM FE 且 GM FE 四边形 GMFE 为平行四边形 即 EG FM 第 17 页 共 38 页 又 EG 平面 ABF FM 平面 ABF EG 平面 ABF 4 分 解 作 EN AD 垂足为 N 由平面 ABCD 平面 AFED 面 ABCD 面 AFED AD 得 EN 平面 ABCD 即 EN 为三棱锥 E ABG 的高 在 AEF 中 AF FE AFE 60 AEF 是正三角形 AEF 60 由 EF AD 知 EAD 60 EN AE sin60 三棱锥 B AEG 的体积 为 8 分 解 平面 BAE 平面 DCE 证明如下 四边形 ABCD 为矩形 且平面 ABCD 平面 AFED CD 平面 AFED CD AE 四边形 AFED 为梯形 FE AD 且 AFE 60 FAD 120 又在 AED 中 EA 2 AD 4 EAD 60 由余弦定理 得 ED EA2 ED2 AD2 ED AE 又 ED CD D AE 平面 DCE 又 AE 面 BAE 第 18 页 共 38 页 平面 BAE 平面 DCE 12 分 14 2014 南昌模拟 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 D 是 BC 的中点 1 求证 平面 AB1D 平面 B1BCC1 2 求证 A1C 平面 AB1D 解答 证明 1 因为 B1B 平面 ABC AD 平面 ABC 所以 AD B1B 2 分 因为 D 为正 ABC 中 BC 的中点 所以 AD BD 2 分 又 B1B BC B 所以 AD 平面 B1BCC1 4 分 又 AD 平面 AB1D 故平面 AB1D 平面 B1BCC1 6 分 2 连接 A1B 交 AB1于 E 连 DE 7 分 因为点 E 为矩形 A1ABB1对角线的交点 所以 E 为 AB1的中点 8 分 又 D 为 BC 的中点 所以 DE 为 A1BC 的中位线 所以 DE A1C 10 分 又 DE 平面 AB1D 所以 A1C 平面 AB1D 12 分 15 2011 陕西 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的 第 19 页 共 38 页 高 沿 AD 把是 BC 上的 ABD 折起 使 BDC 90 证明 平面 ADB 平面 BDC 设 BD 1 求三棱锥 D ABC 的表面积 解答 解 折起前 AD 是 BC 边上的高 当 ABD 折起后 AD DC AD DB 又 DB DC D AD 平面 BDC AD 平面 ABD 平面 ADB 平面 BDC 由 知 DA DB DB DC DC DA DB DA DC 1 AB BC CA 从而 所以三棱锥 D ABC 的表面积为 第 20 页 共 38 页 16 2016 徐汇区一模 三棱锥 S ABC 中 SA AB SA AC AC BC 且 AC 2 BC SB 1 证明 SC BC 2 求三棱锥的体积 VS ABC 解答 解 1 SA AB SA AC AB AC A SA 平面 ABC AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影 又 BC AC 由三垂线定理得 SC BC 2 在 ABC 中 AC BC AC 2 BC AB SA AB SAB 为 Rt SB SA 2 SA 平面 ABC SA 为棱锥的高 VS ABC AC BC SA 2 17 2016 秋 咸阳期末 如图 ABCD 是正方形 O 是正方形的中心 PO 底 面 ABCD E 是 PC 的中点 求证 1 PA 平面 BDE 2 BD 平面 PAC 第 21 页 共 38 页 解答 证明 1 连接 OE 在 CAP 中 CO OA CE EP PA EO 又 PA 平面 BDE EO 平面 BDE PA 平面 BDE 2 PO 底面 ABCD BD 平面 ABCD BD PO 又 四边形 ABCD 是正方形 BD AC AC PO O AC PO 平面 PAC BD 平面 PAC 18 2014 嘉定区校级二模 如图 在四棱锥 V ABCD 中底面 ABCD 是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 1 证明 AB 平面 VAD 2 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值 第 22 页 共 38 页 解答 证明 1 平面 VAD 平面 ABCD AB AD AB 平面 ABCD 平面 VAD 平面 ABCD AD AB 面 VAD 2 取 VD 中点 E 连接 AE BE VAD 是正三角形 AB 面 VAD AE VD 平面 VAD AB VD AB AE AE VD AB VD AB AE A 且 AB AE 平面 ABE D VD 平面 ABE BE 平面 ABE BE VD AEB 即为所求的二面角的平面角 在 RT ABE 中 cos AEB 19 2012 河南模拟 如图 在四棱锥 P ABCD 中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 AB 1 PA 2 证明 直线 CE 平面 PAB 求三棱锥 E PAC 的体积 解答 解 1 取 AD 中点 F 连接 EF CF PAD 中 EF 是中位线 可得 EF PA 第 23 页 共 38 页 EF 平面 PAB PA 平面 PAB EF 平面 PAB Rt ABC 中 AB 1 BAC 60 AC 2 又 Rt ACD 中 CAD 60 AD 4 结合 F 为 AD 中点 得 ACF 是等边三角形 ACF BAC 60 可得 CF AB CF 平面 PAB AB 平面 PAB CF 平面 PAB EF CF 是平面 CEF 内的相交直线 平面 CEF 平面 PAB CE 面 CEF CE 平面 PAB 2 PA 平面 ABCD CD 平面 ABCD PA CD 又 AC CD PA AC 是平面 PAC 内的相交直线 CD 平面 PAC CD 平面 DPC 平面 DPC 平面 PAC 过 E 点作 EH PC 于 H 由面面垂直的性质定理 得 EH 平面 PAC EH CD Rt ACD 中 AC 2 AD 4 ACD 90 所以 CD 2 E 是 CD 中点 EH CD EH CD PA AC SRt PAC 2 因此 三棱锥 E PAC 的体积 V S PAC EH 20 2016 春 哈尔滨校级月考 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 第 24 页 共 38 页 PA 平面 ABCD BD 交 AC 于点 E F 是线段 PC 中点 G 为线段 EC 中点 求证 FG 平面 PBD 求证 BD FG 解答 证明 连接 PE G F 为 EC 和 PC 的中点 FG PE FG 平面 PBD PE 平面 PBD FG 平面 PBD 6 分 菱形 ABCD BD AC 又 PA 面 ABCD BD 平面 ABCD BD PA PA 平面 PAC AC 平面 PAC 且 PA AC A BD 平面 PAC FG 平面 PAC BD FG 14 分 21 2009 丹东二模 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱 AA1 底面 ABC AC AB AC AA1 1 AB 2 P 为线段 AB 上的动点 I 求证 CA1 C1P II 若四面体 P AB1C1的体积为 求二面角 C1 PB1 A1的余弦值 第 25 页 共 38 页 解答 I 证明 连接 AC1 侧棱 AA1 底面 ABC AA1 AB 又 AB AC AB 平面 A1ACC1 又 CA1 平面 A1ACC1 AB CA1 2 分 AC AA1 1 四边形 A1ACC1为正方形 AC1 CA1 AC1 AB A CA1 平面 AC1B 4 分 又 C1P 平面 AC1B CA1 C1P 6 分 II 解 AC AB AA1 AC 且 C1A1 平面 ABB1A BB1 AB 由 知 解得 PA 1 P 是 AB 的中点 8 分 连接 A1P 则 PB1 A1P C1A1 平面 A1B1BA PB1 C1A1 PB1 C1P C1PA1是二面角的平面角 10 分 在直角三角形 C1PA1中 即二面角的余弦值是 22 2003 天津 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 AB 1 AA1 2 点 E 为 CC1中 点 点 F 为 BD1中点 第 26 页 共 38 页 1 证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线 2 求点 D1到面 BDE 的距离 解答 解 1 取 BD 中点 M 连接 MC FM F 为 BD1中点 FM D1D 且 FM D1D 又 ECCC1且 EC MC 四边形 EFMC 是矩形 EF CC1 又 FM 面 DBD1 EF 面 DBD1 BD1 面 DBD1 EF BD1 故 EF 为 BD1与 CC1的公垂线 解 连接 ED1 有 VE DBD1 VD1 DBE 由 知 EF 面 DBD1 设点 D1到面 BDE 的距离为 d 则 AA1 2 AB 1 第 27 页 共 38 页 故点 D1到平面 DBE 的距离为 23 2013 广州三模 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面 ABCD PA AD AB 2BC M N 分别为 PC PB 的中点 求证 PB DM 求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值 解答 本题满分 13 分 解 解法 1 N 是 PB 的中点 PA AB AN PB PA 平面 ABCD 所以 AD PA 又 AD AB PA AB A AD 平面 PAB AD PB 又 AD AN A PB 平面 ADMN DM 平面 ADMN PB DM 6 分 第 28 页 共 38 页 解法 2 如图 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz 设 BC 1 可得 A 0 0 0 P 0 0 2 B 2 0 0 C 2 1 0 D 0 2 0 因为 所以 PB DM 6 分 解法 1 取 AD 中点 Q 连接 BQ 和 NQ 则 BQ DC 又 PB 平面 ADMN CD 与平面 ADMN 所成的角为 BQN 设 BC 1 在 Rt BQN 中 则 故 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 13 分 解法 2 因为 所以 PB AD 又 PB DM 所以 PB 平面 ADMN 因此的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角 因为 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 13 分 24 2014 烟台二模 在如图所示的多面体中 EF 平面 AEB AE EB AD EF EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G 为 BC 的中 点 1 求证 AB 平面 DEG 2 求证 BD EG 第 29 页 共 38 页 3 求二面角 C DF E 的正弦值 解答 1 证明 AD EF EF BC AD BC BC 2AD G 为 BC 的中点 AD BG 且 AD BG 四边形 ABCD 是平行四 边形 AB DG 因为 AB 不在平面 DEG 中 DG 在平面 DEG 内 AB 平面 DEG 2 证明 EF 平面 AEB AE 平面 AEB BE 平面 AEB EF AE EF BE AE EB EB EF EA 两两垂直 以点 E 为坐标原点 EB EF EA 所在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标 系 由已知得 A 0 0 2 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 2 2 F 0 3 0 G 2 2 0 BD EG 3 解 由已知得是平面 EFDA 的法向量 设平面 DCF 的法向量 为 令 z 1 得 x 1 y 2 即 设二面角 C DF E 的大小为 则 第 30 页 共 38 页 二面角 C DF E 的正弦值为 25 2015 漳州模拟 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 侧 棱 SA 底面 ABCD AB 垂直于 AD 和 BC SA AB BC 2 AD 1 M 是棱 SB 的中 点 求证 AM 面 SCD 求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 设点 N 是直线 CD 上的动点 MN 与面 SAB 所成的角为 求 sin 的最大 值 解答 解 以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 0 0 0 B 0 2 0 D 1 0 0 S 0 0 2 M 0 1 1 则 设平面 SCD 的法向量是 则 即 令 z 1 则 x 2 y 1 于是 第 31 页 共 38 页 又 AM 平面 SCD AM 平面 SCD 易知平面 SAB 的法向量为 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的 二面角为 则 即 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 设 N x 2x 2 0 则 当 即时 26 2011 琼海一模 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AC AA1 2 ABC 1 证明 AB A1C 2 求二面角 A A1C B 的正弦值 第 32 页 共 38 页 解答 解 1 证明 在 ABC 中 由正弦定理可求得 AB AC 以 A 为原点 分别以 AB AC AA1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 如图 则 A 0 0 0 B 2 0 0 即 AB A1C 2 由 1 知 设二面角 A A1C B 的平面角为 27 2012 日照二模 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 第 33 页 共 38 页 BAD 60 Q 为 AD 的中点 1 若 PA PD 求证 平面 PQB 平面 PAD 2 点 M 在线段 PC 上 PM tPC 试确定 t 的值 使 PA 平面 MQB 3 在 2 的条件下 若平面 PAD 平面 ABCD 且 PA PD AD 2 求二面角 M BQ C 的大小 解答 1 证明 连 BD 四边形 ABCD 菱形 BAD 60 ABD 为正三角形 Q 为 AD 中点 AD BQ PA PD Q 为 AD 的中点 AD PQ 又 BQ PQ Q AD 平面 PQB AD 平面 PAD 平面 PQB 平面 PAD 2 当 t 时 使得 PA 平面 MQB 连 AC 交 BQ 于 N 交 BD 于 O 连接 MN 则 O 为 BD 的中点 又 BQ 为 ABD 边 AD 上中线 N 为正三角形 ABD 的中心 令菱形 ABCD 的边长为 a 则 AN a AC a PA 平面 MQB PA 平面 PAC 平面 PAC 平面 MQB MN PA MN 即 PM PC t 3 由 PA PD AD 2 Q 为 AD 的中点 则 PQ AD 又平面 PAD 平面 ABCD 所以 PQ 平面 ABCD 以 Q 为坐标原点 分别以 QA QB QP 所在的直线为 x y z 轴 建立如图所 第 34 页 共 38 页 示的坐标系 则各点坐标为 A 1 0 0 B 0 0 Q 0 0 0 P 0 0 设平面 MQB 的法向量为 可得 而 PA MN y 0 x 取平面 ABCD 的法向量 cos 二面角 M BQ C 的大小为 60 28 2015 玉山县校级模拟 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 AA1B1B 为正方形 侧面 BB1C1C 为菱形 CBB1 60 AB B1C I 求证 平面 AA1B1B 平面 BB1C1C II 求二面角 B AC A1的余弦值 解答 证明 由侧面 AA1B1B 为正方形 知 AB BB1 又 AB B1C BB1 B1C B1 AB 平面 BB1C1C 又 AB 平面 AA1B1B 平面 AA1B1B BB1C1C 由题意 CB CB1 设 O 是 BB1的中点 连接 CO 则 CO BB1 由 知 CO 平面 AB1B1A 建立如图所示的坐标系 O xy