实变函数教案ch3测度

实变函数教案ch3测度 第三章测度3.0引言先研究Riemann积分有界函数)(x fy?定义于,b a划分,b ab x x x an?10，记1i?x x xi i，maxin1xi?，取点,i1x xii?，)n,2,1,i(?f(x)作积分和?nii inx fS1)(?取极限nbaS dx x fR0lim)()(?Riemann积分的基本思想就是用小矩形代替小曲边梯形?badx x f)(表示整个曲边梯形的面积之和00xa?1x1?ix ix1?nx bx n?x记x)(infx)(sup1i1i i i ix x x f xxxf?（振幅），则)(xf在,b a上R可积0lim n1i0?iix?微积分于十八世纪由NewtonLeibniz开创，后经Cauchy、Riemann等人的改进，十九世纪后期已经成熟R积分的两大局限 (1)R积分基本上只适用于连续函数Dirichlet函数?S10,x,0Q10,x,1)(?x D1) (0)(1010?dxx D dxx D，非R可积 (2)R积分中极限交换及累次积分交换的条件太强（大多要求一致收敛、绝对收敛等条件）新积分应运而生，（法）Lebesgue积分诞生于20世纪初它克服了两大局限L积分对象是可测函数应用广泛测度积分形成后，建立了泛函分析理论y yn=d y i i?yi-1y0=c0a bx iE现设d f(x)c,?时，b ax划分,d cd y yy?10，记,y1i?i iyyymaxin1?i?，取点y,i1?i iy?，)n,2,1,i(?作积分和?nii inmE T1?取极限?ba,10dm f(L)limnii imE?其中imE为可测集iE的长度（测度），)(1ii iy fy E E?)(1iiyxfy E x?，,b aE?可测集iE可能不规则例如，S DE?1,0)3.00(?；Q DE?1,0)1.18.0(?，（)(xD是Dirichlet函数）要定义Lebesgue积分，应先定义测度imE它是区间长度概念的推广应当满足 (1)非负性0m,0?imE (2)j ij ij iE E E E E E,?是可测集 (3)可列可加性若?1iE是一列互不相交的可测集，则?1iEi也是可测集，且?1i1imE Eiim?3.1.集合代数3.1.1集合代数与?代数定义1集合X，非空集族A)(X P?，满足 (1)?X,?A； (2)?F,E A?F)(E?A，?F)(E?A，?F)(E A称集族A为X上的一个代数若A还满足 (3)?1nE A?1n nE A称A为X上的一个?代数，,(X A)为可测空间，A中元素称为A可测集，简称可测集性质设A是X上的一个?代数，?nE A，则?1nEnA，?nnE lim A，?nnE limA证?nEX E A，? n?11nE E A?1kE limn n knnEA，?1kE limn n knnE A定理3.1.2设非空集族A)(X P?，则A成为代数的充要条件是?F,E A?cE A，?F)(E?A（证明留作习题）定理3.1.3设A是X上的代数，则A是?代数?若?1nE A，?1n n j iE,)j i(E E则?A设非空集族F)(X P?，记K(F)A),(为代数X PA FA?；S(F)A),(代数为?X PA FA?(熟记)分别称K(F)、S(F)为由集族F生成的代数和?代数它是包含F的最小的代数和?代数定理3.1.4设F是集合X上的一个非空集族，记A,E,En1n1i?两两不交F E Ai?若F满足 (1)若?F,E F，则?F?E F； (2)若?E F，则?cE A那么K(F)=A证显然F?A?K(F)只要证明A是代数，要验证A满足定理3.1.2条件若?F,E A，有?m1iE?iE，?n1jF?jF，其中?jE,iE F，?jE?iE，?jF?iF，)(j i?于是，?n jm iiE F E11j)F(?由 (1)，?jF?iE F，且nj1,1Fj?miE i?中元素两两不交故?F?E A(A之定义)由 (2)，?ciEA，由已证结论及归纳法知，?m1cic EiEA例取R X?，集族Fc,)(c,(?b a b a若?F,E F，则?F?E F，E R Ec?可表示为F中至多两个不交的元素之并即F满足Th3.1.4中条件 (1) (2)，故K(F)=A=F中有限个两两不交的元素之并的全体3.1.2单调族定义3.1.2非空集族D)(X P?，若对于D中的任一单调集列nE有?nnE limD，则称D为X上的一个单调族显然，?代数是单调族；单调代数（既是代数又是单调族）是?代数设F为X上的非空集族，记M(F)B),(为单调族X PB FB?，称M(F)为由F生成的单调族它是包含F的最小单调族定理3.1.5若F是集合X上的一个代数，则M(F)=S(F)(显然M(F)S?(F)，证略)3.2.测度的概念及其基本性质3.2.1扩充实数系?R,?R R区间、运算规则略3.2.2测度定义3.2.1设A是集合X上的?代数，集合函数:?A?R满足 (1)0)(?； (2)(可列可加性)若nE为A中两两不交的集列，?1nEnA，则?1n1n)(E En n?； (3)?E A，有0)(?E?(正测度)；称?为A上的一个(正)测度，或X上的一个测度，A中元素称为)(?可测集，X(,A,)?称为测度空间若?)(X?，称?为有限测度；若存在?nE A，?1nEnX，)N n(,)(?nE?，称?为?有限测度；若0)(?E?，称E为(?)零测集；若?E,E FA，?F0)(E?A，称?为完备测度，X(,A,)?称为完备测度空间?例1设A)(X P?，固定X x?0，定义)P(X)E(,x,0x,1)(00?EEE?则?是测度，称为点测度(Dirac measure)它是有限的完备测度例2设A)(X P?，定义?E(,)(00EE EE?A)则?是测度，称为计数测度(counting measure)它是完备测度例3设A)(N P?，),0?np，定义?E(,p)(kE kE?A)则?是完备的?有限测度；当?1npn时，?是有限的完备测度特别，若)3,2,1,n(,1?np，则?就是计数测度3.2.3测度的基本性质定理3.2.1设X(,A,)?是测度空间 (1)(有限可加性)若nE E,1?两两不交，则?nknk1k1k)(E E?； (2)(单调性)(F)(E)?F E； (3)(减性)F E?且?(F)?，则(E)(F)E)(F?； (4)(次可列可加性)对于?nE A，则?1n1n)(E En n?； (5)(下半连续性)若nE，则)(E lim)E lim(n nn?n； (6)(上半连续性)若nE，且?)(E,n0n0?使N，则)(E lim)E lim(nnn?n； (7)对于?nE A，则)(lim limnnnnE E?； (8)对于?nE A，?0n n n0E,n?使N，则?)(lim limnnnnE E?； (9)(连续性)若?nE A，nE lim?n存在，?0n n n0E,n?使N，则?)(lim limnnnnE E?； (10)若?nE A，?0n n n0)E(,n?使N，则?0lim?nnE?选证 (1)取,E,321?nE E E，由测度定义可得 (4)令)4,3,2,n(,EF,1n1k n11?knE E F，则nF是两两不交的可测集列，n nEF?，?1nn1nE Fn，故?1n1n1n1n)(E)(F F En nnn? (8)记nn k k nF,EF则?，且?)(F0n?由 (6)得?)(sup lim)(lim)lim(F lim1n knknnnnnnnnE FF E?)(limnnE? (9)记nnnnnnE E E E?lim limlim由 (7)，)(lim)(nnE E?；由 (8)，)(lim)(nnE E?故)()(lim E E nn?存在?3.3.Caratheodory外测度方法3.3.1Caratheodory外测度及其C外测度法（希腊）定义3.3.1设A是集合X上的?代数，集合函数:?A?R满足 (1)?E A，有0)(?E?； (2)0)(?； (3)?F E,A，(F)(E)?F E； (4)(次可列可加性)?nE A，有?1n1n)(E En n?；称?为A上的一个外测度当然，测度是外测度定理3.3.1(C外测度法)设?为?代数)(X P上的一个外测度，令A?)()()(P(X)T)(cE TE TT X P E?有，则A?是X上的一个?代数，?在A?上的限制是完备测度（证略）3.3.2测度空间的扩张定义3.3.2X(,A1,)1?，X(,A2,)2?是两个测度空间，若A1?A2，121?A，称X(,A2,)2?是X(,A1,)1?的扩张定理3.3.2设A是集合X上的代数，?为A上的测度，定义?R X P)(为)P(X)E(,E A,E)(E inf)(1nnn1n?E En?那么 (1)?是)(X P上的外测度，称之为由?导出的外测度； (2)由C外测度法所得测度空间X(,A?,)?是X(,A,)?的扩张证 (1)?是非负函数；A是代数，?A，?1n?，故0)()(01?n?，0)(?再设F E),(,?X PF E，由?的定义知)()(FE?设)(XPE n?，往证?11n)(EnnnE?(a)若?)(,n00nE N?，则(a)成立下设?)(nE?(n)kE0,?A，),3,2,1(?k，使nn nkE E2)()(E,E1k(n)k1(n)k?于是，n?111k(n)k11,(n)k)()(E,E nnnnnnnN kE E E?且，而0?任意，(a)成立 (2)先证A?A?，即证若?E A，成立P(X)T),()()(?cE TE TT?(b)若?)(T?，则(b)成立下设?)(T?于是，?E0,n?A，使Tn?E1n?，?)()(E1n nT因?为代数A上的测度，故?nE?E,E EA，且N)(n),()()(?n nE E E E E?又T En n?1n1nE E)E(E，T En?1nc1ncE E)E(E，所以)()()()()()(111nnnnncE EEEEEEEE TE T?)()(1T Enn，(b)成立再证?A设?EA由于?EE?，由?定义，)()()()()(EEE?另一方面，若?E nA，使En?1nE，则?E Enn?1n1nE)E(EA，?nE E?A，故(E)(E)()E(E)(11n?nnnE E?，从而(E)(E)?，即?A推论A?S?(A)，且X(,S(A),)?是一个测度空间定理3.3.3设?是集合X上的代数A上的有限或?有限测度，则在?代数S(A)上存在唯一的测度?，使X(,S(A),)?是X(,A,)?的扩张证据Th3.3.2及推论，X(,S(A),)?是X(,A,)?的一个扩张，只需证扩张的唯一性设?是A上的有限测度设X(,S(A),)?是X(,A,)?的另一扩张令D SE?(A)()(EE?则D S?(A)任取D中的单调集列nE，则?nnE limS(A)由?)(X?知，?与均是S(A)上的有限测度，于是)(E lim)E lim(nnnn?)E lim()(E limnnnn?，说明?nnE limD，D是X上的一个单调族而A是代数且A?D，由Th3.1.5知S(A)=M(A)?D故S(A)=D，在S(A)上?若?是A上的?有限测度，证明稍复杂，从略定理3.3.4设?是集合X上的代数A上的有限或?有限测度，A?、?同Th3.3.1和Th3.3.2，那么，?EA?，?B A,S(A)，使B EA?，且0)()()(?A B E BA E?，即?是完备测度证据Th3.3.2推论，S(A)?A (1)若?是A上的有限测度，则?是A?上的有限测度，?(E,)(E?A?)据?定义，?E N,n(n)k A，满足nE Ekn1)()(E,E1k(n)k1)(k?取?11)(kEn knB，则?B S(A)，E B?，且)N n(,1)()()(E)() (1) (1)(1(n)k?nE EE B Eknkknkk?得?)()(BE?从而0)()()(?E BE B?另一方面，由已证结论，对?cE A?，因?)(cE?，?G S(A)，满足0)(,?c cE G E G?且而?c cG,G,E G EE G E Gc c?S(A)取cG A?即可 (2)若?是A上的?有限测度，则?是A?上的?有限测度，故?E nA?，?)(,E1n nnE X?，N)(n?于是，?EA?，有)N n(,)()(;)()(?nn nE EEEEE?由 (1)，?n nG,B S(A)，满足)()(0,E BEEBEE Bnnnnn?；nE E G?，)()(0 nE G EE G?取?1nnB B，nG A?1可验证A，B满足条件3.4R上的LebesgueStieltjes测度用F表示R中形如)b a(),(a,b,(?a的区间全体，称S(F)?B为Borel?代数，B中元素称为Borel集由于?1nn1b a,b),(a B，从而R中的开集、闭集、?G型集及?F型集都是Borel集定义3.4.1设),(?X为拓扑空间，B为X中全体开集所生成的?代数，称B中元素为X的Borel集设R Rx gy?:)(是单调非减右连续函数，定义测度:gm K(F),0?为)()()b,(a gb g a m g?，)()(),(a g g a m g?，?in1n1iI,)(Iii gigIm m?F，)j i(,?j iII?由于?1n(n,nR，可以验证gm是K(F)上的?有限测度据Th3.3.2与Th3.3.3，gm可以延拓为A?（记作gL）上完备的?有限测度（仍记为gm，?gm为相应的)(R P上的外测度），称为由)(x g导出的S L?测度，gL中的元素称为S L?可测集因B gL?，故R上的Borel集均为S L?可测集(R(,K(F),)m,L,()g g?R m g拓延)特别地，取xx g?)(，记m m g?，称为Lebesgue测度；记L Lg?，L中元素称为Lebesgue可测集1例)0()()1()(lim)a,1(lima,(lim)(?a ga gna ga gna mna m a mngn ng g；)0()()b,()()b,(a()b,(?a gb ga ma ma ma mg g gg?；)()0()()b,()bb,()b),(agb gb ma ma ma mg ggg?；)0()0()()b),()ab),()b),(?agb ga ma ma ma mgggg?对于Lebesgue测度m，0)(?a m；aba ma ma ma m?)b,()b),()b),()b,(定义3.4.2(Borel测度)设B是R上的Borel代数，?是B上的测度，它在任一有界集上取值有限，称?为R上的Borel测度，B中元素称为R上的Borel可测集定理3.4.1R上的Borel可测集必为S L?可测集，即对于R上的Borel测度?，必存在单调非减右连续函数R Rx gy?:)(，由)(x g导出的S L?测度gm与?在B上相等证函数)(xg的构造如下?0x),0,(0x,00x),x,0()(xx g?（证略）定理3.4.2设)m,L,(g gR为S L?测度空间，R E?，则gL E?的充要条件是下述条件之一成立 (1)E G,0?开集?，满足?)(E G mg； (2)E,0?F闭集?，满足?)(FE mg； (3)F G, 0、闭集开集?，满足?)(,F G m G E Fg； (4)?F?型集F与?G型集G，满足0)(,?F G m G E Fg证只证充要条件 (1)充分性设R E?满足 (1)，对于En?nG,1开集，使nEGmn g1)(?，)3,2,1(?n取gnL G?1nG，EG?，且0)(?EGmg，从而gL E)(GGE,)(?gL EG必要性设?n ggE0,.)(m L E?E且K(F)，使2)()(m,E1n g1n?E m E Egnn?每个?nE K(F)可表示为F中有限个元素的并集，从而?1nEn也可表示为可列个左开右闭的有界区间的并集，记为?1k kb,(ak，且?1nng1k k g1k k)(E m)b,(a m)g(a)g(bk k于是，Ek?1k kb,(a，2(E)m)b,(a mg1k kg?kg)(x右连续，故存在0?k?，使)3,2,1,k(,2)()(1?kk k kb gb g?即)b,(a m)b,(a mk kg k kgkk?1kk kg2)b,(am?取?1kkk)b,(akG?，则开集EG?，且?1kkgg)b,(am(G)mkk?) (2)b,(am1kkgE mgk，即?)()(