实变函数论教案第一章

实变函数论教案第一章 1引言函数论与测度(实变函数论)是一门什么样的课程，它研究的是什么样的问题，这是初学者首先想要知道的事情。 1902年，法国数学家Lebesgue发表了题为积分，长度与面积的博士论文，利用以集合论为基础的“测度”概念建立了所谓的“Lebesgue积分”，从而形成了一个新的数学分支实变函数论。 因此实变函数论的核心内容是Lebesgue积分。 Lebesgue积分是什么样的积分，它是怎么定义的，它与数学分析课程研究的Riemann积分有什么不同。 我们先回顾一下Riemann积分的定义。 定义设():,f x a b R?（实数集），011:i i nT a x x x x x b?（区间,a b的一个分割）。 f关于T的Riemann和1(,)()ni iiRf Tf x?。 其中1,i i ix x?，1,1,2,i i ix x x i n?.设1maxii nTx?若存在常数A，使对,a b的任意分割T，及任意的1,i i ix x?1,2,in?.有01lim()ni iTif x A?,则称()f x在,a b上Riemann可积，A称为()f x在,a b上的Riemann积分。 记为()()baA Rf x dx?或()baA f x dx?.总而言之，Lebesgue积分比较Riemann积分有许多优越之处。 那么，Lebesgue积分是怎样定义的，下面给出有界函数Lebesgue积分概念的描述设:,f a b R?是有界函数，即()A f x B?，,x a b?。 设D是区间,A B的一个分割，011:i inD Ay y y y y B?，f关于D的Lebesgue和11(,):()ni i iiL fD mx y f x y?，其中1,i iiy y?，1:()i imx y f x y?是点集1:()iix y f x y?的“长度”（在实变函数课程中称为测度）。 设11maxiiinD yy?，若存在常数A，使对,A B的任意分割D以及任意的1,iiiy y?，1,2,in?。 有2101lim:()ni iiDim x yf x y A?。 则称A为()fx在,a b上的Lebesgue积分，记为,()()a bAL fxdx?或,()a bAfxdx?。 这样，需要研究的问题就出现了。 （1）对于一般点集来说，什么是“长度”，也就是什么是测度，什么样的点集有测度。 （2）什么样的函数()fx，使得对任何实数,c d，点集:()x cfxd?都有测度。 （3）什么样的函数使得极限101lim:()ni iiDim x yfx y?存在且与分割D及i?的取法无关。 因此，实变函数课程的学习主线是集合测度可测函数Lebesgue积分。 3第一章集合在现代数学中，集合的概念已被普遍地运用.我们学过的数学课程在开始都要或多或少地介绍一些有关集合方面的知识.学习实变函数课程，掌握必要的集合论知识是必须的，因为集合论是实变函数论的基础.集合论的重要文献首先是德国数学家康托（Georg Cantor，1845-1918）在十九世纪末发表的，后来逐步发展成为数学的一个分支，集合论中的某些概念和结果已渗透到几乎所有的数学科目中，成为学习现代数学不可缺少的工具.1集合概念教学目的集合论是本课程的基础.本节将引入集合的概念,使学生掌握集合的基本概念。 本节重点证明两个集合的相等以后经常要遇到，应通过例子使学生掌握其基本方法.1集合与元素集合或集是数学中的一个原始概念，即它不能用别的，更简单的概念加以定义，对于什么是集合或者说集合的概念，就目前来说，学习本课程，只要求掌握以下朴素的说法在一定范围内具有某种特定性质的对象的全体称作集合，集合中的每一个对象称为该集合中的元素.我们常用大写英文字母A、B、C、D、代表集合，而用小写英文字母a、b、c、d、表示集合中的元素，如果x是集合A中的元素，则说x属于A，记作x A?；若x不是集合A中的元素，就说x不属于A，记作x A?（有的文献也把x A?记成x A?）.需要指出的是，包括实变函数在内的一般数学课程所讨论的集合是确定性的，就是说给定一个集合A后，对于一个对象x，“x属于A”或“x不属于A”这两者必居且仅居其一.或者说，当我们使用集合的概念时，哪些对象是这个集合中的元素必须是明确的.例如，“比1大得多的数的全体”虽然也是一个在一定范围内具有特定性质“比1大得多的数”的对象的全体，就不是我们在实变函数这门课程所讨论的集合，因为这个集合不具有确定性，这是一个模糊集合，是模糊数学课程讨论的内容.集合的表示方法一般有两种，一种是将集合中的元素按任意顺序逐一列在花括号内，并用逗号分开，称为列举法.例如，,A a b c?，0,1,2,N n?，2,3C?.另一种是利用集合中的元素满足某种条件或具有某种性质，将条件或性质用文字或符号在花括号内冒号后面表示出来，称为描述法.例如，2:560A x x x?，:N x?x是自然数，:B x x?是实数，()fxc?.不含任何元素的集合称为空集，用记号?表示，例如，2:20,x x x?是实数和4:x|0x?都是空集.若集合中的元素只有有限个，称其为有限集，约定把空集也归属为有限集，不是有限集的集合称为无限集.在没有作特定说明的情况下，常见的集合用以下符号表示N自然数集，0,1,2,N?；Z整数集，,2,1,0,1,2,Z?；Q有理数集合，:Q x x?是有理数；R实数集，:R x x?是实数；C复数集，:,1C x x a bi a b Ri?.以后还用N?表示正的自然数，即正整数集，R?表示正的实数集，等等.2集合的包含关系设A、B是两个集合，若A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A B?或B A?，读作A包含于B或B包含A.按照这种说法，A不是B的子集，就是有A中的元素不属于B，A不是B的子集，记作A B?，或B A?.即A B?，当且仅当存在x A?而x B?.如果A B?，而且又有B A?，这时A，B由相同的元素组成，就是同一集合，称A等于B，记作A B?.如果A B?，而B中确有元素b不属于A，则称A是B的真子集.例1设A a?，,B a b?，:|0C x x?，0D?，(,()E a b a b?，,)()F a b a b?，,():()C a b fx fx?是,a b上的连续函数，,():()R ab fx fx?是,ab上的Riemann可积函数，则A B?，C D?，E F?，F E?，,C abRab?.定理1对于任意集合A、B、C，恒有 （1）A A?； （2）,A B B A?，则A B?； （3）若A B?，B C?，则A C?.注证明两个集合相等，总是利用 （2）.2集合的运算教学目的本节将引入集合的运算,使学生掌握集合运算的基本概念。 5本节重点任意多个集合的交集与并集的概念，集合列的极限集的概念。 1.集合的基本运算从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算作出一些新的集合，最常用的运算有并、交、差三种，在这里称为集合的基本运算.设A、B是两个集合，由集合A同集合B的一切元素所组成的集合称为A与B的并集或和集，简称为并，记作A B，即A B:x x A?或x B?.所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，称为A与B的交集，简称为交，记作A B，即:A Bx x A?且x B?.由属于集合A而不属于集合B的那些元素所组成的集合称为A与B的差集，记作A B?或A B，即:A Bx x A?且x B?.当B A?时，称差集A B?为B关于A的余集，记作AC B.关于基本集的余集（设A是基本集）A B?常简记为CB或cB.并简称它是B的余集.并与交的运算可以推广到任意多个集合的情形，设:A I?是任意集族，其中?是指标，I是指标集.则由一切:()A I?的所有元素所组成的集合称为这集族的并集，记为IA?，即IA?:x?存在某个I?，使x A?.而由一切同时属于每个()A I?的元素所组成的集合，称为这集族的交集，记为IA?，即IA?:x?对一切I?，有x A?.当指标集I是正整数集N?时，IA?或IA?可记为1nnA?或1nnA?.定理3德摩根（De Morgan，1806-1871，英国数学家）对偶公式 （1）()I IC A CA?；6 （2）I IC A CA?.证明只证 （1）， （2）留给读者证明.设()Ix C A?，则Ix A?对一切I?，x A?对一切I?，x CA?Ix CA?()I IC A CA?.又设x?ICA?，则对一切I?，x CA?对一切I?，xA?x?IA?()Ix CA?ICA?()ICA?综上()ICA?=ICA?.集合的并、交、差运算具有许多性质，下面列出这些性质中常用的几条，它们是集合运算的基本定律.设S是基本集，其余是S的子集. （1）交换律A B B A?；A B B A?. （2）结合律()()A B CA B C?；()()A B CA B C?. （3）分配律()()I IA B A B?；()()I IA B A B?. （4）等幂律A A A?；A A A?. （5）互补律A CAS?；A CA?. （6）对合律()C CA A?. （7）吸收律()A A B A?；()A A B A?.此外，还有 （8）CS?；C S?. （9）A B A CB?. （10）若A B?，则CB CA?. （11）()()A B A A B?.7 （12）若A B?，I?，则I IA B?；I IA B?.以上关于集合运算的恒等式，都能由定义加以证明.2.集合列的极限运算就像数列未必有极限，集合序列当然也可能没有极限，类似数列的上下极限概念，我们可以定义集合的上下限集.定义设nA是一列集合，由属于该集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限，记为limnnA?或limsupnnA?；而除有限个集外，属于该集列中每个集的那种元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限，记为limnnA?或liminfnnA?.由定义，nA的上限集和下限集还是一个集合.并且lim:nnA x?存在无穷多个nA，使nx A?.lim:nnA x?存在N N?，当n N?时，nx A?.显然有如下包含关系11lim limn n n nnnn nA A A A?.例7设有集列nA，其中2110,221mAm?，0,1,2,m?.210,12mAm?，0,1,2,m?.求limnnA?和limnnA?.解考察0,1，当0,1x?，则nx A?，1,2,n?.考察(1,2)，当(1,2)x?，存在1()N x，使得1()n N x?时，有112xn?，也存在2()N x，使得2()n N x?时，有1221xn?.取12()max(),()N xN xN x?，则当()n N x?时，有1112221xn n?，即当()n Nx?时，2nx A?，但21limn nnx A xA?，limnnx A?，而对于0,2)以外的点x，x不属于任何nA，所以lim0,2)nnA?，lim0,1nnA?.8例8设10,1nAn?，1,2,n?，求limnnA?及limnnA?.解当0x?时，x不属于任何nA.当1x?时，存在()NxN?，使当()n Nx?时，11xn?，即当()n Nx?时，nx A?.当0,1x?时，nx A?，1,2,n?.所以limnnA?0,1?，limnnA?0,1?.例9设有集列nA，其中21(,):02,02nA x y x n yn?，1,2,n?；211(,):0,02121nA x y x y nn?，1,2,n?.则limnnA?(0,0)?，limnnA?(,0):0(0,):0x x yy?.证明对于(,)x y，作以下分析讨论 （1）若0x?或0y?，则(,)x y不属于任何一个,1,2,nA n?； （2）若0x?，则存在()NxN?，当()n Nx?时，121xn?21(,)nx yA?，即nA中有无限多个集不含(,)xy.若0y?，则存在()N yN?，当()n N y?时，12yn?2(,)nx yA?，即nA中有无限多个集不含(,)xy，所以lim(0,0)nnA?. （3）若0x?且0y?，由 （2）的讨论，当max(),()n KNxNy?时，(,)xy不属于nA，即nA中含(,)xy的集合不会是无穷多个，因此(,)limnnx yA?. （4）若0x?且0y?，则有0n，使0021y n?，这样当0n n?时，921(,)(0,)nx yyA?.若0y?且0x?，则有1n，使102xn?，这样当1n n?时，2(,)(,0)nx y xA?.综上，limnnA?(,0):0(0,):0x xyy?；lim(0,0)nnA?.集列nA的上限集与下限集都可以用集列nA的并和交来表示，它们的表达式是limnnA?1mn m nA?，1limn mnn mnA A?.定义设nA是一集列，如果lim limn nnnA A?，则称集列nA收敛，将limnnA?或limnnA?称为集列nA的极限，记为limnnA?.定义如果集列nA满足11(),1,2,n n n nA A A A n?，则称nA是单调增加（减少）集列.单调增加与单调减少集列统称为单调集列.单调集列是收敛的.定理如果nA是单调增加集列，则1limn nnnA A?；如果nA是单调减少集列，则1limn nnnA A?.证明由（1.2.3），有11lim limn n n nnnn nA A A A?.若nA单调增加，如果1nnx A?，则有0n N?，使001n nxA A?，所以limnnx A?，因此，1nnA?limnnA?limnnA?.这样，limnnA?1nnA?且limnnA?1nnA?，于是limnnA?1nnA?.若nA单调减少，如果limnnx A?，则有N N?，当n N?时，nxA?，即1,Nx A?102,NA?，而nA单调减少1121N NNx A A A AA?，这样1nnx A?，因此1limn nnnA A?，于是1limn nnnAA?.又因为nA单调减少，所以m nmnAA?11limn mnnn mn nAAA?，从而，有1limn nnnAA?且limnnA?1nnA?，于是limnnA?1nnA?.3对等与基数教学目的继续介绍集合论的基础内容,如映射、基数.本节重点:理解对等与基数的概念.在现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然地会涉及到这一组对象的个数.讨论集合问题时也是这样，当我们不考虑集合中元素的性质而抽象地研究集合时，集合中所含元素的多少或者说元素的个数则是一个最基本的概念.比如一个由50名学生组成的集合与一个教室里由50个座位组成的集合，这是两个不同的集合.当我们不考虑他们的元素的具体属性时，则有一点却是共同的，即他们的元素个数相同，都是由50个元素组成的集合.而一个由50名学生组成的集合与另一个由30名学生组成的集合，虽然他们都是由学生组成的集合，但他们的元素个数却不相同.可见抽象地研究集合时，集合中所含元素的多少是一个集合的非常值得重视的属性.怎样表示集合所含元素的多少以及怎样比较两个集合所含元素的多少，这是本节要讨论的问题.为此先明确有限集和无限集的概念，我们把空集与只含有有限多个元素的集合称为有限集，而把不是有限集的集合称为无限集或无穷集.集合所含元素多少的问题，对有限集来说，只要把它的元素一个一个数出来就行了，而对于无限集来说，问题就很复杂了，在这里，“个数”一词尽管实际上没有直观的意义，然而，由于不同的无限集之间有着明显的差别，它们所含元素的多少是可以比较的，比如自然数全体和实数全体，它们都是无穷集，但它们在元素“个数”的“数量级”上是不同的，在直觉上我们也能感觉到.那么对于自然数全体和有理数全体，如果凭直觉认为有理数比自然数多，那就错了，事实上，自然数全体与有理数全体之间元素“个数”的“数量级”是相同.因此，在无限集元素“个数”的问题上，直觉是不可靠的，有必要对无限集元素“个数”问题进行研究，使得我们得以分清有哪些集有相同的“个数”，哪些则不同.现在我们回过头来看看有限集元素的个数是怎样确定的，对确定一个教室中的学生全体这个有限集（记为A）的人数来说，方法就是一个一个地“数”，从1开始数到n，我们就说这个教室有n个人.这个问题的解决实质上是把这个教室中的学生全体的集合A与正整数11集N?的子集1,2,n一对一地对应起来，为叙述方便，我们称1,2,n为正整数列的某一截段.并记1,2,nM n?，对于有限集之间元素个数的比较也是这样，当我们比较一个教室的学生和座位是否相等，若不相等哪个多时，我们也可以把学生和座位对应起来，如果是一对一地对应，则学生数和座位数相同，如果学生都坐下来还有剩余的座位，则座位比学生多，如果每个座位都坐下一名学生，还有没坐下的学生，则学生比座位多.从这里我们看到，用一对一的对应方法能解决有限集元素个数和两个集合元素个数比较的问题，这启发我们解决无限集元素“个数”的比较问题也可以用这种一对一的对应方法.1映射和一一对应定义1设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则?，使得对于A中任何一个元素x，按照法则?，在B中有唯一确定的元素y与x对应，记为:xy?，那么称这个法则?是从A到B（中）的映射，记为:A B?.当映射?使y和x对应时，y称为x在映射?下的像，记作()y x?.对于任何固定的y B?，称适合关系()y x?的xA?的全体为元素y在?之下的原像，记为1()y?，集合A称为映射?的定义域，记为()D?.设C是A的子集，C中所有元素的像的全体，记为()C?，称它是集C在?之下的像.称()A?为映射?的值域，记为()R?.定义2设?是A到B的一个映射. （1）若对任意的12,x xA?，当12x x?时，有12()()x x?，则称?是A到B的单射. （2）若()A B?，则称?是A到B的满射，或称?是A到B上的映射. （3）若?既是A到B的单射，又是A到B的满射，则称?是A到B的双射，或称?是A到B的一一对应（或一一映射），记作:A B?.定义3设?为A到B的一一映射，作B到A的映射?如下对每一个y B?，由?是一一映射，则y在?之下有唯一的原像x，令:yx?，则?是映射，称?是?的逆映射，记?为1?.并且1:B A?也是一一映射.122集合的对等和基数（势）定义4设A、B是两个集合，如果存在一个A到B的一一对应?，那么称集合A与集合B对等（或相似），记为A B.规定空集?和自身对等.例2正奇数集1,3,5,21,O n?和正偶数集(2,4,6,2,)E n?对等.证明作映射:O E?，使对任意的x O?，令()1x x?，则?是O?到E?的一一对应，所以O E?.例3正整数集(1,2,)N n?和正偶数集(2,4,6,2,)E n?对等.证明作映射:N E?，使对任意的n N?，令()2n n?，则?是N?到E?的一一对应，所以N E?.例4区间(0,1)和实数全体R对等.证明作映射:(0,1)R?，使对任意的(0,1)x?，令()tan()2x x?.则?是(0,1)到R的一一对应，所以(0,1)R.例5区间(0,1)和区间(0,)?对等.证明作映射:(0,1)(0,)?.使对任意的(0,1)x?，令()tan2x x?.则?是(0,1)到(0,)?的一一对应，所以(0,1)和(0,)?对等.例6区间0,1)和区间(0,1对等.证明作映射:0,1)(0,1?，令1()xx?001xx?，则?是0,1)到(0,1的一一对应，所以0,1)(0,1.例 3、例4和例5说明，一个无限集可以和它的一个真子集对等，这一性质正是无限集的特征，对有限集来说，这一性质是不能成立的，这样我们可以看到无限集与有限集之间的深刻差异.对等关系有以下性质定理1对任意集合A、B、C，恒有 （1）自反性AA； （2）对称性若A B，则B A；13 （3）传递性若A B，BC，则A C.该定理可由定义直接得到.由此可知，对等是等价关系.定理2设nA和nB为两个集列.nA中任何两个集不相交，nB中的集也是两两不相交的，即i jAA?，i jB A?（i j?），如果(1,2,)n nA B n?，则11n nn nA B?.证明对任意的n N?，由n nA B，存在nA到nB的一一对应:n nnA B?.作1nnA?到1nnB?的一个映射?如下对任意的1nnx A?，必有唯一的i N?，使ix A?，令1()()()iii nnx x x BB?,则?是1nnA?到1nnB?的映射，容易验证?是1nnA?到1nnB?的一一对应，因此1nnA?1nnB?.定义5设A、B是两个集合. （1）如果A和B对等，那么称A和B具有相同的基数（或势），记集合A的基数为A，A和B具有相同基数时，记为A B?； （2）如果A对等于B的某个子集1B，那么称A的基数小于或等于B的基数，或称B的基数大于或等于A的基数，记为A B?，或A B?；如果A B?，并且A B?，那么称A的基数小于B的基数，或B的基数大于A的基数.记为A B?，或B A?.集合的基数的概念可以看作有限集合中所含元素个数的推广.3伯恩斯坦定理（F.Bernstein，1878-1956，德国数学家）是否所有的无限集都有相同的基数呢？在本节引言中已提到凭直觉自然数全体N和实数全体R，它们的基数应该是不同的.关于这个结论在后面会给出证明的.既然两个无限集可能有不同的基数，如何进行比较呢？下面的定理给出了一个十分有效的方法.定理3（伯恩斯坦定理）设A、B是两个集合，如果A与B的某个子集对等，B又与A的某个子集对等，则A B?.如果从基数的观点来看伯恩斯坦定理，它可改述如下伯恩斯坦（F.Bernstein）定理设A、B是两个集合，如果A B?，B A?，那么，A B?.结论若C B A?，且A C，则A BC.14证明A CA?与B的子集C对等，而B与A的子集B对等（自反性）A B?（Bernstein定理）B A?（对称性）.又由A CBC?（传递性），从而A BC.4可数集合教学目的让学生理解可数集的概念及性质,记住常见的可数集.本节重点:判断一个集合是否是可数集的方法.本节难点:证明一个集是可数集,有时需要一定的技巧,因而具有一定的难度,通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握其方法和技巧.提到无限集，有两种基数是最常见的，也是最重要的，一是正整数集的基数，记为a，另一个是实数集的基数，记为c.本节讨论和正整数集对等的那一类集合.定义1凡和全体正整数所成之集N?对等的集合都称为可数集合或可列集合.可数集是最简单的无穷集，意思是说它是基数最小的无限集，这由下面的定理可以得到说明.定理1任何无限集合都至少包含一个可数子集.证明设M是一个无限集，因M?，可以从M中取一元素，记它为1e，由M是无限集，则1M e?，于是又可以从1M e?中取一元素，记它为2e，显然2e M?且12e e?，设已从M中取出n个这样的互异元素12,ne e e，由于M是无限集，故12,nM e ee?，于是又可以从12,nM eee?中取一元素，记它为1ne?，显然1ne M?且与12,ne ee都不相同，这样，由归纳法，我们就找到M的一个无限子集12,ne ee，它是一个可数集.定理2可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.证明设A是可数集，*A是A的一个无限子集，那么*AAA?，所以*AA?.又由于*A是无限集，由定理1.4.1知有可数子集*B A?，这样*ABA?，所以*AA?.由Bernstein定理*AA?.即*A也是可数集.以后为叙述方便，有限集和可数集一起称为至多可数集.由可数集的定义，一个集合A是可数集当且仅当A的元素能排列成无穷序列12,na a a（i j?时i ja a?）的形式.定理3设A为可数集，B为至多可数集，则AB为可数集.15证明 （1）先设AB?，因A是可数集，设12,nA a a a?，若B是有限集，设12,kB b b b?，此时1212,k nAB b b b a a a?1212,k k k knb bbbbb?其中(1,2,)k nnb an?.这是一个可数集.若B是无限集，设12,nB bbb?，此时，112233,nnAB ab ab abab?123456212,k kc c c c?.其中212,1,2,k kk kc a cb k?，这是一个可数集. （2）一般情形，即AB?，此时，令*BBA?，则*ABAB?，并且*AB?，因为*BB?，B是至多可数集，因而*B是至多可数集.由 （1）知，*AB是可数集，于是AB是可数集.推论有限个至多可数集(1,2,)iA in?的并集1niiA?是至多可数集，但如果至少有一个 (1)iA in?是可数集，则1niiA?必是可数集.定理4设(1,2,)iA i?都是至多可数集，则1iiA?是可数集.证明 （1）先设i jAA?()i j?，设11112131415,A a a a a a?，22122232425,A a a a a a?，33132333435,A a a a a a?，44142434445,A a a a a a?，55152535455,A a a a a a?，.16称p qh?为元素(,1,2,)pqa pq?的高度，按高度从小到大编号，在同一高度中按q的值由小到大编号，这样就可以把并集1iiA?中所有的元素排成一列（即上图箭头所指顺序）11211231221311,22,31;,;,;,;nnn na a a a a a a a a a?因此，1iiA?是可数集. （2）一般情形令1*111, (2)ii i jjA AAAA i?，则由例1知，1iiA?*1iiA?且*i jAA?()ij?.现在各*iA都是至多可数集，若这些*iA中只有有限个不为空集，则由定理1.4.3之推论1知*1iiA?是可数集（因为*11AA?是可数集）.如果有无限多个*iA不为空集，这时，也就是有可数多个*iA是至多可数集，由情形 （1）1iiA?*1iiA?是可数集.定理5有理数全体是一可数集.证明我们用Q?、Q?分别表示正有理数集和负有理数集.设123,mnAm m mm?(1,2,)m?，则mA是可数集，而Q?1mmA?，由定理1.4.4知Q?是可数集.而Q?Q?()()r rQ Q?一一对应，因而，Q?是可数集.因此0QQQ?是可数集.（定理1.4.3推论1）定理6若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定，各记号跑遍一个可数集，即12,nx x xA a?，k kxI?，kI是可数集，1,2,k n?. (1) (2)(,kkkx x x?(),1,2,)jkx kn?则A是可数集.证明用数学归纳法，当1n?时，即A中元素只由一个记号决定，设 (1) (2)()111,jx x xA aaa?，这是一个可数集.17设n m?时定理成立，则当1nm?时，设121,m mx xxxA a?，又设A中满足()11jm mxx?的元素全体为jA，则12(),1(1,2,)mjj xxxmA a x j?.因为jA中每个元素的第1m?个记号已经明确固定下来，所以jA中每个元素只由m个互相独立的记号一对一地加以决定，而由归纳法假设，jA是可数集(1,2,)j?，而1jjA A?.由定理1.4.4知A是可数集.例1平面上坐标为有理数的点的全体所成的集为一可数集.证明设该集合为A，平面上坐标为有理数的点形式为12(,)?，其中1?和2?互相独立，各自跑遍有理数集Q.于是A中每个元素由2个互相独立的记号一对一地加以决定，且各记号跑遍一个可数集.因此，由定理1.4.6知，A是可数集.例2设12(,):,1k iA nnnn N i k?，则A是可数集.证明A中每个元素12(,)kn nn由k个互相独立的记号一对一地加以决定，各记号跑遍一个可数集N?，由定理1.4.6知，A是可数集.例3有理系数多项式1011n nnna xa xa xa?的全体是一可数集.证明对于每个nN?，把n次有理系数多项式全体记为nA，则nA中每一个元素1011n nnna xaxaxa?由1n?个互相独立的记号一对一地加以决定，每一个记号跑遍一个可数集Q，由定理1.4.6，nA是可数集.而有理系数多项式的全体所成之集是1nnA?，由定理1.4.4知，1nnA?是可数集.同理可证整系数多项式的全体是一可数集，进而代数数（整系数多项式的根）的全体是一可数集.例4凡无限集必与它的一个真子集对等.证明设A是无限集，则由定理1.4.1，A存在一个可数子集nn Na?，令1BA a?，且18则B是A的真子集.作映射:AB?.1()kaaa?,;(1,2,).nn Nnkn Na A aaaaa k?则?是A与B之间的一一对应，因而A与它的一个真子集B对等.5不可数集合教学目的让学生理解不可数集的概念,熟悉常见的不可数集.本节难点:无最大基数集合存在定理，通过与理发师悖论对比更容易理解一些.在上一节提到在无限集中有两种基数是最常见且最重要的，那就是正整数集N?的基数a和实数集R的基数c，一般地称a为可数基数，c为连续基数.对于可数基数，我们已经作了比较详尽的讨论.本节讨论连续基数c.在无限集中，有没有不是可数集的无限集，如果没有，那么所有的无限集都是可数集，这种讨论就没有必要了.事实上，不但有不是可数集的无限集，而且对于无限集来说，不存在最大的基数.我们把不是可数集合的无限集合称为不可数集合.把与实数集R对等的那一类集合称为具有连续基数的集合.定理1全体实数所成之集合R是一个不可数集合.证明由1.3例4知(0,1)与R对等，因而，只须证明(0,1)是不可数集就行了.对于每一个(0,1)a?，都可以唯一地表示为10进位无穷小数123450.aaaaaa?110nnna?.（1.5.1）的形式.其中各na是0,1,9中的一个数字，且不以0为循环节，称(0,1)中实数的这种表示为正规表示.反之，每一个如（1.5.1）表示的无穷小数都是(0,1)中某一实数的正规表示.（如0.57的正规表示为0.56999）.以下用反证法证明.如果(0,1)中的实数全体是可数集，即(0,1) (1) (2) (3),aaa?.将每个()na表示成正规的无穷小数 (1) (1) (1) (1)1230.aaaa?，19 (2) (2) (2) (2)1230.aaaa?， (3) (3) (3) (3)1230.aaaa?，.现在设法在(0,1)中找出一个与 (1) (2) (3),aaa中所有的实数都不同的实数.考察对角线上的数字()(1,2,)nna n?.作一个无穷小数如下1230.aaaa?，其中1,2,na?()()1;1.nnnnaa?若若这个无穷小数是(0,1)中某一实数的正规表示，它与 (1) (2) (3),aaa中的每一个()(1,2,)na n?的正规表示都不相同，即(),1,2,na an?.从而(0,1 (1) (2),aaa?，与假设矛盾.因此(0,1)是不可数集，因而R是不可数集.推论1c a?定理2任意区间(,),),(,(,),),(,),(,ababababaaaa?均具有连续基数()cab?证明作映射:(,)(0,1)ab?，对任意的(,)xab?，令()x axba?，则?是(,)ab到(0,1)的一一对应.所以(,)ab(0,1)R.对于其它的区间可用如下的方法证明以(,)a?为例.因为(,)(,)aba R?，而(,)abR.由1.3例7知(,)a R?.定理3设12,nAAA是一列互不相交的集合，它们的基数都是c，则1nnA?的基数也是c.证明设1,)nI nn?，则()n mII mn?，而(1,2,)nI ?，所以(1,2,)n nIAn?.从而110,)nnnnA I?，而0,)c?，因此1nnA?的基数是c.定理4实数列全体E?的基数是c.20证明记B为E?中适合01(1,2,)nx n?的点12,nx xx的全体.设xB?，12,nx xxx?，其中nx是实数.作映射:?12111()tan(),tan(),tan(),222nx xxx?，则?是B到E?的一一对应.我们只须证明B的基数是c.事实上，将(0,1)中每个x与B中的点,xxx?对应，就知道(0,1)对等于B的一个子集.即(0,1)B c?.反之，对B中的任何12,nx xxx?，按10进位无限小数正规表示nx(1,2,)n?，有1111210.nx xxx?，2212220.nx xxx?，120.nnn nnx xxx?，.由nx xB?，作小数