圆锥曲线解题技巧教案经典版

圆锥曲线解题技巧教案经典版 圆锥曲线概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义 （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。 若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_（答双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。 圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 x2如已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,则y+|的最小值是_（答2）42.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）x2y2y2x2 （1）椭圆焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2a ba b221（a?b?0）。 方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。 x2y2如 （1）已知方程?1表示椭圆，则k的取值范围为_（答3?k2?k11；(?3,?)?(?,2)）2222 （2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是_，x?y的最小值是_（答5,2）x2y2y2x2 （2）双曲线焦点在x轴上2?2=1，焦点在y轴上2?21a ba b22（a?0,b?0）。 方程Ax?By?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。 如设中心在坐标原点O，焦点F 1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_（答x2?y2?6）22 （3）抛物线开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y?2px(p?0)，开口22向上时x?2py(p?0)，开口向下时x?2py(p?0)。 如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 543.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） （1）椭圆由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x2y2?1表示焦点在y轴上的椭圆，如已知方程则m的取值范围是_（答m?12?m3(?,?1)?(1,)）2 （2）双曲线由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒 （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b。 4.圆锥曲线的几何性质222222x2y2 （1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）范围?a?x?a,?b?y?b；a b焦点两个焦点(?c,0)；对称性两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），a2四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线两条准线x?；离心率e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 a25x2y210如 （1）若椭圆，则m的值是_（答3或）；?1的离心率e?35m5 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答22）x2y2 （2）双曲线（以为例）范围x?a或x?a,y?R；?1（a?0,b?0）a2b2焦点两个焦点(?c,0)；对称性两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，2a称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；准线两条准线x?；离心率e?，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，ab开口越大；两条渐近线y?x。 a13如 （1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于_（答2或13）；3 （2）双曲线ax?by?1的离心率为5，则a:b=22（答4或1）；4x2y2 （3）设双曲线2?2?1（a0,b0）中，离心率e2,2,则两条渐近线夹角a b（锐角或直角）的取值范围是_（答?；,）32x2y2 （4）已知F 1、F2为双曲线?1的左焦点,顶点为A 1、A2,P是双曲线上任意xxxx一点,则分别以线段PF 1、A1A2为直径的两圆一定（）A相交B相切C相离D以上情况均有可能 （3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）范围x?0,y?R；焦点一个焦点2p(,0)，其中p的几何意义是焦点到准线的距离；对称性一条对称轴y?0，没有2p c对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线一条准线x?；离心率e?，抛物2a线?e?1。 如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为_（答(0,21；)）16ax2y 25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系 （1）点P(x0,y0)在椭圆a b2222x0y0x0y0外?2?2?1； （2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?21； （3）点P(x0,y0)在椭圆a ba b22x0y0内?2?2?1a b6直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相交?0?直线与椭圆相交；?0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有?0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故?0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；?0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有?0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故?0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 22如 （1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_（答(-15,-1)）；3x2y2 （2）直线ykx1=0与椭圆?1恒有公共点，则m的取值范围是_5m（答1，5）（5，+）；x2y2 （3）过双曲线?1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则12这样的直线有_条（答3）； （2）相切?0?直线与椭圆相切；?0?直线与双曲线相切；?0?直线与抛物线相切； （3）相离?0?直线与椭圆相离；?0?直线与双曲线相离；?0?直线与抛物线相离。 特别提醒 （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果x2y2直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线2?21a b外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 （1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有_（答2x2y22）； （2）过点(0,2)与双曲线?1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为916?445?_（答?,?；?）33?y2 （3）过双曲线x?1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则2满足条件的直线l有_条（答3）；22 （4）对于抛物线C y?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内2部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线ly0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_（答相离）； （5）过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则211；?_（答1）p qx2y2?1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右 （6）设双曲线169支和右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于)（答等于）；813）；1322 （8）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。 当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答?3,3；a?1）； （7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答? 7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 x2y2如 （1）已知椭圆?1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的2516距离为_（答35）；32 （2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_； （3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_（答；7,(2,?4)）x2y2 （4）点P在椭圆?1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点25925P的横坐标为_（答）；122 （5）抛物线y?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为_（答2）；x2y2 （6）椭圆?1内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使4326；MP?2MF之值最小，则点M的坐标为_（答(,?1)） 38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题S?b2tanS?b2tan?2?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，S max的最大值为bc；对于双曲线2的椭圆的两焦点为F 1、F2，过F1作3?2。 如 （1）短轴长为5，离心率e?直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为_（答6）； （2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F 1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答x2?y2?4）；x2y2?1的焦点为F 1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF （3）椭圆2PF10)上异于原点的两点，OA?OB?0，点C坐标为? （2）若AM?BM（?R）且OM?AB?0试求点M的轨迹方程。 ?x12x22),B(x2,)，由OA?OB?0得 （1）证明设A(x1,2p2p?x12?x22?x12x12x222)x1x2?0,?x1x2?4p，又?AC?(?x1,2p?),AB?(x2?x1,2p2p2p2p?x22?x12x12?x1?(2p?)?(x2?x1)?0，?AC/AB，即A,B,C三点共线。 2p2p? （2）由 （1）知直线AB过定点C，又由OM?AB?0及AM?BM（?R）知OM?AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。 即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x?0，y?0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题例 1、 (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_ (2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。 分析 （1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解 （1）（2，2） （2）（AQHPFB1,1）4点评这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 x2y2例 2、F是椭圆?1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 43 （1）PA?PF的最小值为 （2）PA?2PF的最