导数在研究函数中的应用.doc

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1.了解可导函数的单调性与其导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.教学重点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学难点： 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学过程：一、创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.二、新课讲授1.问题如右图(1),它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,右图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如右图,导数表示函数在点处的切线的斜率.在处,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.结论: 函数的单调性与导数的关系在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).3.求解函数单调区间的步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间.三、典例分析例1 已知导函数的下列信息:当时,;当或时,;当或时,.试画出函数图像的大致形状.解: 当时,可知在此区间内单调递增;当或时,可知在此区间内单调递减;当或时,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数图像的大致形状如上图所示.例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1) (2)(3) (4)解: (1)因为,所以因此在上单调递增,如下图左所示.(2)因为,所以当即时,函数单调递增;当即时,函数单调递减;函数的图象如上图右所示.(3)因为,所以因此,函数在单调递减,如下图左所示.(4)因为,所以 .当即 时,函数 ;当即 时,函数 ;函数的图象如下图右所示.注: (3)、(4)生练.例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像.分析: 以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解: 思考: 例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.例4 求证:函数在区间内是减函数.证明: 因为当即时,所以函数在区间内是减函数.说明: 证明可导函数在内的单调性步骤:(1)求导函数;(2)判断在内的符号;(3)做出结论:为增函数,为减函数.例5 已知函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.解: 因为在区间上是增函数 所以对恒成立即对恒成立 解之得所以实数的取值范围为.说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.类型题1: 设函数,其中,求的取值范围,使函数在上是单调函数.解: ,其中 当时,要使函数在上是单调函数则必然要求,由此可知.类型题2: 函数在上单调递增,求实数的取值范围.例6 已知函数,试讨论出此函数的单调区间.解: 令,解得或的单调增区间是和令解得或的单调减区间是和例7 当时,证明不等式成立.证明: 作函数,当时,知单调递减,当时,知在时,;作,当时,知单调递减,当时,知在时,.综上类型题1: 对于任意的实数,证明: .类型题2: 当时,证明不等式.四、课堂练习1.求下列函数的单调区间(1) (2)(3), (4)2.课本练习五、回顾总结1.函数的单调性与导数的关系2.求解函数单调区间3.证明可导函数在内的单调性六、布置作业3.3.2 函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3.掌握求可导函数的极值的步骤.教学重点：极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一、创设情景观察下左图,我们发现,时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像,如下右图,可以看出,在附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,;这就说明,在附近,函数值先增(,)后减(,),这样,当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是有.对于一般的函数,是否也有这样的性质呢？附: 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.二、新课讲授1.问题从跳水运动中高度随时间变化的函数的图像及高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数.相应地,.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数.相应地,.2.函数的单调性与导数的关系导数表示函数在点处的切线的斜率.在处,切线是“左下右上”式的,这时,函数在附近单调递增;在处,切线是“左上右下”式的,这时,函数在附近单调递减.结论: 函数的单调性与导数的关系在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.说明: 在某区间内为常数,当且仅当在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与轴平行).3.函数的极值与导数一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极大值,记作,是极大值点.一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有点,都有,就说是函数的一个极小值,记作,是极小值点.注: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而.(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.4.判别是极大、极小值的方法若满足,且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值;如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值.5.求可导函数的极值的步骤(1)确定函数的定义区间,求导数(2)求方程的根(导函数等于的点未必是极值点)(3)用函数的导数为的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点.三、典例分析例1 求的极值.解: 因为,所以下面分两种情况讨论:(1)当即或时 (2)当即时当变化时,的变化情况如下表:+极大值极小值因此,当时,有极大值并且极大值为;当时,有极小值并且极小值为.函数的图像如图所示.例2 求的极值.解: 令解得当变化时,的变化情况如下表:+无极值极小值0无极值当时,有极小值且例3 求的极值.解: 略例4 求函数的极值.解: 记的定义域为,且可知时,;而和时,不存在由三点将定义域分成四个区间,列表：-不存在+-不存在+极小值极大值极小值例5 已知函数在处有极小值,试确定的值,并求出的单调取间.解: 略类型题：1.已知函数在处有极值,求的值.2.函数有极小值,求应满足的条件.3.已知在处有极值,且极大值为,极小值为,试确定的值.四、巩固练习求下列函数的极值(1) (2)(1)解: 令解得当变化时,的变化情况如下表:+极小值当时,有极小值,且(2)解: 令解得当变化时,的变化情况如下表:+极大值极小值当时,有极大值且当时,有极小值且五、教学反思函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.六、布置作业1.3.3 函数的最大（小）值与导数（2课时）教学目标：1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念;2.掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;3.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、创设情景我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说,如果是函数的极大(小)值点,那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果是函数的最大(小)值,那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值.二、新课讲授观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值,是极大值.函数在上的最大值是,最小值是.1.结论一般地,在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值.说明: (1)如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线,则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)(2)给定函数的区间必须是闭区间,在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续,但没有最大值与最小值.(3)在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断.(4)函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2.“最值”与“极值”的区别和联系(1)最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性.(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不唯一.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个.(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.3.利用导数求函数的最值步骤由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了.一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求在内的极值;(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值.三、典例分析例1 求在的最大值与最小值.解: 由上节课例1可知,在上当时,有极小值,并且极小值为又由于,因此,函数在的最大值是,最小值是.上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证.例2 求函数在区间上的最大值与最小值.解: 先求导数,得令即解得导数的正负以及,如下表-3从上表知,当时,函数有最大值,当时,函数有最小值.例3 已知,.是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1)在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是.若存在,求出,若不存在,说明理由.解: 设在上是减函数,在上是增函数在上是减函数，在上是增函数. 解得经检验,时,满足题设的两个条件.例4 已知为正实数,且满足关系式,求的最大值.分析: 题中有两个变量,属于条件最值问题,将表示为某一变量的函数,再利用导求函数的最大值.解: 由，, 由，解得设, 当时,令,得或(舍去)当在内变化时,有如下变化情况：由上表可知,当时,最大值