高考数学第九章平面解析几何第8讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题教案.docx

第8讲圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.常用结论圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(ab0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p0)k二、习题改编(选修11P62例5改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条解析：选C.结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切()(2)直线ykx(k0)与双曲线x2y21一定相交()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点()(4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切()(5)过点(2，4)的直线与椭圆y21只有一条切线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切 C相离 D不确定解析：选A.直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交2抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为()A. B. C2 D解析：选B.设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d，所以x时，dmin.第1课时圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题证明问题(师生共研) (2018高考全国卷节选)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上的点，且0.证明：|，|，|成等差数列【证明】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)经过点M，其离心率为，设直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l与圆x2y2相切，求证：OAOB(O为坐标原点)解：(1)因为e，a2b2c2，所以a22b2，所以椭圆C的方程为1.因为在椭圆上，所以1，b21，a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：因为直线l与圆x2y2相切，所以，即3m22k220，由得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，所以x1x2y1y20，所以OAOB.范围问题(师生共研) 已知曲线M由抛物线x2y及抛物线x24y组成，直线l：ykx3(k0)与曲线M有m(mN)个共同点(1)若m3，求k的最小值；(2)若m4，自上而下记这4个交点分别为A，B，C，D，求的取值范围【解】(1)联立x2y与ykx3，得x2kx30，因为1k2120，所以l与抛物线x2y恒有两个交点联立x24y与ykx3，得x24kx120.因为m3，所以216k2480.因为k0，所以k，所以k的最小值为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则A，B两点在抛物线x24y上，C，D两点在抛物线x2y上，因为x1x24k，x1x212，x3x4k，x3x43，且216k2480，k0，所以k.所以|AB|，|CD|，所以4 4.所以k，所以00，即m2k290，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.因为线段MN被直线2x10平分，所以210，即10.由得(k29)0，所以13，解得k或k0)的一个焦点为F(1，0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【解】(1)由题意，c1，b23，所以a24，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，2880，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2|.(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x1x2)2k|，因为k0，上式，所以|S1S2|的最大值为.圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，总体上主要有两种方法：(1)几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解(2)代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解(2020河北省九校第二次联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值解：(1)由题意可知F，则直线MN的方程为yx，代入y22px(p0)得x23px0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x23p，因为|MN|8，所以x1x2p8，即3pp8，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20，因为直线l为抛物线C的切线，所以0，解得b1，所以l为yx1.由(1)可知，x1x26，x1x21，设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，所以(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2，(y1y2)216x1x216，所以y1y24，yy4(x1x2)，所以y1y244，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2，即点P的坐标为(2，3)时，取得最小值为14.基础题组练1过椭圆C：1(ab0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围为()A. B.C. D解析：选B.由题意知B，所以k1e.又k，所以1e，解得e0，b0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是()A2xy0 Bx2y0C.xy0 Dxy0解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，由得，结合题意化简得1，即，所以双曲线C的渐近线方程为x2y0.3抛物线C：y22px(p0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则PMQ 解析：由题意得M，设过点M的切线方程为xmy，代入y22px得y22pmyp20，所以4p2m24p20，所以m1，则切线斜率k1，所以MQMP，因此PMQ.答案：4已知椭圆C：1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|PF|的最小值为 解析：如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|PF|4，所以|PF|4|PF|，所以|PA|PF|PA|PF|4.当且仅当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取最小值|AF|5，所以|PA|PF|的最小值为1.答案：15(2020长春市质量监测(二)已知椭圆C：1(ab0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.6设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又AB(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.综合题组练1(2020河南阶段性测试)已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是1，且1，a，4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得m.所以m.综上所述，m的取值范围为.2(2020广州市综合检测(一)已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线yx与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点(1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求F2PQ的内切圆面积的最大值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，因为点M在直线yx上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，所以点M.因为，所以c1.所以解得所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知，F1(1，0)，过点F1(1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则F2PQ的周长为4a8，又SF2P