分式知识点总结和练习题讲义

1 分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳 第一部分第一部分 分式的运算分式的运算 一 分式定义及有关题型 一 分式定义及有关题型 题型一 考查分式的定义题型一 考查分式的定义 一般地 如果 A B 表示两个整数 并且 B 中含有字母 那么式子叫做分式 A 为分子 B A B 为分母 例 1 下列代数式中 是分式的有 yx yx yx yx ba ba yx x 1 2 1 22 题型二 考查分式有意义的条件题型二 考查分式有意义的条件 分式有意义 分母不为 0 0B 分式无意义 分母为 0 0B 例 1 当有何值时 下列分式有意义x 1 2 3 4 5 4 4 x x 2 3 2 x x 1 2 2 x 3 6 x x x x 1 1 题型三 考查分式的值为题型三 考查分式的值为 0 0 的条件的条件 分式值为 0 分子为 0 且分母不为 0 0 0 B A 例 1 当取何值时 下列分式的值为 0 x 1 2 3 3 1 x x 4 2 2 x x 65 32 2 2 xx xx 例 2 当为何值时 下列分式的值为零 x 1 2 4 1 5 x x 56 25 2 2 xx x 题型四 考查分式的值为正 负的条件题型四 考查分式的值为正 负的条件 分式值为正或大于 0 分子分母同号 或 0 0 B A 0 0 B A 2 分式值为负或小于 0 分子分母异号 或 0 0 B A 0 0 B A 例 1 1 当为何值时 分式为正 x x 8 4 2 当为何值时 分式为负 x 2 1 3 5 x x 3 当为何值时 分式为非负数 x 3 2 x x 例 2 解下列不等式 1 2 0 1 2 x x 0 32 5 2 xx x 题型五 考查分式的值为题型五 考查分式的值为 1 1 1 1 的条件的条件 分式值为 1 分子分母值相等 A B 分式值为 1 分子分母值互为相反数 A B 0 例 1 若的值为 1 1 则 x 的取值分别为 2 2 x x 思维拓展练习题 思维拓展练习题 1 若若 a b 0 a b 0 2 a 2 b 6ab 0 则 ab ab 2 一组按规律排列的分式 25811 234 bbbb aaaa ab 0 则第 n 个分式为 3 3 已知 2 310 xx 求 2 2 1 x x 的值 4 已知 22 2450 xyxy 求分式 yx xy 的值 二 分式的基本性质及有关题型 二 分式的基本性质及有关题型 1 分式的基本性质 MB MA MB MA B A 2 分式的变号法则 b a b a b a b a 题型一 化分数系数 小数系数为整数系数题型一 化分数系数 小数系数为整数系数 例 1 不改变分式的值 把分子 分母的系数化为整数 1 2 yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 ba ba 04 0 03 0 2 0 题型二 分数的系数变号题型二 分数的系数变号 例 1 不改变分式的值 把下列分式的分子 分母的首项的符号变为正号 1 2 3 yx yx ba a b a 题型三 化简求值题题型三 化简求值题 例 1 已知 求的值 5 11 yxyxyx yxyx 2 232 例 2 已知 求的值 2 1 x x 2 2 1 x x 4 例 3 若 求的值 0 32 1 2 xyx yx24 1 例 4 已知 求的值 3 11 baaabb baba 232 例 5 若 求的值 01062 22 bbaa ba ba 53 2 例 6 如果 试化简 21 x x x 2 2 x x x x 1 1 思维拓展练习题思维拓展练习题 1 对于任何非零实数 a b 定义运算 如下 a b ab ab 求 2 1 3 2 10 9 的值 2 已知 0 234 xyz 求代数式 2xyz xyz 的值 3 3 分式的运算分式的运算 分式的乘除法法则 乘法分式式子表示为 db ca d c b a 除法分式式子表示为 cc b dad b a d c b a 5 分式的乘方 把分子 分母分别乘方 式子表示为 n n n b a b a 分式的加减法则 c ba c b c a 异分母分式加减法 式子表示为 bd bcad d c b a 整式与分式加减法 可以把整式当作一个整数 整式前面是负号 要加括号 看作是 分母为 1 的分式 再通分 题型一 通分题型一 通分 1 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 2 取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式 3 如果分母是多项式 则应先把每个分母分解因式 然后判断最简公分母 例 1 将下列各式分别通分 1 2 cb a ca b ab c 22 5 3 2 ab b ba a 22 3 4 2 2 21 1 222 xxxx x xx a a 2 1 2 题型二 约分题型二 约分 分式的分子与分母均为单项式均为单项式时可直接约分直接约分 约去分子 分母系数系数的最大公约数 然后 约去分子分母相同因式相同因式的最低次幂 分子分母若为多项式为多项式 先先对分子分母进行因式分解因式分解 再约分 例 2 约分 1 2 3 3 2 20 16 xy yx nm mn 22 6 2 2 2 xx xx 题型三 分式的混合运算题型三 分式的混合运算 例 3 计算 1 2 42 2 3 2 a bc ab c c ba 2223 3 3 xy xy yx yx a 6 3 4 mn m nm n mn nm 22 1 1 2 a a a 5 6 8 7 4 3 2 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 x x x x x x xx 5 3 1 3 1 1 1 1 1 xxxxxx 7 1 2 2 1 44 4 2 2 2 x xx x xx x 题型四 化简求值题题型四 化简求值题 例 4 先化简后求值 1 已知 求分子的值 1 x 1 2 1 1 4 4 4 8 1 2 2 xx x x 2 已知 求的值 432 zyx 222 32 zyx xzyzxy 3 已知 试求的值 013 2 aa 1 1 2 2 a a a a 题型五 求待定字母的值题型五 求待定字母的值 例 5 若 试求的值 11 1 31 2 x N x M x x NM 思维拓展练习题 思维拓展练习题 1 某工厂通过改造设备 平均每天节约用煤 1 5 那么相同数量的煤 现在使用的天数是原 来的几倍 7 2 若非零实数 a b 满足 22 1 0 4 aabb 则 b a 3 若 2 7 x y 求 22 22 32 257 xxyy xxyy 的值 4 已知 abc 1 求 111 abc ababcbacc 的值 5 已知 a b c 为实数 且 111 345 abbcca abbcca 求 abc abbcca 的值 第二部分 分式方程 分式方程的解的步骤 分式方程的解的步骤 去分母 把方程两边同乘以各分母的最简公分母 产生增根的过程 解整式方程 得到整式方程的解 检验 把所得的整式方程的解代入最简公分母中 如果最简公分母为 0 则原方程无解 这个未知数的值是原方程的增根 如果最简公分母 不为 0 则是原方程的解 产生增根的条件是 是得到的整式方程的解 代入最简公分母后值为 0 一 分式方程题型分析 一 分式方程题型分析 题型一 用常规方法解分式方程题型一 用常规方法解分式方程 例 1 解下列分式方程 1 2 3 4 xx 3 1 1 0 1 3 2 xx 1 1 4 1 1 2 x x x x x x x 4 5 3 5 8 题型二 特殊方法解分式方程题型二 特殊方法解分式方程 例 2 解下列方程 1 2 4 44 1 x x x x 5 6 9 10 8 9 6 7 x x x x x x x x 提示 1 换元法 设 2 裂项法 y x x 16 1 1 6 7 xx x 例 3 解下列方程组 3 4 111 2 3 111 1 2 111 xz zy yx 题型三 求待定字母的值题型三 求待定字母的值 例 4 若关于的分式方程有增根 求的值 x 3 1 3 2 x m x m 例 5 若分式方程的解是正数 求的取值范围 1 2 2 x ax a 题型四 解含有字母系数的方程题型四 解含有字母系数的方程 例 6 解关于的方程x 0 dc d c xb ax 题型五 列分式方程解应用题题型五 列分式方程解应用题 1 某服装厂准备加工 400 套后 采用了新技术 使得工作效率比原计划提高了 20 结果 共用了 18 天完成任务 问 原计划每天加工服装多少套 9 2 2 某商店经销一种泰山旅游纪念品 4 月份的营业额为 2000 元 为扩大销售量 5 月份该 商店对这种纪念品打 6 折销售 结果销售量增加 20 件 营业额增加 700 元 1 求该种纪念 4 月份的销售价格 2 若 4 月份销售这种纪念品获得 800 元 5 月份销售这种纪念品获利多少元 3 河边两地相距 50km 船在静水中的速度是 m km h 水流速度是 n km h 1 船从河边两地往返一次需要多长时间 2 当 m 30 n 10 时 求船往返一次需要的时间 4 丰收 1 号 小麦的试验田是边长为 a m 的正方形减去一个边长为 1m 的正方形蓄水 池后余下的部分 丰收 2 号 小麦的试验田是边长为 a 1 m 的正方形 两块试验田的小 麦都收获了 500kg 1 哪种小麦的单位面积产量高 2 小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍 思维拓展练习题 思维拓展练习题 1 已知已知 111 abab 求 ab ba 的值 二 分式方程的特殊解法 二 分式方程的特殊解法 解分式方程 主要是把分式方程转化为整式方程 通常的方法是去分母 并且要检验 但对一些特殊的分式方程 可根据其特征 采取灵活的方法求解 现举例如下 一 交叉相乘法一 交叉相乘法 例 1 解方程 2 31 xx 10 二 化归法二 化归法 例 2 解方程 0 1 2 1 1 2 x x 三 左边通分法三 左边通分法 例 3 解方程 8 7 1 7 8 xx x 四 分子对等法四 分子对等法 例 4 解方程 11 ba x b bx a a 五 观察比较法五 观察比较法 例 5 解方程 4 17 4 25 25 4 x x x x 六 分离常数法六 分离常数法 例 6 解方程 8 7 3 2 9 8 2 1 x x x x x x x x 七 分组通分法七 分组通分法 例 7 解方程 于的分式方程无解 试求的值 4 1 3 1 5 1 2 1 xxxx xa x a 1 12 a 三 分式方程求待定字母值的方法三 分式方程求待定字母值的方法 11 题型一 关于无解的