2019-2020学年长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】解出集合，再由并集的定义写出即可。【详解】由，则故选D【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。属于基础题2已知函数，则的值域是（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可函数，所以；对应的函数值分别为：；所以函数的值域为：故答案为B【考点】函数值域3若向量=（1,2），=（3,4），则=A（4,6） B(-4，-6) C(-2，-2) D(2,2)【答案】A【解析】.4已知，则( ).ABCD【答案】C【解析】分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.【详解】因为，所以，于是有，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.5若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）ABCD【答案】A【解析】通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6设，向量，若，则等于( )ABC4D4【答案】D【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为，且，所以，化为，解得，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.7将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）ABCD【答案】C【解析】【详解】将函数y=sin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）)= y=sin(x)，故选C8函数的单调递增区间是ABCD【答案】D【解析】由0得：x(,2)(4,+)，令t=，则y=lnt，x(,2)时,t=为减函数；x(4,+)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+)，故选：D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.9函数y=sin2x的图象可能是ABCD【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复10如果角满足，那么的值是（ ）A-1 B-2 C1 D2 【答案】D【解析】试题分析：，故D正确【考点】同角三角函数基本关系式11对于幂函数f(x)=，若0x1x2，则，的大小关系是( )ABC=D无法确定【答案】A【解析】本题考查幂函数图象及性质。该函数在第一象限单调递减，又是偶函数，可画出其大致图象。利用数形结合易得答案为 A.12已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是（ ）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（1，1）【答案】B【解析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,【详解】首先函数定义域是R，再者根据和偶函数 在区间上单调递增，可得，解得，故选B.【点睛】本题是基础题，考查偶函数的性质.二、填空题13方程有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于与函数与函数有四个不同的交点，绘制函数的图象如图所示：观察可得，实数的取值范围为.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点14平面内有三个点，若，则x的值为_.【答案】1【解析】利用平面向量共线的坐标表示直接计算即可.【详解】由题意得，因为，解得.故答案为：1.【点睛】本题主要考查已知平面向量共线求参数的值的问题，属基础题.15将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是_ _.【答案】ysin【解析】向右平移个单位，用x代替ysinx中的x；各点横坐标伸长到原来的2倍，用x代替ysin中的x，ysin16已知，则函数的值域为_.【答案】【解析】先将已知不等式两边变成同底,利用指数函数的单调性解得的范围,即为函数的定义域,再根据二次函数的开口和对称轴可得函数的单调性,利用单调性可求得值域.【详解】由，得 ，解得 . 又在上为增函数，所以.故答案为: .【点睛】本题考查了利用指数函数单调性解不等式,二次函数在指定范围内的值域,属于基础题.三、解答题17已知向量， (1)求；(2)求满足的实数m，n；(3)若，求实数k.【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标； (2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,. (3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.【详解】（1）（2）， 解得（3）,.【点睛】本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.18已知三个点A（2,1），B（3,2），D（1,4）（1）求证：；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值【答案】(1)证明：可得，； （5分）(2)； （10分）该矩形对角线所夹的锐角的余弦值. （14分）【解析】试题分析：（1）因为已知A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，可结合问题，联系向量的坐标及垂直的性质，进行证明。（2）由题先设出C(x, y)，再借助=，建立方程可得C点坐标.由点的坐标，分别表示出所需的向量：=(-2，4)，=(-4，2)借助向量的乘法定义，可求出COS.试题解析：（1）、, （2）、设C(x,y),=(x+1,y-4) ,由=,得x=0,y=5C(0,5)设矩形ABCD两对角线AC,BD所夹锐角为=(-2，4)，=(-4，2)=2 =2COS=【考点】1.向量坐标及垂直的性质；2.向量相等及方程思想和向量的乘法；19函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值0，最小值.【解析】【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.（2）因为，所以，于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值.【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.20设为奇函数，为常数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】(1)（2）f(x)在x(1,+)上是增函数.【解析】试题分析：（1）由于已知函数是奇函数，根据奇函数的定义可得，结合对数的运算性质解方程可得的值；（2）由（1）得函数的解析式，设且，根据对数的性质，判断与的关系，进而根据单调性的定义，可得答案.试题解析：（1）为奇函数，对定义域内的任意都成立，解得或（舍去）（2）由（1）知：，设，设，则，在上是增函数21已知函数.（1）化简；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）利用诱导公式可化简；（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值试题解析：（1）.(2) ，因为，所以，可得，结合，所以.（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限22已知定义在区间上的函数满足，且当时，（1）求的值；（2）证明：为上的单调减函数；（3）若，求在上的最小值；【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由定义在区间上的函数满足，当时，能求