简单的线性规划问题教案.doc

3.3.2 简单的线性规划问题 武汉市实验学校 赵耀教学目标：体会从现实问题归纳出线性规划模式的过程，理解求线性规划目标函数最值的方法。教学重点：理解求线性规划目标函数最值的方法。教学难点：理解求线性规划目标函数最值的方法。教学过程：同学们，在经济问题中，常常要研究利润，下面,我们一起用数学的方法来分析利润最大化的一个实际问题【第一阶段：通过对一个实际问题的完整分析过程，体会从现实问题归纳出线性规划模式的过程，理解求线性规划目标函数最值的方法】问题1（利润问题）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需要用到A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品需要用到A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可以获得利润2万元，每吨乙产品可以获得利润1万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是多少？【步骤1，将实际问题转化为数学问题】利用列表分析，采用提问的方式，和学生一起理清题意，用数学语言表述条件题目中哪些是已知的，哪些是未知的？需要解决什么问题？有哪些限制条件？为了解决问题，需要未知数，怎样设未知数？设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，获得的利润为z万元，则z=2x+yx,y的取值是任意的么？需要满足什么条件？由学生回答写出约束条件这样，上述问题转化成当x、y满足不等式组时，z的最大值为多少这个不等式组的每一组解（x，y）与坐标平面内的一个点对应，这个二元一次不等式组对应着坐标平面内的一个区域现在的问题，就是把这无数个点的坐标代入到x，y，来寻找z的最大值。【步骤2：体会寻找最优点，求利润最大时，满足不等式组的x，y的取值】【方法：从特殊到一般的分析过程】【体会通过对一个点坐标的判断，从而对线段上所有点的判断的过程】我们经常从特殊到一般来分析，比如我们取一个点（2,1），代入得z=5，我也可以再取一个点，使z的值仍为5，比如点（1,3），方程2x+y=5有无数个解，它在坐标平面上表示的是什么图形？- 直线对，是一条经过这两点的直线。我们把它写成一次函数的形式, 画出这条直线，这样就便于我们直观地来研究。这条直线与平面区域的公共部分是线段AB，同学们来观察: 在线段上取一个动点，当该点在线段上移动的时候，点的坐标在变化，但是2x+y的值不变。那这无数个点就不需要再研究了【简单重复第一步的过程，同时得到平行的新结论】那我就另取一个点，比如（3,1），代入得7（写出2x+y=7），那这个方程在平面上表示什么？为了便于研究，我们把它写成一次函数的形式 那它与直线AB有什么关系？- 平行它与区域的公共部分是线段CD，大家知道，这条线段上的无数个点的坐标使2x+y都不变。【体会这一方法的普遍性与正确性】 现在我们在平面区域内取一个点p（x，y），代入得，为了便于得到这条直线，我们将它写成一次函数的形式，那这条直线与前面的两条直线有怎样的位置关系？这条直线与y轴交点的纵坐标是什么？ 我们不妨把称为直线在y轴上的截距；可以看到，当我们平移这条直线时，的值在变化，当直线经过点（3,1）时，的值是7，当直线经过点（2,1）时，的值是5. 因此，平面区域内每一点的坐标代入x,y所得的z值，就是这条直线在y轴上的截距，即。【步骤3：通过对第一、第二阶段的理解，寻找问题的答案】我们要寻找Z的最大值，那这条直线怎样移动？ 大家观察一下，什么时候Z最大？这个最大值怎么求出来呢？（由学生来说明求交点坐标。代入求z最大值）这样。我们就找到了使利润最大的生产方案【第二阶段：通过第一阶段的教学，提炼求线性规划目标函数最值的基本方法】下面我们 看一个如何使能源消耗最小的问题问题2（能源消耗最小问题）某工厂利用同一种原料生产A、B两种产品，已知生产这两种产品每吨所需的原料、用电量、利润如下表所示：，产品所需原料（吨）耗电量（万千瓦时）利润（万元/每吨）A（每吨）3316B（每吨）2424该工厂每年可以购买到的原料不超过18吨，两种产品都至少生产1吨，要求在年利润不低于88万元的前提下尽量减少用电量，该如何分配两种产品的生产数量？【步骤1：重复实际问题的分析过程，写出目标函数，线性约束条件，画出可行域】设A产品生产x吨， B产品生产y吨，总耗电量为z万千瓦，则z=3x+4y。 【步骤2：用线性规划的方法求目标函数最值的】为了研究Z的最小值，将它写成一次函数的形式它与y轴交点为 ，它与哪条直线平行？ 这是函数的图象，在平面区域任取一点p（x,y)，做的平行线，我们得到一次函数的图象。它与y轴交点的纵坐标是，我们称它为直线在y轴上的截距。当我们拖动这条直线时，始终保持与平行当我们向上移动直线时，直线在y轴上的截距如何变化？ 向上移动，截距变大，那向下移动呢？ 向下移动，截距变小我们要解决什么问题？ 总耗电量就是截距么？总耗电量的值是截距的4倍，那直线应该向哪边平移？什么时候截距最小？ 当直线经过交点时，截距有最小值，最小耗电量怎么求？ 请大家计算结果现在我们得出了在利润满足要求的前提下，总耗电量最小的生产方案【第三阶段：和学生一起，体会这两个问题的共同特点，总结从现实问题归纳出线性规划模式的过程，求线性规划目标函数最值的一般方法，并给出相关的概念】下面请大家思考一下： 这两个问题不同，它们的共同特点是什么？【都要设未知数，列表达式】实际问题转换成数学问题的基本方法【涉及到几个变量】（3个：其中一个可以用另外两个未知数的一次关系式来表示，所以可以表示成直线的形式，我们称它为线性目标函数【x,y的取值范围是一个区域内的点】X，Y的取值要满足一个二元一次不等式组，这对应着坐标平面上一个由直线围成的区域，我们称该不等式为线性约束条件，这个区域称为可行域。【都是用截距来求最大或最小值】能说说截距和z的关系么，我们所求的值都是关于x、y的二元一次方程，可以写成一次函数的形式，z就与截距相关了。【都用到了平移】：【函数y=kx+z在平移】当我们取平面区域内不同的点时，代入的是同一个二元一次方程，这些方程都可以表示直线，都可以写成y=kx+b的形式，而且k值相等，所以我们可以通过平移来观察直线在y轴上截距的变化从而确定所需的z值【未知数的范围可以用一个平面区域来表示】 未知数的约束条件是一个二元一次不等式组，。满足线性约束条件的解叫可行解，其中，使得线性目标函数取得最大值或最小值的这个最好的解叫做这个问题的最优解。 今天，