高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式课件 北师大版选修45.ppt

3平均值不等式 1 回顾和复习平均值不等式 2 理解三个正数的平均值不等式 了解n个正数的平均值不等式 3 会用相关定理解决简单的最大 最小 值问题 1 二元平均值不等式 1 定理1 对任意实数a b 有a2 b2 2ab 此式当且仅当a b时取 号 2 定理2 定理2可叙述为 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 答案 a a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 2 三元平均值不等式及其推广 1 定理3 对任意三个正数a b c 有a3 b3 c3 3abc 此式当且仅当a b c时取 号 2 定理4 定理4可叙述为 三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 3 n个正数的算术 几何平均值不等式 分析 本题需变式出现积为定值的情况 而条件中是和为定值x y z 1 所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况 题型一 题型二 题型三 题型一利用平均值不等式证明不等式 分析 本题是有条件的证明不等式问题 要巧用 x y 1 来证明 题型一 题型二 题型三 反思利用平均值不等式证明不等式时 要注意把握平均值不等式的结构特点 以便灵活地用于解题 另外 对式子进行拆项 凑项的灵活变形 也是常用的方法 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知a b c 0 且a b c 1 题型一 题型二 题型三 题型二利用平均值不等式求最值 分析 对于x 5 2x 2无法直接利用平均值不等式求最值 可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值 题型一 题型二 题型三 反思 在求最值时 除了注意 一正 二定 三相等 之外 还要掌握配项 凑系数等变形技巧 有时为了便于应用公式 还用换元法 多用于分母中有根式的情况 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型三利用平均值不等式解决实际问题 例3 如图 为处理含有某种杂质的污水 要制造一个底面宽为2m的无盖长方体沉淀箱 污水从a孔流入 经沉淀后从b孔流出 设箱体的长为am 高为bm 已知流出的水中该杂质的质量分数与a b的乘积成反比 现有制箱材料60m2 问当a b各为多长时 沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 a b孔的面积忽略不计 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 a 6 由a 6 可得b 3 综上所述 当a 6 b 3时 经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小 题型一 题型二 题型三 反思1 对于分母是一次式 分子是二次式的分式 可采用本题中的变形方法 2 本题的难度不在于建立数学模型 而在于建模后如何求函数的最值 这需要有扎实的数学知识和灵活应用基本定理 公式解题的能力 3 可以说解应用题需要过两关 一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型 另一关就是对于建模后的数学模型 如何用相关的数学知识将其解答出来 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知圆柱的轴截面周长为6 体积为v 则下列不等式正确的是 a v b v 解析 如图 设圆柱的半径为r 高为h 则4r 2h 6 即2r h 3 v r2 h r r h 当且仅当r r h 1时 号成立 答案 b 1 2 3 4 5 1下列结论正确的是 答案 b 1 2 3 4 5 a 10b 3c 9d 不存在 答案 c 1 2 3 4 5 答案 a 1 2 3 4 5 4若长方体的体积为8 则其表面积的最小值为 解析 设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a b c 则依题意有abc 8 而长方体的表面积s 2ab 2bc 2ac 当且仅当a b c时 等号成立 即长方体的表面积的最小值为24 答案 24 1 2 3 4 5 5设计一幅宣传画