Lagrange插值程序1.doc

在Matlab中，可以编写如下程序来利用Lagrange插值公式进行计算：function f=Lagrange(x,fx,inx)n=length(x);m=length(inx);for i=1:m; z=inx(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x(j)/(x(k)-x(j); end end s=p*fx(k)+s; end f(i)=s;endplot(x,fx,O,inx,f)例：已知数据如下，求112之间以0.2为间隔的所有值，并画出图形：1234567891011121223434-13425233494523解：执行命令x=1:12fx=12 234 34 -1 34 2 5 23 34 9 45 23xi=1:0.2:12Lagrange(x,fx,xi)得出结果： 12.0000 -60.5937 18.2765 124.9778 202.5952 234.0000 223.3757 184.1249 131.4738 78.4253 34.0000 2.9467 -13.6885 -17.5810 -12.0379 -1.0000 11.7556 23.1624 31.1611 34.7730 34.0000 29.6054 22.8332 15.1153 7.8099 2.0000 -1.6307 -2.8397 -1.7907 1.0404 5.0000 9.4024 13.6643 17.4033 20.4834 23.0000 25.2037 27.3769 29.6858 32.0400 34.0000 34.7742 33.3426 28.7320 20.4439 9.0000 -3.4848 -12.8605 -12.88734.0592 45.0000 112.3788 197.1817 267.9699 254.3439 23.0000拉格朗日插值法理论介绍在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫路易斯拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作师范学校数学基础教程中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。对于给定的若n+1个点，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式只有一个。如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与相差的多项式都满足条件。定义对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：其中xj对应着自变量的位置，而yj对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：拉格朗日基本多项式的特点是在xj上取值为1，在其它的点上取值为0。范例：假设有某个多项式函数f，已知它在三个点上的取值为： f(4) = 10 f(5) = 5.25 f(6) = 1要求f(18)的值。首先写出每个拉格朗日基本多项式：然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p的表达式（p为函数f的插值函数）：此时代入数值就可以求出所需之值：。优缺点：拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐5。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳