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文档简介

西华大学研究生课程考试试题课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2007 学时： 80 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号: 一、(8分)用某仪器测得长方形的长，宽的近似值分别为，它们每一位都是有效数字。用来计算长方形的面积，其绝对误差和相对误差分别是多少？解: , ., 绝对误差限为;相对误差限为: 二、(8分)证明方程在区间内有唯一解。用迭代求的近似解时，要求误差不超过（取初始值），试估计所需迭代次数。解：等价，而，所以方程在区间内至少有一个解。又，而当时，。故当时，在区间内严格单调增加。方程在区间内有唯一解。迭代函数。，取，要，只需即可，解之得：，取。要满足误差要求，只需迭代10次即可。三、(8分)猜想矩阵 进行分解时，具有怎样的结构？并具体写出分解公式。解：由的特征，可猜相，。，由得，。四、(10分)(1)设，验证是一种矩阵范数 。 (2)设计算，。解：(1) 1、当时，至少有一个，故； 2、，； 3、 ，（2）； 五、(9分)利用以下表0.30.320.330.295520.314570.32404选用一次、二次插值，计算函数在的值，并依余项公式估计误差。解：1、由于介于与之间，因此一次插值的基点取，由数据表得： 误差；2、二次插值的基点为：，由数据表得： 。六、(9分)试列出解下列方程组的迭代公式和迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。解：迭代公式：；迭代公式：； 由于方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，故迭代法和迭代法均收敛。七、(8分)利用复合梯形公式计算积分。分别取，并与真实值比较。解：1、与比较误差为2、与比较误差为3、与比较误差为。八、(8分)试设计求积公式 使其代数精度尽可能地高，并指明求积公式所具有的代数精度。解：由于求积公式中有三个末知参数，设公式至少具有2次代数精度，得解之得：，即求积公式为又当时，故求积公式具有2次代数精度。九、(8分)经一系列拉伸试验获得正火中碳铸钢样品的断面收缩率随钢的含碳量变化的如下数据（均为百分率）：含碳量0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50收缩率54.0 48.8 45.3 40.1 35.2 32.3 27.5试用直线进行最小二乘拟合（可以不求出结果）。解：设，问题化为求线性方程组的最小二乘解。而线性方程组的最小二乘解为法方程组的解，解方程求可得出系数。十、(8分)用梯形方法求解初值问题 并证明其近似解为，且当时，它收敛于原初值问题的准确解。解：微分方程中的，梯形方法为：或解之得：。又，令，当时，有。十一、(8分)判断公式是否收敛？为什么？解：，。 1、，故此多步法是相容的。2、，的特征根为，不满足特征根条件，故此多步法是不稳定的。3、由2知，此多步法是不收敛的。十二、(8分)试写出梯形方法解初值问题的计算公式，它与数值积分公式有什么关系？解：，梯形方
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