北师大中考数学复习专题_方案设计型问题.doc

方案设计型问题一、考法分析方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致本文从历年中考试题中，筛选出与之有关的部分题目，对其方案设计类型进行归类探究，以供参考 二、例题分析（一）、利用方程（组）进行方案设计例 “利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元（）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买（）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量解：（）设甲种型号手机要购买部，乙种型号手机购买部，丙种型号手机购买部，根据题意，得：40180060060000，解得3010401800120060000，解得202040600120060000，解得2060（不合题意舍去）答：有两种购买方案：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；甲种手机购买20部，乙种手机购买20部（）根据题意，得：40180060012006000068解得2668或2776或2884答：若甲种型号手机购买26部手机，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买部；若甲方型号手机购买27部，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；若甲方型号手机购买28部，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部例2某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆，则刚好坐满；若租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位。（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少座位？（2）已知甲种客车租金是每辆400元，乙种客车租金是每辆480元，这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少租1辆，所用租金比单独租用任何一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元？解 （1）设甲种客车有x个座位，则乙种客车有（x20）个座位，依题意，得。整理，得x2600x72000解得x160，x2120（不合题意，舍去）答：甲种客车有60个座位，乙种客车有80个座位。（2）设租用甲种客车y辆，则租用乙种客车（y1）辆，由于单独租用甲种客车需6辆，单独租用乙种客车需5辆，租金都是2400元，依题意，得400y480（y1）2400y，y的正整数值（车辆数）为1或2，当y1时，y12，则601802220360，不合题意。当y2时，y13，则602803360。此时租金为400248022240（元）。 剖析 本题是考查学生对实际问题的数据处理和计算能力，重在读懂题目，理解题意和弄清数量关系，通过阅读将实际问题分析，抽象，转化为相关的代数式，进而列出方程或不等式，最终解答数学问题。（二）、利用不等式进行方案设计例1光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往、两地区收割小麦，其中30台派往地区，20台派往地区两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金地区1800元1600元地区1600元1200元（）设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为（元），求与间的函数关系式，并写出的取值范围（）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来（）如果要使这50召联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议解：（）若派往地区的乙型收割机为台，则派往地区的甲型收割机为（）台；派往地区的乙型收割机为（）台，派往地区的甲型收割机为（）台（）（）（），的取值范围是：（是正整数）（）由题意得解不等式，得，由于，取，这三个值有种不同分配方案当时，即派往地区甲型收割机台，乙型收割机台；派往地区甲型收割机台，乙型收割机台当时，即派往地区甲型收割机台，乙型收割机台；派往地区甲型收割机台，乙型收割机台当时，即台乙型收割机全部派往地区；台甲型收割机全部派往地区（）由于一次函数的值是随着的增大而增大，所以，当时，取得最大值，如果要使农机租赁公司这台联合收割机每天获得租金最高，只需，此时，建议农机租赁公司交台乙型收割机全部派往地区；台甲型收割机全部派往地区，可使公司获得的租金最高例2某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，票可供持票者使用一年），年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类门票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次，购买A类年票比较合算。解 （1）不可能选A类年票。若选B类年票，则10（次）；若选C类年票，则13.3（次）；若不购买年票，则8（次）。所以计划用80元花在该园林的门票上时，选购买C类年票进入园林的次数最多，为13次较合算（2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算。则，解之得所以一年中进入该园林至少超过30次，购买A类年票比较合算。（三）、利用函数进行方案设计例1某市的县和县春季育苗，急需化肥分别为吨和吨，该市的县和县分别储存化肥吨和吨，全部调配给县和县，已知、两县运化肥到、两县的运费（元吨）如下表所示出发地运费目的地（）设县运到县的化肥为吨，求总运费（元）与（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围（）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案解：（）由县运往县的化肥为吨，则县运往县的化肥为（）吨，县运县的化肥为（）吨，县运往县的化肥为（）吨，依题意（）（）（）（）（）随着的减小而减小当时，最小（元）运费最低时，故，运送方案为：县的吨化肥吨运往县，吨运往县，县的吨化肥全部运往县例2某校办工厂生产了一批新产品，现有两种销售方案。方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的成本（生产该批产品支出的总费用）和已获利30000进行再投资。到这学期结束时再投资又可获利4.8%；方案二：在这学期结束时售出该批产品，可获利35940元，但要付成本的0.2%的作保管费。（1）该批产品的成本为x元，方案一获利y1元，方案二的获利为y2元，分别求出y1、y2与x的函数关系式；（2）当该批产品的成本是多少元时，方案一与方案二的获利一样的？（3）就成本x元，讨论该方案一好、还是方案二好。解 ：（1）y130000（30000x）4.8%； y2359400.2%x 即y1314400.048x； y2359400.002x。（2）令y1y2，则314400.048x359400.002x。解得x90000答：当该批产品的成本是90000元时，方案一与方案二的获利一样的。（3）令y1y2，即314400.048x359400.002x。解得x90000，令y1y2，即314400.048x359400.002x。解得x90000，答：当产品成本大于90000元时，选择方案一好。当产品成本小于90000元时，选择方案二好。 剖析 ：分类讨论是一种重要的教学思想方法，本题是市场方案设计分类，所以它更具有鲜明的时代特色。（四）、通过计算比较进行方案设计例居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题，冬至是一年中太阳光相对地球北半球位置最低的时刻，只要此时楼房的最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，宁夏地区冬至时阳光与地面所成的角约为，如图所示，现有、四种设计方案提供的居民楼的高（米）与楼间距（米）的数据，如下表所示，仅就图中居民楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明理由解：根据题意：设计合理的楼房应满足：对于方案：，对于方案：，对于方案：，对于方案：，方案设计较为合理三、练习1、辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆车装运A、B、C三种苹果到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满。每种苹果不少于2车。（1）设有x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）设此外销活动的利润为W（百元），求W与x之间的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。2、为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生身高作调查，现有三种调查方案：（1）测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；（2）查阅有关外地180名男生的身高的统计资料；（3）在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别10选出名男生，然后测量他们的身高。为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选_；理由_。3、一种外形为圆柱体的易拉罐饮料，它的底面直径为6cm，高为10cm，单层直立码放在长方体的纸箱内，每箱4行，每行6个，易拉罐的底面印在箱底的痕迹如图所示。（1）请你设计两种节约纸的码放方案，使包装箱为长方形，每箱将24个，可以改变它的长和宽，高仍为10cm，把你的设计方案中易拉罐的底面印在箱底的痕迹示意图在下面的方格纸上，可以附方字说明。（2）某饮料厂的一条流水线每天生产的易拉罐饮料6104个，按照你设计的方案分别比原来节约多少纸板（不计包装箱纸板的重叠部分）？4、一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长 1.5m, 面积为 1 . 5 ，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人加工方法分别如图所示，请你用所学过的知识判断并说明谁的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数） 5.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 l 万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0。55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 l 吨的废渣产生为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为0。05 万元，并且每月设备维护及损耗费为 20 万元方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理 1 吨废渣需付0。1 万元的处理费 ( 1 ）设工厂每月生产x件产品，每月利润为 y 万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时， y 与x之间的函数关系式（利润=总收人一总支出） ( 2 ）若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算6.A城有化肥200吨，B城有化肥 300 吨，现要将化肥运往C 、D 两农村，如果从 A 城运往C 吨、D 两地运费分别是20 元吨与25 元吨，从B城运往C 、D两地运费分别是15元与 22 元吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最少？7.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是 y1元，应付给出租车公司的月费用是 y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题： ( l ）每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算？ ( 2 ）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？8.某商店钢笔每枝 25 元，笔记本每本 5 元该店为促销制定了两种优惠方法： 买钢笔一支赠送笔记本一个； 按购买总额的 90 付款（1）若某学校奖励学习优秀和进步学生需要钢笔 10 枝，笔记本 x (x 10 ）本，写出每种优惠方法的实际付款数y1 、y2(元）与x的函数关系式。（2）若学校花 495 元购回了所需物品，问采用哪一种优惠方法比较划算？（3）若可以任选一种方法购买，也可同时用两种方法购买，还可以在一种优惠方法中只买一种物品，请你就购买 10支钢笔和 60 本笔记本设计一种最省钱的购买方法9.学校组织暑期夏令营，人数估计在10 一 25人之间甲、乙两旅行社的服务质量相同，且旅费均为每人 200 元人多可以优惠，甲旅行社表示可给每位旅客 7 . 5 折优惠；乙旅行社表示可免去一位旅客的旅游费用，其余旅客八折优惠问学校选择哪一家旅行社最合算？10.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册。甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费。（1）、请写出制作纪念册的册数x与甲、乙公司的收费y1、y2的关系式。（2）、如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？ 11、 某城市为开发旅游景点，需要对古运河重新设计，加以改造，现需要 A 、 B 两种花砖共 50 万块，全部由某砖瓦厂完成此项任务该厂现有甲种原料 180 万千克，乙种原料 145 万千克，已知生产 1 万块 A 砖，用甲种原料 4 . 5万千克，乙种原料 1 . 5万千克，造价 1 . 2 万元；生产 1 万块 B 砖，用甲种原料 2万千克，乙种原料 5 千克，造价 1 . 8 万元 ( 1）利用现有原料，该厂能否按要求完成任务？若能，按 A 、 B 两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案？请你设计出来（以万块为单位且取整数）; （2）试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？12、为改善温泉镇饮水问题，需建一水厂，该镇六个村庄A、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 正好位于正六边形的六个顶点，水厂建在正六边形的中心，现计划在六个村庄铺设自来水管，他们设计了四种方案，图中实线部分，请帮助计算一下，哪种方案最省水管 13、由于水资源缺乏， B 、 C 两地不得不从黄河上的扬水站 A 处引水，这就需要在 A 、 B 、 C 之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图 、 、 ，图中实线表示管道铺设线路，在图 中 ADBC 于D ；在图 中，OA=OB=OC，为减少渗漏，节约用水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短已知 ABC恰好是一个边长为 a 的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好14、七（）班共有50名学生，老师安排每人制作一件型或型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36，乙种制作材料29，制作、两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料1件型陶艺品.90.31件型陶艺品0.41（1）设制作型陶艺品件，求的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作型和型陶艺品的件数15、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本(万元/套)2528售价(万元/套)3034 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a0且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?16、双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元。 (1)求A、B两种型号的服装每件分别为多少元?(2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案?如何进货?17、某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、测角器、标杆）可供选用,请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图; (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a、b、c表示;角度用、表示); (3)根据你测量的数据,计算旗杆的高度.18、如图是一条河，点A为对岸一棵大树，点B是该岸一根标杆，且AB与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，若干根标杆，根据所学的数学知识，设计出一个测量A、B两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。19、某市经济开发区建有三个食品加工厂，这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且米，米自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处，米若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？20、李明家和陈刚家