高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修11.ppt

第三章变化率与导数 1变化的快慢与变化率 学习目标1 理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念 2 会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数的平均变化率 函数f x 在区间 x1 x2 上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系 观察图形 回答下列问题 答案 1 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 平均变化率的绝对值越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 思考2 怎样理解自变量的增量 函数值的增量 答案 1 自变量的增量 用 x表示 即 x x2 x1 表示自变量相对于x1的 增加量 2 函数值的增量 用 y表示 即 y f x2 f x1 也表示为f x1 x f x1 表示函数值在x1的 增加量 3 增量并不一定都是正值 也可以是负值 函数值的增量还可以是0 比如常数函数 其函数值的增量就是0 梳理 平均变化率 1 定义式 2 实质 之比 3 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的 4 几何意义 已知p1 x1 f x1 p2 x2 f x2 是函数y f x 图像上的两点 则平均变化率表示割线p1p2的 函数值的改变量与自变量的改变量 快慢 斜率 思考1 知识点二瞬时变化率 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态 不能 如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中 平均速度为0 而运动员一直处于运动状态 答案 思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态 答案 梳理 要求物体在t0时刻的瞬时速度 设运动方程为s s t 可先求物体在 t0 t0 t 内的平均速度 然后 t趋于0 得到物体在t0时刻的 瞬时速度 题型探究 命题角度1求函数的平均变化率例1求函数y f x x2在x 1 2 3附近的平均变化率 取 x都为 哪一点附近的平均变化率最大 解答 类型一函数的平均变化率 由于k1 k2 k3 所以在x 3附近的平均变化率最大 求平均变化率的主要步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知函数f x x2 2x 5的图像上的一点a 1 6 及邻近一点b 1 x 6 y 则 答案 解析 x 2 如图所示是函数y f x 的图像 则函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 答案 解析 命题角度2平均变化率的几何意义例2过曲线y f x x2 x上的两点p 1 0 和q 1 x y 作曲线的割线 已知割线pq的斜率为2 求 x的值 割线pq的斜率即为函数f x 从1到1 x的平均变化率 y f 1 x f 1 1 x 2 1 x 12 1 x x 2 割线pq的斜率k 1 x 又 割线pq的斜率为2 1 x 2 x 1 解答 函数y f x 从x1到x2的平均变化率的实质是函数y f x 图像上两点p1 x1 f x1 p2 x2 f x2 连线p1p2的斜率 即 反思与感悟 跟踪训练2 1 甲 乙两人走过的路程s1 t s2 t 与时间t的关系如图所示 则在 0 t0 这个时间段内 甲 乙两人的平均速度v甲 v乙的关系是a v甲 v乙b v甲 v乙c v甲 v乙d 大小关系不确定 设直线ac bc的斜率分别为kac kbc 由平均变化率的几何意义知 s1 t 在 0 t0 上的平均变化率v甲 kac s2 t 在 0 t0 上的平均变化率v乙 kbc 因为kac kbc 所以v甲 v乙 答案 解析 2 过曲线y f x 图像上一点 2 2 及邻近一点 2 x 2 y 作割线 则当 x 0 5时割线的斜率为 当 x 0 5时 2 x 2 5 答案 解析 例3以初速度v0 v0 0 竖直上抛的物体 t秒时的高度s与t的函数关系为s v0t gt2 求物体在时刻t0处的瞬时速度 类型二求函数的瞬时变化率 故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0 gt0 解答 1 求瞬时速度的步骤 求位移改变量 s s t0 t s t0 反思与感悟 跟踪训练3一质点m按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点m在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解答 质点m在t 2时的瞬时速度即为函数在t 2处的瞬时变化率 质点m在t 2附近的平均变化率 当堂训练 1 已知函数f x 当自变量由x0变化到x1时 函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数a 在x0处的变化率b 在区间 x0 x1 上的平均变化率c 在x1处的变化率d 以上结论都不对 2 3 4 5 1 由平均变化率的定义可知 故选b 答案 解析 2 一物体的运动方程是s 3 2t 则在 2 2 1 这段时间内的平均速度是a 0 4b 2c 0 3d 0 2 2 3 4 5 1 答案 解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0 令 8t0 16 0 解得t0 2 2 3 4 5 1 3 物体运动时位移s与时间t的函数关系是s 4t2 16t 此物体在某一时刻的瞬时速度为零 则相应的时刻为a t 1b t 2c t 3d t 4 答案 解析 2 3 4 5 1 4 球的半径从1增加到2时 球的体积平均膨胀率为 答案 解析 函数在 x0 x0 x 上的平均变化率为6x0 3 x 当x0 1 x 时 函数在 1 1 5 上的平均变化率为k1 6 1 3 0 5 7 5 当x0 2 x 时 函数在 2 2 5 上的平均变化率为k2 6 2 3 0 5 13 5 当x0 3 x 时 函数在 3 3 5 上的平均变化率为k3 6 3 3 0 5 19 5 所以k1 k2 k3 2 3 4 5 1 5 设函数f x 3x2 2在x0