学解题的历程.doc

刚才的发言夸张宣传研讨平台首创解题高级研讨 专家引领倾情打造解题专家第八期数学解题高级研讨班 解题能力中学数学教师的核心竞争力解题专家价值发展平台的专业制高点老师们，热心数学解题的同志们：各种研讨会大家司空见惯，但数学解题研讨班却是首创，感谢中学数学教学参考编辑部继七期高级研讨班之后又为我们安排了这次难得的聚会在这个高温炎热的夏日里，有这么多的热心人（11省市300多人）不惧酷暑，相聚在美丽的海滨城市连云港实在是一种缘分，但“如其说是我的幸运，不如说是数学解题的幸运”，“不如说是中国数学教育工作者对数学解题的理论建设情有独钟、充满着渴望与追求”（数学解题学引论第二版印刷说明）时代在发展，数学教学也在发展，除了爱心和良心不变之外，教师的角色也在变化：从经验型教师到技术型教师、再到研究型教师，亦已产生了很多很多的名师，但没有产生多少教育家为什么有这么多的名师却只有这么少的教育家呢？值得研究（教师教学的三个境界六个层面）我没有结论，但我认为中学教师成长为教育家是天经地义的教师再也不能迷信蜡烛“照亮别人，毁灭自己”了（“蜡烛观”虽然曾经给教师们带来过颇为悲壮的安慰，但从未带来过振奋与激励），中学教师应该改变“蜡烛”为“航天火箭”，它熊熊燃烧把一个又一个卫星（学生）送进轨道，而自己的飞行水平也一次比一次更好、一次比一次更强、一次比一次更高我们的研讨班是为教师成长为“航天火箭”服务的，下面，我想简要介绍一下这次会议的研讨目的、研讨内容、研讨方式和研讨安排一、研讨目的体现在“研讨平台首创解题高级研讨、专家引领倾情打造解题专家”两句口号中1提供研讨平台我们是围绕中学数学教师的解题和解题教学中进行系列和互动式研讨，并且，这个平台有广阔的时空，不仅仅是这五六天、也不仅仅是口头交流，还有中学数学教学参考杂志，这是一个强大的、具有全国影响力的讲台，等待大家登台演讲2打造解题专家要成为解题专家，就要提高“核心竞争力”，占领“专业制高点”，那什么是中学教师的“核心竞争力”呢？什么是中学教师的“专业制高点”呢？我们认为，解题能力是中学数学教师的一个核心竞争力，解题专家是教师发展平台的一个专业制高点3建设解题理论数学解题没有系统的理论不能继续下去了，应该在我们这一代结束我高兴看到，历届学员中，有江苏省的朱占奎老师写出了数学解题的“分级管理战略”初探，对数学解题进行了理论思考；江苏的卢定波老师写出了二次函数的解题汇报，把解题理论应用于教学实践的勇敢探索；河北的段玉波老师写了好几篇文章，涉及解题理论4增强写作能力七期高级研讨班下来有了一些成果（但还不显著）：上面已经说到朱占奎老师、卢定波老师、段玉波老师，还有：河南的王安寓老师（第一期）在会议期间写出失败的技巧浅析一道排列组合题的错解原因；深圳的刘会金老师（第二期）也在会议期间写出了“教育叙事”；深圳的刘焕玉老师谈了2010年广东高考21题的新看法，泰兴市黄桥初级中学黄玉华写了在数学解题中试行波利亚“怎样解题表”的做法和体会；广东省佛山市南海区南海执信中学柳江林谈了2011年高考全国卷（理科数学）的一道解析几何题的三十余种解法；四川丰都二中蒋良平也写了好几篇文章（2011，8，10发来一题解法歧异的解析心路）；江苏省滨海县明达中学单正才老师（第六期）例谈“错解分析”文章的两大看点已发表在 中学数学教学参考（上）2011年第11期；江苏省海安县李堡镇初级中学刘东升（第六期）在教学中践行“解题分析”，写成文章：“解题分析”的意义不止于“学会解题”；浙江省天台平桥中学 张启蒙老师（第七期），写成文章“解题示范高中数学课堂教学的核心示范”但总体看成果还不够显著、还有待显著 5提高教学效能当前的数学教学效能不高，我的想法是通过认识解题规律来增强解题教学的效能江苏省大丰市第七中学卢定波（2009，2，11）：听您的讲座,这是我一生的荣幸.在几天的研讨班学习中,让我大开眼界.感受颇多.我的心情没有平静过,我为罗增儒教授的成长经历而震惊,为您的学习方法而叫好,在来之前,我已经在多家报刊杂志上看到过罗教授所写的文章听过别人对他的评价,使得他成为我崇拜的偶像,在听了罗教授的讲座后,更加深了对我的影响. 杭州江干区初中数学解题教学90学时集中培训日记（采荷中学 郑华，2012，7，19）：听了几天的课，回想起罗教师的风格是什么？在我大脑里出现的首先是风趣，罗教授的风趣并不是众人理解的幽默听他的课很有趣，一个又一个数学问题抛出、分析、解决，本来是很枯燥的报告让我们数学老师都听的津津有味便是证明但是他在课堂上并不讲笑话来惹大家发笑，他的整个报告会都是在讲数学，但大家的笑声却时不时出现他仅仅是利用数学题目中出现的问题，加以分析，加以联系，让我们区的数学老师听的兴致勃勃，动不动会心一笑，一天的培训时间感觉过的好快二、研讨内容1以中学数学解题的理论与实践为基本素材，研讨两个基本问题：问题1：怎样解题； 问题2：怎样学会解题 主要参考文献【1】罗增儒中学数学解题的理论与实践南宁：广西教育出版社，2008，9【2】罗增儒数学解题学引论（第二版）西安：陕西师范大学出版社，2008，9 2希望大家根据自己的解题实践，思考、畅谈“什么是解题”？希望大家根据自己的教学实践，思考、畅谈“怎样学会解题”？“怎样进行高效的解题教学”？请在你的笔记本中写下“什么是解题？”“怎样学会解题？”一周后对照三、研讨方式方式1：“讲授讨论自学写作”相结合；方式2：“自我反思同行互助专家引领”相结合希望大家不要只是带耳朵（听）、眼睛（看）和手（记）来，还要带上嘴巴和脑袋来，就是说不能光听、光看、光记，更要思考、要发言、要写作我体会，教学实践和专业写作是教师成长、转型、提高“核心竞争力”、占领“专业制高点”的有效途径，是研究型教师、名牌教师产生与发展的摇篮四、研讨安排时间上 午下 午晚上719开幕式学解题的历程（阅读：文献2前言、附录3）解题研究的现状分析（阅读：文献1第1-1节）复习预习交流写作720 什么是数学解题（阅读：文献1第1-2节）怎样学会解题（阅读：文献1第1-4节）721 解题推理论（阅读：文献1第2-1节）解题化归论（阅读：文献1第2-2节）学习考察722 解题信息论（阅读：文献1第2-4节）解题差异论（阅读：文献1第2-6节）723 解题坐标系（阅读：文献1第2-7节）解题案例分析闭幕式参考文献 1罗增儒中学数学解题的理论与实践南宁：广西教育出版社，2008 2罗增儒数学解题学引论（第二版）西安：陕西师范大学出版社，2008第一讲、学解题的历程（阅读文献2：前言、附录3）主要介绍笔者解题理论的产生与形成过程，同时也提供这几天内容的概貌第二讲、解题研究的现状分析（阅读文献1第1-1节）主要介绍解题研究的基本工作和解题研究的存在问题，会涉及成功解题的基本要素（阅读文献1：第1-3节）和解题错误的主要类型（阅读文献2：第7-3节）第三讲、什么是数学解题（阅读文献1：第1-2节）主要介绍我对解题概念的基本看法，如什么是题？什么是解题？什么是解题理论？还会涉及一些名词，有解题思想、解题观点、解题目的、解题过程、解题程序、解题方法、解题原则、解题策略、解题分析、解题力量等将概括数学解题新概念 第四讲、怎样学会解题 （阅读文献1：第1-4节，第三章）主要介绍我对学解题的基本看法，包括学解题的“四程序”建议与“两步骤”做法 第五讲第十讲、介绍几个主要的解题理论（阅读文献2：第二章）如解题推理论，解题化归（化简）论，解题信息论，解题差异论，解题坐标系等这将渗透大量的解题案例最后我想强调一下，我在这个研讨班所说的内容，基本上都是我的个人体会，只表明有人这样看、有人这样想、有人这样做，既不一定是准确的、更不一定是正确的，我不求大家包含原谅，但求大家批评指正共勉：一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者或时：一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者 数学上负数比零更小，教学中失责比未知更糟数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌最后，预祝会议圆满成功，预祝大家假期快乐 罗增儒，2013-7-19先做两个练习练习1（自行车问题的解题分析）第一、案例的呈现例1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？ （请用方程或算术等多种方法求解然后想想如何让学生也会解）解法1 解法2解法3困难在哪里？（1）不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了（2）感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚（3）理不清题目的条件是什么特别是“自行车的前轮后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交叉在一起，理不清“自行车的前轮后轮”的数学含义是什么（参见图2）（4）理不清题目的结论是什么表面上，结论是求“一对新轮胎行驶多少”写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？（解题的干扰因素） 如果你不能求解，没关系，请先做第2题例1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3 一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第3题，请返回做第2、1题；如果你不能求解第3题，请看第4题 例1-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这是标准的工程问题了最终至少要用两个以上的解法完成第1题希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么第二、案例的分析解题分析1：关于解法解法1 （方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组） 两式相加，得 则 （） 作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解题”这只不过是新的开始反思分析当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧特别是，这个解法对“字母表示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺术但也正是这些技巧给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？第1次反思：既然都只有辅助的作用，而、式的等量关系也被更实质性的式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住式这个本质结构呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的，有（可以不列方程组，列方程就行了） 解法2：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为又设一对新轮胎可走，则一对轮胎分别在前后轮各走了，有 则 （） 说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、“整体”得出式第2次反思： 这个解法中只有辅助作用，能不能也去掉？怎么去？另外，由及中的运算式，我们看到了一种结构工程问题（这正是上述教学设计的一个基本考虑），我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有（解法2暗示了解法3）：解法3：（算术解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶”（）说明2：这个题型小学说是“工程问题”，到中学可以说是“调和平均”（高中），“反比例函数模式”（初中）第3次反思： 解法3是在、中取（这是小学的惯例），请问只能取1吗？回答是：取5000与3000的最小公倍数更方便有解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（） 说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”第4次反思：解法1由目标牵引，进行了、“两式相加”，而由两式相减呢，立即可得，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程这个实事有明显的几何意义：方程组、中的两条不平行直线关于对角线对称，其交点在对角线上（或说两个互为反函数的图像两条直线，相交于对角线），有解法5 设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸当自行车行驶到时，磨掉了一半的磨损量（正好等于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废于是一个新轮胎的总磨损量前进的磨损量返程的磨损量，有 ， 得 图1不管题目还会有的多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法这可以认为是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”解题分析2：关于教学设计的意图 这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有三个基本的考虑（不知在大家的体会中有没有谈到）（1）解题化归的教学设计如果你不能求解第1题，请先做第2题；如果你能求解第2题请返回做第1题，如果你也不能求解第2题，请先做第3题；如果你能求解第3题请返回做第2、第1题，如果你也不能求解第3题，请先做第4题，一路转化为基本题型这就是化归：把一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题（2）揭示问题的深层结构自行车问题有工程问题的深层结构可列表说明如下：例1-1自行车问题例1-2工程问题一对轮胎的磨损（感觉磨损有破坏性）一件工程（感觉工程有建设性）磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）轮胎有两个 工程有两段（甲乙轮胎对应前后两段工程）甲、乙轮胎磨损量相等前、后两段工程量相等轮胎放在前面位置行驶5000报废甲工程队干前段5000小时完成轮胎放在后面位置行驶3000报废乙工程队干后段3000小时完成如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废（交换前、后轮胎好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”？）如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工（甲、乙两工程队交换不交换是非实质的，使前、后两段同时完工即可）这辆车将能行驶多少？整个工程几小时完成？ 可见，“自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！甲乙轮胎对应前后两段工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（轮胎是工程、位置是工程队、磨损是干工程，如图2）于是，从工程的观点看例1-1，可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎，自行车的前轮位置需走5000（完成工程前半段甲工程队需5000小时），其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需走3000（完成工程后半段乙工程队需3000小时完成）；结论是：求自行车的前、后轮一起磨完两个新轮胎需走多少（甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成）图2（3）沟通一题多解的内在联系从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，我们说三类解法不是各别孤立的由（或）式有（）这是方程解法的结果，约去（或说令）便是工程解法，而取，就是技巧解法所以，三类解法是可以沟通的也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构解题分析3：工程问题的深层提炼 题目 完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是： 工作效率工作时间=工程总量（定值） 对这个基本关系作抽象，有 单位量单位数=总量（定值） 再作形式化抽象，得 （定值）可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式：（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系这是反映题型特征的基本关系（对应工作效率，对应工作时间，对应定值工程总量）（2）甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着在反比例函数中因变量取（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值: 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数（工程总量）和自变量（每个工程队的工作效率），也能求出函数值（两个工程队一齐干工作时间）（4）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是：对反比例函数，给出函数值，求其求解步骤是：首先将表示为，然后代入所求式 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数和自变量，也能求出函数值（5）如果把工程平分为段，个工程队干每一段分别需天，则个工程队一起干需天完成有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决例1-6 某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟例1-7 向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙头12小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？例1-8 有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要6小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走甲乙同样的距离需要几小时？例1-9 从甲地到乙地，客车需小时，货车需小时，现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？例1-10 某公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，已知一汽车上坡时速度为千米小时，下坡时时速度为千米小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度例1-11 小王从甲地到乙地往返的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则 （ A ）（A） （B） （C） （D）（2012高考数学陕西文科第10题）解 设甲乙的路程为S，则往返为2S，又小王从甲到乙用时为，从乙到甲用时为，往返共用时，其全程的平均时速为，下来取的特殊值便可比较出算术平均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的得分率只有014，比随机回答的得分率025还低，这再次说明，人们认识“调和平均”的结构是有难度的例1-12 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2,v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 （A）（B）（C）（D）（2007高考数学陕西文科第12题）例1-13 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-14 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-15 如图3，在直线上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2米，3米，6米现作一平行于底的直线，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，求之间的距离 图3解题分析4：对“学解题、教解题、编习题”的启示总结上面的讲解，每个人都有机会领悟一些有益的启示（千万别进宝山而空还），由于这是一个个性化的经验生成过程，认识的差异是难免的，作为抛砖引玉，我们谈三点启示就教于同行 （1）关于解题学习的启示解题获得答案是必要的，但学解题不要满足于获得答案，继续分析解题过程是认识问题深层结构、学会怎样解题的有效途径如同大家所看到的，对本例的反思分析就如同给我们的眼睛配备了显微镜和望远镜，既看得更细了（微观更透彻），又看得更远了（宏观更开阔）（2）关于解题教学的启示解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程暴露数学解题的思维活动没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是时间的低效消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来对于本例，我们建议：不妨依次转化为例1-2、例1-3、例1-4进行化归思想的教学；或者反过来回忆小学时的例1-4，然后逐步深入到例1-3、例1-2、例1-1，从小学的“公式”讲到中学的“方程”进行模式提炼的教学（数学是关于模式的科学）把获得答案转变为获得答案的过程、转变为渗透数学思想方法的活动过程（3）关于习题编拟的启示沿着例1-4、例1-3、例1-2、例1-1的路线，我们可以从教材出发编拟出很多习题，既实用又易行，于是，我们每一个教师都可以方便地在自己的每一节课上 进行“变式练习”，并把中国数学教育的“变式教学”传统发扬光大 （罗增儒：一个自行车问题的教学分析中学数学教学参考（中旬），2013，12）练习2（空间图形的最短路程）例2-1 （2005年贵阳中考）如图1，一圆柱体的底面周长为24，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程大约是（ ） 图1（A）6 （B）12 （C）13 （D）16 解 把圆柱体沿母线展开，得图2所示的矩形，从点到点的最短路程就是线段的长（路径）因为的长是底面圆的周长的一半12，高的长是4，所以在直角中，由勾股定理得 （cm） 图2标准答案选（C）同意的举手不同意的站起来首先指出，上例的处理中有三个“化归”是很好的：化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题； 化归2：把一个空间问题转化为平面问题；化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形（用到两点之间直线距离最短）但是，在把空间图形展平时没有注意到由点到点有两类路径：路径1：只走侧面展平后，转变为“两点之间直线距离最短”；路径2：既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞1），更没有看到第二类路径的多样性（逻辑漏洞2）如图3，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离： 第一条，如例1所述，是沿侧面展平后的直线距离，有第二条，是先沿侧面走母线，然后走圆的直径，展平后有由于，所以比更小例1的答案是错误的 图3那么，是不是任何情况下都有呢？请看下例例2-2 如图1，一圆柱体的底面周长为16，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 解 如图3，沿用例1的解法，有 ， ，但，所以那么，什么时候小、什么时候小呢？考虑更一般性的情况例2-3 如图1，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程解 如图3，沿用例2-2的解法，有 ， 分三种情况讨论：（1）（2）（3）记常数为，可见，与的大小关系有三种情况：当时，沿侧面爬行的路程最短，为；当时，先竖直向上爬到的正上方，再沿直径爬到点的路程最短，为；当时，两种爬行方式的路程一样这种讨论已经很细致了，问题已彻底解决了是吗同意的举手不同意的站起来我们说，这依然有逻辑的漏洞为什么只有这两条路径呢？ 事实上，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的路径，除了以上两种之外，还存在无穷多条从到的路径如图4所示：，其中是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），是上底面两点之间的直线距离，、也有可能三点共线图4如图4，考虑例3设圆心角，则，展平后，为圆与矩形的切点，为折线，在直角中，有，在中用余弦定理，有 ，得的长度为（的函数） ，（）当时，当时，下来要找的最值（暂不展开）（罗增儒圆柱表面最短路径问题的解决中学数学研究（广州-上半月），2012，2，又见于数学通报2012，3P42：圆台上蚂蚁爬出最短路径问题）学解题的历程 对于数学教师来说，再也没有比“数学解题”更熟悉的专业词汇了，再也没有比“解题教学”更平常的专业活动了，但是，“什么叫题、什么叫解题、什么叫解题教学”我们都能说清楚、讲明白吗？说来见笑，笔者确实曾经想了好多年没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的尴尬：解了一辈子题说不清“什么叫解题”，教了一辈子书说不清“什么叫解题教学”于是，笔者思考、实践、并最终写出了“数学解题”的书（数学解题学引论），下面介绍的是我学解题与思考解题理论的三个阶段 1从数学解题到数学解题学引论1-1数学解题 解题是找出数学问题答案的活动例题讲解、习题求解、定理证明以及实际问题的建模解决等都是解题 解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式数学教育中真正发生数学的地方都一无例外地有数学解题活动(否则会有人问：这是数学吗？这是在学数学吗？) 数学解题又是掌握数学、学会“数学地思维”（通过数学学会思维）的基本途径，概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、数学思想的领悟、数学态度的养成等都离不开解题实践(没有勤奋而得法的解题训练，谈不上掌握数学) 数学解题还是评价学习的重要手段，尽管不应视为唯一的手段，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式(课后作业、期末考试、升学选拔等都要解题)数学解题能力是中学数学教师的核心竞争力，数学解题是中学数学教师价值发展平台的专业制高点（兵力、兵器、兵法）对笔者而言，数学解题更是贯穿全部学习生活乃至整个生命历程的侣伴 因此，“怎样解题”、“怎样学会解题”(进而，怎样学会数学)，从来就是千百万中学生心头的一个问号，从来就是千百万数学教师要努力回答的一个理论与实践问题当笔者把自己作为研究中国数学教育的一个案例的时候，也就身不由己、并情不自禁地把数学解题作为我对中国数学教育表态的一个讲台拙著数学解题学引论(见文1)是“植根于中国宏大的解题实践”基础上，试图回答怎样解题、怎样学会解题的个人思考与理论尝试（中学数学解题的理论与实践是10年后的理论提高）1-2数学解题学引论事情可以追溯到1987年，当时我从陕西耀县水泥厂子弟学校转陕西师范大学还不到两年教研室安排我给数学教育方向的研究生开设“数学解题”课，没有现成教科书，我列了个提纲，抱着一大堆书报杂志(包括一批高考题、竞赛题)就去上课，介绍解题著作(波利亚怎样解题等)，分析解题过程(多是个人体验)，于1988年整理成数学解题理论讲义随后3次修订、4次油印，作为高年级学生的一门选修课，持续讲授了10年(十年磨一剑)，当中的一些观点(如文2解题坐标系的构想)和解题案例分析曾在杂志上发表，受到一些同行的关注1996年6月定稿为数学解题学引论(以下简称引论)交陕西师范大学出版社，由于预订情况欠佳，补签了个内部协议后，于1997年6月出版没想到，引论的问世竟突破了学术著作发行难的沉闷局面，仅半年的时间第1次印刷基本售完，并获“第七届全国教育图书展优秀专著图书奖”(1998，5)，读者遍及全国各省、市、自治区(后来也偶流海外)1998年5月第2次印刷，2001年7月又作为“罗增儒数学教育书系”中的一本，第3次印刷这期间，有多家报刊载文介绍本书(如文36)，有十余所兄弟院校邮购本书作选修课教材，有几十篇文章在写作中把引论列为参考文献(另有未注明出处的引用或全文抄袭)；更有一批中学或教研室认定本书为教师进修必读、首读之资料运用本书观点创作的怎样解答高考数学题(1994，2)、数学的领悟(1997，2)、高中数学好题巧思妙解(1997，2)、直觉探索方法(1999，9)等书已发行达到六位数1998年9月23日中华读书报载文一本从中学生到大学教授都看的数学书(文1)，立即被兄弟报刊转载，掀起了一个购书小高潮，连不搞数学的人都要收藏，似乎“没有数学解题学引论的书架是尚未完整的书架，未读数学解题学引论的教师是不无遗憾的教师”2004年7月，脱销多时的引论在读者的呼唤声中第4次修订印刷趁此机会我曾回顾一下自己学数学、学解题的历程和所产生的初步影响，一方面为读者的阅读提供一些背景资料，另一方面为有兴趣的同行提供一个“从一般性学习到创造性学习”的研究案例（2008，9第5次印刷、出第二版）回想起来，我学数学、学解题（也是教数学、教解题）的几十年体验已经走过了三个阶段，即自发领悟的三步骤程式、自觉领悟的三步骤程式和自觉分析的四步骤程式2第一阶段：自发领悟的三步骤程式2-1“学校工厂学校”的循环记得我当学生的时候，遇到了但没有系统思考过怎样学解题，6年小学(19501956)、6年中学(19561962)，我的数学学习没有什么诀窍却总能轻松过关，听课没有困难，作业顺利完成，考试不用复习有时也幻想有一把“能打开所有题目大门”的万能钥匙，但还没有进行具体的探索就进了大学数学系(1962年，中山大学)本来，大学生应该开始更多的理论思考，包括想一想“怎样学数学”、“怎样学解题”，但学数学的实践挤掉了我想“怎样学”的时间，很快，全校就都投入到政治运动中去了，下连队当兵(3个月)、下乡搞“四清”(1年多)、停课闹革命(直到离校)、“文化革命”的折腾代替了革命文化的学习，直到1968年“毕业”(既未修完规定的课程又比规定的毕业时间晚了一年)，连自己也说不清楚，是怎样学解题的进入社会之后，我有十年的时间(19681978)在耀县水泥厂矿山工作，几乎没有接触到任何数学，也不知道日后还能不能接触数学1978年，在“科学的春天”中，我从矿山被转到子弟学校教数学(横跨初中、高中、电视大学)，面临着学数学与教数学的双重任务(参见文7)2-2学与教的双重任务促使行动2-2-1学与教的双重任务这是走过那个动荡的年代、发现自己还来得及思考的第二次学习，其学与教的双重任务是：(1)学数学的任务告别学生时代十年，再加上在校折腾的两年多，我早忘了当初所学的数学(连数学书都找不到)，也忘了自己当初是怎样学数学的，我必须带着这一切都忘却之后所剩下的最后成果数学的精神、思想、方法和价值，去重新学数学、尽快学会学数学(2)教数学的任务我没有教过数学，也没有学过教数学，还忘了当初老师是怎样教我们学数学的(还记得老师的名字)我必须白手起家、从头开始学会教数学，迅速胜任教数学就是说，直到1978年，历经了“学校工厂学校”的十年循环之后，我才开始自觉的理论思考和日以继夜的实践：怎样学数学？怎样教数学？怎样学解题？怎样教解题？2-2-2第二次学习的特点如果说这是一个姗姗来迟的挑战的话，那我也是把它作为充满机会的挑战，甚至更多的是把它作为具有挑战性的机会的正是在多年忘却与双重任务的背景下，才使得我的解题学习具有自己的特点：(1)既有现实的紧迫感，又没有“先入为主”的传统包袱，学习同时兼有自觉复习与自主反思的双重性质(2)既能以教师的眼光去洞察学生的心理，又能以学生的身份来影响教师的工作，一身同兼新学生与新教师的双重角色这是一种成人的自主性学习，与单纯当学生或经过训练合格之后才当教师的环境都是不同的我珍惜这些特点所提供的机遇，在学与教的结合上争分夺秒地做了5项工作2-2-3尽快适应教学的5项工作(1)我反复阅读课本(从省编教材到统编教材)，逐一推敲每一概念的本质含义，内在理解各个章节间的纵横联系因为不懂，所以就思考是什么？“”号有哪些含义？什么叫方程（是方程吗）？不等式的本质是对相等关系的否定还是对大小关系的肯定（是不等式吗）？根式与无理式有什么联系与区别？绝对值的本质是什么，它有哪些变形？二次方程的求根公式有哪些配方途径，公式本身如何体现数学美？如何理解初等函数的定义（是初等函数吗）？怎样设计数学归纳法的引进（如何体现递推的无限性）？（函数是对数函数？是指数函数吗？）如此等等问题虽然基本，但对我却十分新鲜，我必须先搞清楚，然后才能向学生讲明白应该说，这些问题一般中学生不会提，而训练有素的新教师又不足道，历史就给了我一个思考与试笔的特定机会日后，这些思考大都变成公开发表的文章 (参见1982年数学爱好者第4期，1983年 “铜川教育”第1期，1983年中学生数学第6期，1983年数学通讯第3期、第4期，1983年中学数学研究（南昌）第5期，1984年中小学数学第1期，1984年国内外中学数学第4期，1984年数学教学第6期，1985年中学数学（现在的中学数学月刊）第3期，1985年在数学教师第6期等)(2) 独立演算了各册课本的例题、习题，并反思解题过程这与中学生做作业是不同的，与教师对照教学参考书看题解也是不同的（1978年的省编教材找不到参考书，作业没有现成答案）独立演算有较高的自觉性和较多的再发现机会，发散思维、求异思维较容易展开特别是所经历的直觉与逻辑交错的过程，所获得的失败与成功兼收的体验，实在是前所未有的其中的一些处理，后来也陆续见诸报端如1982年在中学数学教学第3期提出用两直线重合的方法证明条件比例式（课本习题）（）1982年在福建中学数学第5期发表高考附加题趣谈1982年在中学理科教学参考资料（南宁）第12期谈一道习题的启示1983年在数学通报第7期谈行列式的应用1983年在中学数学（武汉）第2期谈真分数不等式的应用1983年在中学数学研究（广州）第1期谈利用单位圆证明三角条件等式1984年在中等数学第3期谈一道例题的订正 1984年在数学教学通讯第5期谈一道美国数学竞赛题的旋转解法1984年在中学数学教学（现在的上海中学数学）第2期谈一道例题的讨论1985年在数学教学第2期谈一堂三角习题课1985年在中学数学教学（合肥）第5期试论如何求方程组的实数解兼纠正一个流行的错误1985年在湖南数学通讯第5期谈的十种证明1985年在中学数学杂志第5期谈要注意选择题的科学性（3）系统演算了历年高考试题和国内外数学竞赛题从1980年高考阅卷开始，我长期参与高考阅卷，研究高考解题和高考命题，积累了解常规题、综合题的解题经验（后来，经历了高考辅导、高考阅卷、高考解题、高考录取等全程工作）从1984年高中数学联赛成功供题开始，我对数学奥林匹克的试题研究与命题参与（已录用21道初中联赛、高中联赛和冬令营正式试题），又积累了处理非常规题的解题经验这两方面的结合，丰富了我的解题体验，提高了我的解题能力，并构成了我日后的两项特色工作（数学解题学的建设、数学竞赛学的建设）奥林匹克数学学科建设，于1993年获普通高校优秀教学成果国家级二等奖（陕西省一等奖）着眼数学素质，服务基础教育数学高考解题理论的建设，于1995年获普通高校优秀教学成果陕西省二等奖（4）将数学教学的全过程设计为六张教学表，并严格执行有教学日进表（需假期备好下学期的课）、全章安排表、课堂安排表（另有15-18页详细讲稿，必须有、未必带）、全章小结表、试题分析表、习题处理表，这就把教学工作程序化了，成为我初为人师时自我加压、并摆脱“低效教学”的一根拐棍，日后又发展成为我的一项特色工作（数学教学艺术的理论与实践）示范教学法，于1989年获高校省级优秀教学成果三等奖数学教学论课程建设与改革实践，于2003年获高校省级优秀教学成果二等奖构建西部教学团队、深化数学教育课程建设与教学改革、积极服务基础教育，于2009年获高等教育国家级优秀教学成果一等奖（5）订齐了所知道的中学数学报刊（坚持至今）约有二三十家吧，认真学习后，每篇文章都做成小卡片，既广泛吸收全国同行的教学经验、数学认识，也熟悉了发表文章的园地（因为我没有时间像大学刚毕业的小青年那样去从容熟悉讲台，所以，我必须一开始就像“刊物上的老师”那样当老师、教数学这些“刊物上的老师”也就成了我“初为人师”时模仿的对象和努力的目标）这些努力，使我能较快适应中学各年级的数学教学工作，从教两年后开始发表文章(1980)，并陆续覆盖二三十家中学数学报刊，“秋天的园子里，开出了几朵迟暮的花”可以说，已基本完成从矿山职工到中学教师的角色转换，也算是对双重任务的一个初步交代在这个转换中我看到了自己学解题的三步骤程式（“刊庆有情思缘遇 文章无意写流传”见中学教学参考刊庆40周年文章，中学数学教学参考，2012，10）2-3学解题的三步骤程式及其反思2-3-1三步骤程式我在角色转换中凸现出来的三步骤程式是：简单模仿反复训练自发领悟(1) 第1步：简单模仿即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题、加深印象、增进记忆我当学生时做的作业，初为人师时演算省编、统编教材的例题、习题，都属于这一步骤的内容(2) 第2步：反复训练即通过多做题、做层次逐步提高的题，去巩固所学的数学知识，去掌握更多的题目类型，去沟通更广泛的数学联系我上中学时主动演算老师未布置的课本习题或课外题，上大学时大量演算吉米多维奇的数学分析习题集，初为人师时演算历年高考题和数学竞赛题等，都属于这一步骤的内容(3) 第3步：自发领悟即在模仿与练习的基础上，在积累与体验的过程中略有所悟这在具体求解一道题目时，有久思不解间的突然明白；在学习数学的过程中，有长期积淀后的豁然开朗但这一切常常是直觉的，连自己也说不清到底是怎么回事，有些巧念头、灵顿悟，亦很快就忘了回想起来，这正是我早年学数学、学解题的基本程式，也是我初上讲坛时(1978)教数学、教解题的基本程式，时间持续到20世纪80年代初期这种程式体现了接受记忆知识练习巩固知识顿悟形成理解这样一个逐步深化的认识过程，其解题的策略基础是模式识别，其自发领悟的理论合理性能从内隐学习和直觉思维中得到解释其第1、2步的自觉实施和积极推动，与注重“双基”的中国数学教育传统特色是一致的但是，这种程式的第3步是不自觉的，含有传统教学重知识、重结论的诸多弊端，我在边学、边教、边思考的过程中感到有改进的必要2-3-2对自发领悟的反思打倒“四人帮”之后，数学教育表现出一种“拨乱反正”、急起直追的态势高考恢复了(1977)，竞赛恢复了(1978)，新的统编教材亦很快就出来了(1979)高考命题作为指挥棒正逐渐从知识型向能力型、素质型的方向发展（恢复高考的头二三年，重在“考知识”，曾有“高分低能”的非议；1984年“出活题、考能力”，学生成绩低、教师有看法；1985年开始“出活题、考基础、考能力”，逐渐趋于平稳但高考命题“稳中求变、稳中求新、稳中求进”从未停步，单项选择题(1985)、开放探索题(1993)、信息迁移题(1994)、应用题(1993)、开放题(1998)等题型纷纷出现；1996年提出“数学思想方法”的考查，1999年提出“能力立意”；这期间，已完成了从经验性命题向标准化的过渡，并不断探索从“应试教育”向素质教育转变的高考改革）停留在“自发领悟”三步骤解题程式的解题教学，出于对第3步的无奈，更把劲使在第1、2步上，题海战术应运而生数学逐渐成为中学各课程中耗时最多、负担最重或最令人生畏的一门学科，在“应试教育”中，数学是“挑选适合教育儿童” 的一个筛子就解题而言，我感到问题出在“自发领悟”上，想通过加强第1、2步来解决第3步的问题首先是隔靴搔痒，其次是适得其反是的，内隐学习有合理性，但对抽象性(并且形式化)、逻辑性都极强的数学而言，第3步缺少外显学习无异于一条腿走路；是的，用模式识别解题(特别是