自考概率论与数理统计随机变量及其概率分布.doc

第二章随机变量及其概率分布内容简介1.本章引入随机变量及其分布函数概念，讨论了离散型和连续型两种随机变量，介绍了几种常用的随机变量。2.本章重点内容包括：离散型随机变量及其分布律，连续型随机变量及其概率密度，二项分布与正态分布。考点分析 2 选择题2题4分1题2分2题4分填空题2题4分2题4分2题4分计算题1题8分综合题1题4分1题12分合计5题12分4题14分5题20分内容讲解2.1离散型随机变量 1.随机变量的概念（1）引入随机变量的理由： “常量”到“变量”； 全面研究随机试验的需要。（2）如何引入：一类：随机试验的结果用数量表示的，直接数量化。如：掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则X1，2，3，4，5，6分别表示事件“出现一点”，“出现二点”，“出现六点”。另一类：试验结果不是用数量表示的，如：掷硬币，双方比赛的结果等，可以人为赋值，如掷硬币，设结果为随机变量Y，“出现正面”用“Y1”表示，“出现反面”用“Y0”表示。如果双方比赛结果使用记分法，可以用分数表示，“Z3”表示“胜”，“Z1”表示“平”，“Z0”表示“负”，等等。（3）定义：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个样本点，有一个实数X（）与之对应，则称XX（）为随机变量，记做X, Y, Z,。（4）解释： 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”； 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为X4，“不少于4点”可表示为X4,等等。 所以，其概率可表示为PX41/6, PX41/2。2.离散型随机变量及其分布律（1）离散型随机变量定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。如掷骰子出现的点数，医院门诊一天接待的患者数，某停车场内停放的车辆数，等等，都是离散型随机变量。（2）离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，xk，且PXxk pk，k1，2，则称 pk 为X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示： （3）分布律pk的性质： pk0，k1，2，； .反之，若一个数列pk具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。 （4）用途：可用分布律求任意事件的概率.例题1.P30 【例21】设离散型随机变量X的分布律为：求常数c。【答疑编号12020101】解：由分布律性的性质知1=0.2+c+0.5解得c=0.3。例题2.P31 【例24】已知一批零件共10个，其中有3个不合格，现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。【答疑编号12020102】解：X的取值为0，1，2，3。设Ai（i=1，2，3，4）表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算得PX=1=PX=2=PX=3=故X的分布律为例题3.P31 【例25】对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。【答疑编号12020103】解：X的取值为1，2，。设Ai（i=1，2，）表示“第i次射击未中”，事件X=k表示“前k-1次射击未中，第k次命中“，则，而每次射击命中与否又是相互独立的，即A1，A2，Ak相互独立。X的分布律为=（1-p）k-1p，k=1，2，。3.三种常用的离散型随机变量的分布（1）01分布（两点分布）定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0p1，q1p, 则称X服从01分布，其分布律为举例：掷一枚硬币出现正面，向靶子射一发子弹等。（2）二项分布定义：若随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，n其中0p0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。在实际计算中，当n20，p0.05时计算效果颇佳。例题6.P33 【例28】一个工厂生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算：（1）其中至少有两件是废品的概率；【答疑编号12020106】（2）其中不超过5件废品的概率【答疑编号12020107】解：设X表示任取的1000件产品中的废品数，则XB（1000，0.005）。利用泊松定理中的 公式近似计算，=10000.005=5。（1）PX2=1-PX=0-PX=1。（2） PX5=0.6160。最后一步为查附表2而得。此处还用到。（3）泊松分布定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，n，而X的分布律为，k0，1，2，其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记做X P（）.例题7.P34 【例29】设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求（1）PX=10；【答疑编号12020108】（2）PX10。【答疑编号12020109】解：（1）查附表2中这一栏的数据，可得PX=10=PX10-PX11 =0.018133（2）PX10=1-PX11 =0.986305例题8.P34 【例210】设X服从泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求PX=4【答疑编号12020110】解 设X服从参数为的泊松分布，则， 由已知得解得=2，则 2.2 随机变量的分布函数 1.分布函数的概念引入： 从数学发展的角度，引入函数概念是必然的； 此函数一定要与概率相联系。对于离散型随机变量X，事件可表示为Xb,Xb, aXb, 等等，选取一个函数F，把这些事件的概率用此函数的函数值表示出来，取函数F（x）P Xx就可以做到这一点，其中x为任意实数； 由于x的取值为任意实数，所以，对于离散型、非离散型随机变量，肯定也适用。定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（Xx），x（-,+） 为X的分布函数。离散型随机变量X的分布函数为.例题1.P36 【例211】设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数。【答疑编号12020111】解：当x-1时，F（x）=PXx=0；当-1x0时，F（x）=PXx=PX=-1=0.2；当0x1时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0=0.2+0.1=0.3；当1x2时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1=0.2+0.1+0.3=0.6当x2时，F（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1+ PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1则X的分布函数F（x）为F（x）的图形如下：由F（x）的图形可知，F（x）是分段函数，y= F（x）的图形是阶梯形曲线，在X的可能取值-1，0，1，2处为F（x）的跳跃型间断点。2.分布函数的性质（1）0F（x）1。（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x10,求常数a、b的值。【答疑编号12020112】解：=a+0=a，而F（+）=1，a=1 =a+b=0由此得b=-a=-13.用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则（1）PXb=F（b）；（2）PaXb=F（b）-F（a），其中ab=1-F（b）.例题3.P37 【例213】设随机变量X的分布函数为求（1）；【答疑编号12020113】（2）；【答疑编号12020114】（3）。【答疑编号12020115】解：（1） ；（2） ；（3） 。 2.3连续型随机变量及其概率密度 1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数f（x），使得对任意实数x，有，则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。解释：连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。（2）概率密度的性质： f（x）0； 设x为f（x）的连续点，则存在，且.（3）概率密度的直观解释例题1.P40 【例215】设随机变量X的概率密度为求X的分布函数F（x）。【答疑编号12020201】解：当x0时，当0x1时，当1x2时，当x2时，即X的分布函数为例题2.P41 【例216】设连续型随机变量X的分布函数为求（1）X的概率密度f（x）；【答疑编号12020202】（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。【答疑编号12020203】解：（1）（2）有两种解法：P0.3X0.7=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.4；或者P0.3X1500 （2）各元件工作相互独立，可看做4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则YB（4，），所求概率为PY=2。（3）所求概率为PY1=1-PY=0。2.三种常用连续型随机变量的分布.均匀分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为， 则称X服从区间a,b上的均匀分布，记做XU（a,b）。 （2）分布函数为分布函数图象如下图：（3）实际应用：查表时，认为两个修正值之间的数值服从均匀分布，在一段时间内，公共汽车达到的时间认为是服从均匀分布，等等。例题4.P43 【例218】公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在13分钟内的概率。【答疑编号12020207】解：设X表示乘客的候车时间，则XU（0，5），其概率密度为所求概率为P1x3.指数分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布，记做XE（）. （2）指数分布的分布函数为 ， （3）实际应用：电子元器件的使用寿命，动物的寿命，电话的通话时间，接受服务的时间等等，都可以假定服从指数分布。例题5.P43 【例219】设X服从参数为的指数分布，证明对任意的s0，t0，有.此性质称为指数分布的无记忆性。证明：对于任意的x0,.又因为，所以，则 .正态分布（1）定义：若随机变量X的概率密度为，x， 其中,2为常数，0，则称X服从参数为,2的正态分布，记做XN（,2）.（2）概率密度函数的性质：曲线关于直线x=对称，则对于任意h0，有P（-hx）=P（X+h）。当x=时取得最大值.在x=处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线.当给定，12时，对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.当给定，10，有。【答疑编号12020208】证明 。例题7.P47 【例222】设XN（1.5，4），求。【答疑编号12020209】=0.8413。.上侧分位数（1）定义：设XN（0,1），若u满足条件PXu=，0u0.1=0.11-PXu0.1=0.1PXu0.1=0.90查表：0.89971.280.90151.29 所以2.4 随机变量函数的概率分布 1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.2.离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量的分布律为则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.例题1. P51 例225【例225】设随机变量X的分布律为求的分布律。【答疑编号12020301】 解:因为所以Y只能取值1，0，1，而取这些值的概率为故Y的分布律为有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有，即把满足的 所对应的概率相加即可。例题2. P52 例226【例226】XB（3，0.4）令 ，求PY1。【答疑编号12020302】 解：= PX=1PX=2= PX=1PX=2- PX=1PX=2= 3.连续型随机变量函数的概率密度定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为.证明：略例题3. P53 例227【例227】设连续型随机变量X的概率密度为fx（x），令YaX+b其中a,b为常数,a0。求Y的概率密度。【答疑编号12020303】 解：y= ax+b x+y+即，+x=h（y）=例题4. P53 例2-28 【例228】，求：（1）的概率密度。 【答疑编号12020304】（2）YaX+b的概率密度。【答疑编号12020305】 解：利用例2-27所得的结论，fx（x）（1）,则 （2） 即.例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b，这两个结论十分有用，必须记住。例题5. P53 例2-29 【例229】设 ，令Y=tanX，求Y的概率密度fY（y）。【答疑编号12020306】 解：y=g（x）=tanx,值域为（，+），反函数x=h（x）=arctany, 记X的概率密度为fx（x）,则这一概率分布称为柯西（Cauchy）分布。例题6. P54 例2-32【例232】设X的概率密度为求的概率密度。特别地，当XN（0,1）时，求 的概率密度。【答疑编号12020307】 解：当y0时，Y的分布函数；当y0时，其中的分布函数，则（2.4.2）特别地，XN（0,1），则，由（2.4.2）式得，当y0时，而当，即 注意：设XN（0,1），则的分布称为分布，其自由度为1，记为Y.本书后面将会讲到一般的分布。第二章小结一、内容分布律二、试题选讲1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则_.【答疑编号12020308】答案： 2.（0404）设随机变量的概率密度为则 （）.A.B.C.D. 1【答疑编号12020309】答案：A 3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（）.A. 1 B.C. D. 1【答疑编号12020310】答案：D 4.（1003）设随机变量在区间2，4上服从均匀分布，则 （）.A. B. C. D. 【答疑编号12020311】答案：C 5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 _.【答疑编号12020312】答案：3 6.（0704）设每次试验成功的概率为，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）.A. B.C. D. 【答疑编号12020313】答案：A 7.（0715）已知随机变量 ，且 ，则_.【答疑编号12020314】答案：5 8.（0716）设随机变量的分布函数为，则常数_.【答疑编号12020315】答案：1 9.（0727）设随机变量服从参数为3的指数分布，试求：（1）的概率密度；【答疑编号12020316】（2） .【答疑编号12020317】 解： 10.（1028）司机通过某高速路收费站等候的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布，（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率 ；【答疑编号12020318】（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用表示等候时间超过10分钟的次数，写出的分布律，并求 .【答疑编号12020319】解： 第三章多维随机变量及其概率分布内容介绍本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。考点分析2007年4月2007年7月2007年10月选择题1题2分2题2分1题2分填空题2题4分1题2分2题4分计算题1题8分1题8分1题8分综合题1题4分合计4题14分5题16分4题14分内容讲解 3.1多维随机变量的概念1. 维随机变量的概念： 个随机变量，构成的整体（， ）称为一个维随机变量，称为的第个分量（ ）.2.二维随机变量分布函数的概念： 设（，）为一个二维随机变量，记 ， 称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数. 记函数 ， 则称函数 和 为二维随机变量（，）的两个分量 和 的边缘分布函数.3. 二维随机变量分布函数的性质：（1）是变量 （或）的不减函数；（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，； ，； （3）关于和关于均右连续，即.（4）对任意给定的，有 . 例题1. P62 【例31】判断二元函数 是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】 解：我们取,= 1-1-1+0=-10,不满足第4条性质，所以不是。4.二维离散型随机变量（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（1，2，），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.（2）分布律： 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（ 1，2，），（X，Y）的各个可能取值的概率为，（ 1，2，），称，（1，2，）为（X，Y）的分布律.（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式（X，Y）分布律的性质1 ，（ 1，2，）；2 例题2. P62 【例32】设（X,Y）的分布律为求a的值。【答疑编号12030102】解： （3）分布函数 由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数 . 例题3. P63 【例33】设（X,Y）的分布律为 求：（1）PX=0；【答疑编号12030103】（2）PY2；【答疑编号12030104】 （3）PX1,Y2；【答疑编号12030105】 （4）PX+Y=2 【答疑编号12030106】 （1）X=0=PX=0,Y=1PX=0,Y=2X=0,Y=3（2） Y=1=X=0，Y=1X=1，Y=1 Y=2=X=0，Y=2X=1，Y=2，（3）X1,Y2=X=0,Y=1 X=0,Y=2,且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2互不相容，所以PX1,Y2=PX=0,Y=1+ PX=0,Y=2=0.1+0.1=0.2（4）X+Y=2=X=0,Y=2X=1,Y=1,类似可得PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=0.1+0.25=0.35例题4. P64 【例34】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。【答疑编号12030107】解： PX=1，Y=1=PX=1PY=1|X=1=，所以X，Y的分布律为：（4）边缘分布律： 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为（或 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出， ， . 性质： 例题5. P64 【例35】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。【答疑编号12030108】 解：X与Y的可能值均为1，2，3.（X，Y）关于X的边缘分布律为：（X，Y）关于Y的边缘分布律为：可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。例题6. P65 【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。 【答疑编号12030109】解：（1）有放回摸球情况：由于事件X=i与事件Y=j相互独立（i，j=0，1），所以PX=0，Y=0=PX=0PY=0=PX=0，Y=1=PX=0PY=1=PX=1，Y=0=PX=1PY=0=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为（2）不放回摸球情况： 类似地有PX=0，Y=1=PX=1，Y=0=PX=1，Y=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为5.二维连续型随机变量的概率密度（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数，使得对任意实数x，y，有， 则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.（2）概率密度的性质： 非负； ； 若在 处连续，则有 ； .例题7. P67 【例37】设（X，Y）的概率密度为求（X，Y）的分布函数F（x,y）.【答疑编号12030110】 解： 例题8. P67 【例38】设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-x+，-y+.求：（1）常数a,b,c；【答疑编号12030111】（2）（X，Y）的概率密度。【答疑编号12030112】解：（1）（2）6.两种二维连续型随机变量分布（1）均匀分布定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）UD。两种特殊区域的情况：.D为矩形区域axb，cyd，此时.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为例题9：P68【例39】设（X，Y）服从下列区域D上的均匀分布，其中D：xy,0x1,y0.求PX+Y1。【答疑编号12030201】解：解：根据上图，D的面积，所以（X，Y）的概率密度为事件X+Y1意味着随机点（X，Y）落在区域上，则（2）正态分布定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为1其中都是常数，且则称（X,Y）服从二维正态分布，记为2三维空间的曲面。7.二维随机变量的边缘分布（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，例题10：P70【例310】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D：求（X,Y）的边缘概率密度【答疑编号12030202】解：例题11：P70 例311【例311】设二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且求（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度。【答疑编号12030203】解：解：（X,Y）的概率密度为由于于是令则有因为因而（X,Y）关于X的边缘概率密度为即 XN（0,1）,类似可得（X,Y）关于Y的边缘概率密度为即 YN（0,1）例题12. P71【例313】设（X,Y）的概率密度为求【答疑编号12030204】解：3.2随机变量的独立性1.两个随机变量的独立性用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。（1）定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：PXx,Yy=PXxPYy.例题13：P73【例314】续3.1节例3-7证明X与Y相互独立。【答疑编号12030205】证明：2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为其边缘分布律为X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立.例题14：P74【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。【答疑编号12030206】解（1）有放回摸球情况：因为所以X与Y相互独立。（2）不放回摸球情况：因为PX=0，Y=0PX=0PY=0，所以X与Y不相互独立。例题15：P75【例316】设（X,Y）的分布律为且X与Y相互独立，求常数a,b之值。【答疑编号12030207】解：3.二维连续型随机变量相互独立的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其概率密度及关于X和Y的边缘概率密度分别为f（x,y），和则X与Y相互独立的充分必要条件是等式几乎处处成立.例题16：P75（相互独立）【例317】证明3.1节例3-8中的X与Y相互独立。【答疑编号12030208】例题17：P76 （不相互独立）【例319】设（X,Y）在以原点为圆心、半径为1的圆域上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？【答疑编号12030209】解：例题18：P77（边缘密度确定联合密度）【例3-20】设X与Y为相互独立的随机变量，X在-1，1上服从均匀分布，Y服从参数=2的指数分布，求：（X,Y）的概率密度。【答疑编号12030210】解由已知条件得X，Y的概率密度分别为因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的概率密度为4.n维随机变量（1）n维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数和概率密度设n维随机变量其联合分布函数为若其概率密度为则其关于分量的边缘分布函数为其关于分量的边缘密度函数为（2）n维随机变量的相互独立设n维随机变量若对一切有即则称是相互独立的.性质）若是相互独立的，则其中任意个随机变量也是相互独立的；）若是相互独立的，则它们各自的函数也是相互独立的.例题19：P78【例323】设随机变量X与Y相互独立，都在区间1，3上服从均匀分布。设1a3,若事件求常数a的值。【答疑编号12030211】解：3.3两个随机变量的函数的分布1.两个离散型随机变量的函数的分布例1：P80【例3-24】设（X,Y）的分布律为求Z=X+Y的分布律。【答疑编号12030301】解：Z=X+Y的可能取值为0，1，2，3，因为事件Z=0=X=0，Y=0，所以因为事件Z=1=X=0，Y=1X=1，Y=0，事件X=0，Y=1与X=1，Y=0互不相容，所以事件PZ=2=X=0，Y=2X=1，Y=1，事件X=0，Y=2与X=1，Y=1互不相容，所以事件Z=3=X=1，Y=2，所以从而得出Z的分布律为例2.P80【例3-25】设X,Y是相互独立的随机变量，且证明Z=X+Y【答疑编号12030302】例题