2012-2013学年高三(上)期末数学试卷(文科).doc

2012-2013学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=1，3，5，集合B=2，a，b，若AB=1，3，则a+b的值是（）A10B9C4D7考点：交集及其运算专题：计算题分析：根据题意，分析可得集合B=2，1，3，从而有a=1、b=3或a=3、b=1，则有a+b=4成立，即可得答案解答：解：根据题意，若AB=1，3，又由集合A=1，3，5，则集合B=2，1，3，则a=1、b=3或a=3、b=1，a+b=4，故选C点评：本题考查集合的交集的意义，解题的关键是由交集的意义，得到集合B2（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1z2的值是（）A1+2iB22iC1+2iD12i考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：根据两个复数的加减法的几何意义，复数z1z2的值就是=对应的复数解答：解：根据两个复数的加减法的几何意义可得，复数z1z2的值就是=对应的复数即（2i）（i）=22i，故选B点评：本题主要考查两个复数的加减法的几何意义，属于基础题3（5分）若点（9，a）在函数y=log3x的图象上，则tan=的值为（）A0BC1D考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数的性质和特殊角的正切函数值即可求出解答：解：点（9，a）在函数y=log3x的图象上，a=log39=2，tan=故选D点评：熟练掌握对数函数的性质和特殊角的正切函数值是解题的关键4（5分）（2011上海）若向量，则下列结论正确的是（）ABCD考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解解答：解：由，则所以则故选C点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题5（5分）（2012烟台二模）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的同学有30 人，则n 的值为（）A100B1000C90D900考点：用样本的频率分布估计总体分布专题：计算题分析：根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在50，60）元的频率，计算可得样本容量解答：解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）10=0.7，支出在50，60）元的频率为10.7=0.3，n的值=；故选A点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1频率、频数的关系：频率=6（5分）如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）PABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于（）A17cmBC16cmD14cm考点：简单空间图形的三视图专题：计算题分析：侧视图是一个三角形，底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，即可判断三角形的形状，然后求出周长即可解答：解：由题意可知：侧视图是一个三角形，底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，腰长5，斜高为h=4，又正四棱锥底面正方形的边长为：6，侧视图的周长为：6+4+4=14 （cm）故选D点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，计算能力，是基础题7（5分）（2012西城区一模）若实数x，y满足条件则|x3y|的最大值为（）A6B5C4D3考点：简单线性规划的应用专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：先确定平面区域，再求的最大值，进而可求|x3y|的最大值解答：解：不等式表示的平面区域，如图所示先求的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值由，可得x=1，y=2由图可知，（1，2）到直线x3y=0的距离最大为=|x3y|的最大值为5故选B点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题8（5分）按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，则判断框中的整数H=（）A3B4C5D6考点：程序框图专题：图表型分析：由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过次运算后输出的结果是15，从而得出判断框中的整数H解答：解：由图知运算规则是对S=2S+1，故第一次进入循环体后S=21+1=3，第二次进入循环体后S=23+1=7，第三次进入循环体后S=27+1=15，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第三次进入循环体后A=3故判断框中H的值应为3，这样就可保证循环体只能被运行三次故选A点评：本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题是算法中一种常见的题型9（5分）给出下面结论：命题p：“x0R，x3x0+20”的否定为p：“xR，x23x+20”函数f（x）=2x+3x的零点所在区间是（1，0）；函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数图象；对于直线m，n和平面，若m，mn，则n其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4考点：特称命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；函数y=Asin（x+）的图象变换；空间中直线与平面之间的位置关系专题：计算题分析：由特称命题的否定规律可作出判断；代值可得f（1）f（0）0，由零点的存在性定理可得结论；由图象的平移规律，可得到函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，而非图象；由条件可得n，或n，不一定是n解答：解：由特称命题的否定可知：命题p：“x0R，x3x0+20”的否定为p：“xR，x23x+20”，故正确；f（1）=213=，f（0）=20+30=1，满足f（1）f（0）0，故函数f（x）=2x+3x在区间（1，0）上有零点，又函数f（x）单调递增，故有唯一的零点在区间（1，0），故正确；函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，而非图象，故错误；对于直线m，n和平面，若m，mn，则n，或n，故错误故选B点评：本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定和零点以及函数图象的变换和空间中的线面位置关系，属基础题10（5分）定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD考点：类比推理专题：新定义；点列、递归数列与数学归纳法分析：由已知得a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n2时，an=SnSn1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和解答：解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，=故选C点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）已知，若均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则at=29考点：类比推理专题：规律型分析：观察所给的等式，第n个式子左边应该是，左边的式子（n+1），写出结果即可解答：解：观察下列等式，照此规律，第5个等式中：a=6，t=a21=35，则at=29故答案为：29点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题12（5分）已知：，则的值为考点：三角函数中的恒等变换应用专题：三角函数的求值分析：利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值，即可求得的值解答：解：=，=1=1+=，故答案为 点评：本题主要考查三角恒等变换的应用，角的变换是解题的关键，属于中档题13（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且x0，2时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在6，2上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m（0，1），则关于x的方程f（x）m=0在8，8上所有根之和为8，其中正确的是甲、乙、丁、考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：取x=1，得f（3）=f（1）=1；根据已知可得（4，0）点是函数图象的一个对称中心；由f（x4）=f（x）得f（x2）=f（x2），即f（x）关于直线x=2对称，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在2，2上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=2对称，可得函数f（x）在6，2上是减函数；若m（0，1），则关于x的方程f（x）m=0在8，8上有4个根，其中两根的和为62=12，另两根的和为22=4，故可得结论解答：解：取x=1，得f（14）=f（1）=log2（1+1）=1，所以f（3）=f（1）=1，故甲的结论正确；f（x4）=f（x），则f（x+4）=f（x），即f（x4）=f（x+4）又由f（x）为奇函数f（x4）=f（4x），即f（x+4）=f（4x），即函数的图象关于（4，0）点对称，故丙的结论错误定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），则f（x4）=f（x），f（x2）=f（x2），函数f（x）关于直线x=2对称，又奇函数f（x），x0，2时，f（x）=log2（x+1）为增函数，x2，2时，函数为单调增函数，函数f（x）关于直线x=2对称，函数f（x）在6，2上是减函数，故乙正确；若m（0，1），则关于x的方程f（x）m=0在8，8上有4个根，其中两根的和为62=12，另两根的和为22=4，所以所有根之和为8故丁正确故答案为：甲，乙，丁点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（5分）（2007深圳一模）如图，AB是半圆O的直径，C在半圆上，CDAB于D，且AD=3DB，设COD=，则=考点：与圆有关的比例线段专题：计算题分析：由已知中AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且AD=3DB，我们可以设出圆的半径为R，进而根据射影定理求出CD的长，解三角形COD即可求出角，进而得到答案解答：解：设半径为R，则AD=R，BD=，由射影定理得：CD2=ADBD则CD=R，从而=，故tan2=，故答案为：点评：本题考查的知识点是直角三角形的射影定理，其中根据射影定理求出CD的长，解三角形COD即可求出角，是解答本题的关键15（坐标系与参数方程）已知直线l：cossin=4，圆C：=4cos，则直线l与圆C的位置关系是相交（相交或相切或相离？）考点：简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：利用利用cos=x，sin=y，将直线的极坐标方程化成普通方程，最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系解答：解：圆C的直角坐标方程是x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4圆心C（2，0），半径r=2直线l的直角坐标方程为xy4=0所以圆心C到直线l的距离故答案为：相交点评：本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2013眉山二模）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法专题：图表型分析：（1）通过频率分布表得推出m+n=0.45利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可解答：解：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1，即 m+n=0.45（2分）由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得 （4分）所以m=0.450.1=0.35（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个（11分）故所求概率为 （13分）点评：本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识17（12分）已知：函数的最小正周期为3（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（AC），求sinA的值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题；解三角形分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=，再由函数的最小正周期为3结合三角函数的周期公式，算出即可得到函数f（x）的解析式；（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C=，因此将等式2sin2B=cosB+cos（AC）化成关于A的方程，整理得sin2A+sinA1=0，解之即得sinA的值解答：解：（1）根据题意，得=（3分）函数f（x）的周期为3，即，（5分）因此，函数f（x）的解析式是（6分）（2），C（0，），可得，可得（8分）在RtABC中，有2sin2B=cosB+cos（AC）2cos2AsinAsinA=0，即sin2A+sinA1=0，解之得（11分）0sinA1，（12分）点评：本题给出函数y=Asin（x+）+k的周期，求函数的表达式并依此求三角形ABC的角A的正弦值着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，属于中档题18（14分）已知正项等差数列an中，a1=1，且a3，a7+2，3a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设an的前n项和为，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）利用a3，a7+2，3a9成等比数列，求出数列的公差，然后求数列an的通项公式；（2）求出数列an的前n项和为，化简表达式，利用基本不等式去，求解f（n）最大值，并求出f（n）的最大值解答：解：（1）设公差为d，则a3=1+2d，a7=1+6d，a9=1+8d（2分）a3，a7+2，3a9成等比数列，（3+6d）2=3（1+2d）（1+8d）（3分）2d2d1=0，d0，d=1，an=1+（n1）1=n（6分）（2），（8分）=（12分）当且仅当，即n=6时，f（n）取得最大值（14分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，注意数列的通项公式与前n项和的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力19（14分）在如图所示的几何体中，平面ACE平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，ACB=90，EFBC，AE=EC=1（1）求证：AE平面BCEF；（2）求三棱锥DACF的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由平面AC2=AE2+CE2平面，知AEEC，由此能够证明BCAE（2）设AC的中点为G，连接EG，由AE=CE，知EGAC，由BC平面AEC，知EGBC，由此推导出点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离，由此能求出三棱锥DACF的体积解答：解：（1）平面AC2=AE2+CE2平面，AEEC，且平面ACE平面，AEECBF，BCAC，BC平面BCEF，BC平面AEC（2分）BCAE，（3分）又，AE=EC=1，AC2=AE2+CE2AEEC（4分）且BCEC=C，AE平面ECBF（6分）（2）设AC的中点为G，连接EG，AE=CE，EGAC由（1）知BC平面AEC，BCEG，即EGBC，又ACBC=C，EG平面ABCD（8分）EFBC，EF平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离即点F到平面ABCD的距离为EG的长（10分），即三棱锥DACF的体积为（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（14分）某种上市股票在30天内每股的交易价格P（元）、日交易量Q（万股）与时间t（天）的对应关系分别如下：有序数对（t，P）落在图中的折线上，日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示第t天4101622Q（万股）36302418（1）根据图甲的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？（注：各函数关系式都要写出定义域）考点：根据实际问题选择函数类型专题：函数的性质及应用分析：（1）设出分段函数，利用图象，建立方程组，即可求得P满足的函数关系式；（2）设出Q的一次函数关系式，将（4，36），（10，30）代入，即可求得结论；（3）先确定y关于t的函数关系式，分段求最值，即可求得函数的最大值解答：解：（1）设，依题意及由图象甲可得：及解得：及（4分）故所求P满足的函数关系式（5分）（2）依题意设Q（t）=k3t+b3，0t30，tN*，把前两组数据代入得：，解得：，故Q的一次函数关系式是Q（t）=t+40，0t30，tN*（8分）（3）依题意：当0t20，tN*时，当20t30，tN*时，故y关于t的函数关系式：，（12分）若0t20，tN*，则t=15时，ymax=125（万元）若20t30，tN*，则（万元）第15天