高中数学211同步练习新人教B选修22

选修2-2 2.1.1 一、选择题1已知数列an中，a11，当n2时，an2an11，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()An21 B(n1)21C2n1 D2n11答案C解析a22a112113，a32a212317，a42a3127115，利用归纳推理，猜想an2n1，故选C.2(2010山东卷文，10)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查3我们把4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n1个正方形数是()An(n1)Bn(n1)Cn2 D(n1)2答案C解析第n1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，点数为n2.故选C.4根据给出的数塔猜测12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案B5类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对答案C解析以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确故选C.6图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657余1，第36颗珠子的颜色是白色7设0，已知a12cos，an1，则猜想an()A2cos B2cosC2cos D2sin答案B解析a12cos，a222cos，a322cos，猜想an2cos.故选B.8类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A BC D答案C解析正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对故选C.9把3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是()A27 B28C29 D30答案B解析观察归纳可知第n1个三角形数共有点数：1234n个，第六个三角形数为28.故选B.10已知f(x)是R上的偶函数，对任意的xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2，则f(2005)等于()A2005 B2C1 D0答案B解析f(3)f(3)f(3)2f(3)，所以f(3)0.所以f(x6)f(x)f(3)f(x)，即f(x)的最小正周期为6.所以f(2005)f(13346)f(1)2.故选B.二、填空题11在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_答案18解析.12观察下列等式：CC232，CCC2723，CCCC21125，CCCCC21527，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，CCCC_.答案24n1(1)n22n1解析由归纳推理，观察等式右边232,2723,21125,21527，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n1；第二项的指数1,3,5,7，通项为2n1.故得结论24n1(1)n22n1.13将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行从左至右的第3个数是_答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中第3个，即为.14(2010湖南理，15)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.答案2n2解析因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3.所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16.猜想(an)*)*n2.三、解答题15在ABC中，不等式成立，在四边形ABCD中，不等式成立，在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，有怎样的不等式成立？解析根据已知特殊的数值：、，总结归纳出一般性的规律：(n3且nN*)在n边形A1A2An中：(n3且nN*)16在数列an中，a11，an1，nN，猜想数列的通项公式并证明解析an中a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通项公式an(nN)证明如下：因为a11，an1，所以，即，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以1(n1)，即通项公式为an(nN)17如图，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.(1)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明解析(1)证明：PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角CC1平面PMN，上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，PM2PN2MN22PNMNcosMNPPM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于SBCC1B1PNCC1，SACC1A1MNCC1，SABB1A1PMBB1PMCC1，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2AC