不定积分计算的各种方法论文.docx

广东石油化工学院高州师范学院毕业论文不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班 梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。【关键词】不定积分 直接积分法 分部积分法 换元积分法 有理函数不定积分 简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是数学分析中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。二、不定积分的概念定义：函数在区间I的所有的原函数称为函数的不定积分，表为 （，C为积分常数）,其中称为积分符号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如：，而；,而；，而.这也就是说：和是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。三、不定积分的计算方法1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：（1）、,其中a是常数. .（2）、，其中a是常数，且a-1.（3）、,x0.（4）、,其中a0，且a1.（5）、.(6)、.（7）、（8）、（9）、（10）、（11）、（12）、直接积分法就是利用基本积分公式直接进行不定积分的计算，例如：例3.1、计算解：原式 需要说明的是：,为任意的常数，因此可用一个常数c来表示。以后对于一个不对积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面的就不一一说明了。例3.2、求.解：原式注：这里有一个技巧的方法：将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。直接积分法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。2.分部积分法分部积分法是由导数乘法规律推导出来的，其公式是 （1）或 （2）说明：分部积分法的关键是u和dv的选取，其一般原则是（1）要比易求；（2）v要容易求出.根据此原则在下表中列出了在几种常见的分部积分类型中相应的u和dv的选取方法：积分类型u(x)、dv(x)的选择（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,的选择随意（9）,的选择随意注：表中a,b,k均为常数，为x的n次多项式。下面举一些例子来说明上表的应用。例4.1 计算解：令，则例4.2 求不定积分解: 令，则， 例.4.3 求解： 设，则，.所以有例4.4 计算解： 由于，则令，并令，则有 ， 所以有于是得分部积分公式还可以推导积分递推式，例如例4.5 计算 其中 （ n1是正整数 ）解： 令，则，所以得所以有注：上例导出了一个递推公式，只要是重复利用该递推公式，则的偶次幂最终将递推到1，奇数幂则最终将被递推到，而1和可以积出来，因此利用上式递推公式可以积分的任意正整数幂。由上面这些例子，对于分部积分法的u和dv的选择可以总结出以下规律：优先考虑取为u的函数的顺序为“反对幂三指”，即按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数的先后顺序优先选择函数作为u，积分式其余部分则凑为dv .3.换元积分法（1）第一换元法如果不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为令，并注意到，则可将有关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有这就是第一换元积分法。一般可用第一换元积分法，即可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总结，常见题型有：(1) (2) (3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11) (12)(13)下面举例说明：例5.1 计算.解： 例5.2 计算解法一：解法二：虽然这两种解法所得的结果只是形式上的不同，但经过验证均为的原函数。例5.3 求不定积分解：例5.4 求 解：注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇数次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑，剩下的偶次用半角公式降幂后再计算。（2）第二换元积分法适当地选择变量代换，将积分化为积分这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：可是这公式的成立需要一定条件：首先，等式右边的不定积分要存在，即有原函数；其次，求出后必须用的反函数代回去，为了保证该反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数在t的某一个区间上是单调的、可导的，并且则有其中是的原函数。由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程和第一类换元积分法是正好相反。以下是几个常用的换元方法：三角代换(1)被积函数含有根式，令(2)被积函数含有根式，令(3)被积函数含有根式，令倒代换根式代换被积函数含有下面举例说明。例5.5 计算解：这个积分的难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令，这里限制的取值范围是为了保证其反函数存在，此时，则，所以a（图1）xt再将变量t还原回原来的积分变量x，由作直角三角形（如图1），可知，代入上式，得注：对于这题，要是令，同样可以计算。例5.6 求不定积分（a0）.解：令，则，所以有例5.7 求不定积分（a0）解：令，则，所以有回代，得对于某些被积函数，若分母中含有因子时，可做倒代换，即令，从而可得积分。一般在有理函数中分母的阶数较高时常使用到倒代换法。如下面的例子例5.8 求不定积分解：令，则，所以有当被积函数中含有时，可令；其中k为m,n的最小公倍数。这也就是根式代换法。例5.9 求不定积分解：令，即，则，所以有五、几种特殊类型函数的积分1.有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对于部分分式的处理可能会比较复杂，出现）时，记得用递推公式：例6.1 计算解：因为再逐步积分有所以积分结果为2.三角函数有理式的积分万能公式：可用变换化为有理函数的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。例6.2 求.解：设，有，则七、结束语上面所介绍的不定积分的求解方法都是常用到的一些方法，在应用时要根据被积函数的结构特点采取合适的方法，而要做到灵活应用积分方法需要我们去多做些练习来增长做题经验，这样解题时才能够得心应手。参考文献1 刘玉琏、傅沛仁、林玎、菀德馨、刘宁 编，数学分析讲义，