课标通用高考数学一轮复习第三章3.2导数与函数的单调性极值最值学案理.docx

3.2导数与函数的单调性、极值、最值考纲展示1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值3会用导数解决实际问题考点1利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为_f(x)0f(x)在(a，b)上为_答案：增函数减函数(1)教材习题改编函数f(x)ex2x的单调递增区间是_答案：(ln 2，)(2)教材习题改编求f(x)xcos x，xR的单调区间解：f(x)1sin x0，所以f(x)在(，)上单调递增，即(，)是f(x)的单调递增区间导数符号与单调性已知函数f(x)x3ax2ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为_答案：0,3解析：依题意，f(x)3x22axa0恒成立，所以4a212a0，解得0a3.典题1设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)，得f(x)x2axx(xa)当a0时，f(x)x20恒成立，即函数f(x)在(，)内为单调增函数当a0时，由f(x)0得，xa或x0；由f(x)0得，0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)当a0得，x0或xa；由f(x)0得，ax0.即函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(0，)，单调递减区间为(a,0)(3)g(x)f(x)2x2ax2，且g(x)在(2，1)上为减函数，g(x)0，即x2ax20在(2，1)上恒成立，即解得a3，即实数a的取值范围为(，3题点发散1在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(2，1)，如何求解？解：g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21是g(x)0的两个根，(2)(1)a，即a3.题点发散2在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)上存在单调递减区间，如何求解？解：g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即当x(2，1)时，amax2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)题点发散3在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)上不单调，如何求解？解：g(x)在(2，1)上不单调，g(x)x2ax2，g(2)g(1)0或由g(2)g(1)0，得(62a)(3a)0，无解由得即解得3a0)的极小值点为_；(2)函数yx(x0)的极小值为_；(3)函数yx(x0)的最小值为_答案：(1)x(2)2(3)2解析：(1)y1，令y0，得x或x(舍去)当x(0，)时，y0.所以x是函数的极小值点极值点是函数取得极值时对应的x的值，而不是函数值(2)由(1)知，当x时，函数取得极小值y2.(3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即ymin2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值考情聚焦函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题主要有以下几个命题角度：角度一知图判断函数的极值典题2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度二求函数的极值典题32017山东济宁模拟节选已知函数f(x)(k0)，求函数f(x)的极值解f(x)，其定义域为(0，)，则f(x).令f(x)0，得x1，当k0时，若0x0；若x1，则f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，函数f(x)取得极大值.当k0时，若0x1，则f(x)1，则f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值.点石成金1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值2可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论角度三已知极值求参数典题4(1)2017浙江金华十校联考已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)(ln xax)xln x12ax，令f(x)0，得2a.设(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大致图象如图所示若函数f(x)有两个极值点，则直线y2a和y(x)的图象有两个交点，所以02a1，得0a.(2)2017辽宁沈阳模拟设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a0.综合得，a的取值范围是(1，)点石成金1.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同2若函数yf(x)在区间(a，b)上有极值，那么yf(x)在(a，b)上绝不是单调函数，即在某区间上单调的函数没有极值考点3运用导数解决函数的最值问题函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数的最小值，_为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则_为函数的最大值，_为函数的最小值答案：(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(1)教材习题改编将一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成一个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是_，_.答案：11解析：设两段铁丝的长分别为x(0x2)，2x，则两个正方形的面积之和Sx2x，则S.令S0，得x1.当0x1时，S0；当1x0.所以S在x1处取得极小值，也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.(2)教材习题改编已知f(x)x3x21，求f(x)在1,2上的最大值，最小值解：f(x)x3x21，则f(x)3x23x.令f(x)0得，3x23x0，解得x0或x1.当1x0，f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当10，f(x)单调递增故f(x)在1,0)上递增，在(0,1)上递减，在(1,2上递增比较端点值和极值得，f(x)的最大值为f(2)3，最小值为f(1).区间内的单峰函数函数f(x)在区间a，b内只有一个极大值点，则函数在该点处取得_；如果函数在区间a，b内只有一个极小值点，则函数在该点处取得_答案：最大值最小值典题5已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由得则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意，对于任意x0,1，有f(x)0.当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，因为f(0)a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0,1(2)因为g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x0,1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0a1时，由g(x)0得x0.0若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得a.则当a时，g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a1时，g(0)g(1)0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.点石成金求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)上的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表.x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案：A解析：设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0， g(x)0，x1. 使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.22015福建卷若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfCf答案：C解析：令g(x)f(x)kx1，则g(0)f(0)10，gfk1f. g(x)f(x)k0， g(x)在0，)上为增函数又k1， 0， gg(0)0. f0，即f.32014新课标全国卷已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)答案：B解析：f(x) 3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图所示不符合题意，排除A，C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，；当(0，)时，f(x)0.注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图所示不符合题意，排除D.42014新课标全国卷设函数f(x)sin .若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)答案：C解析：由正弦型函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)，则k(kZ)，从而得x0m(kZ)所以不等式xf(x0)2m2即为2m233，其中kZ.由题意，存在整数k使得不等式m23成立当k1且k0时，必有21，此时不等式显然不能成立，故k1或k0，此时，不等式即为m23，解得m2.52013新课标全国卷已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()A. x0R，f(x0)0B. 函数yf(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0答案：C解析：由三次函数的值域为R知f(x)0有解，所以A项正确；因为yx3的图象为中心对称图形，而f(x)x3ax2bxc的图象可以由yx3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f(x)0有两个不等实根x1，x2(x10时，(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域(1)解：f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，(x2)exx20.(2)证明：g(x)f(x)a由(1)知f(x)a单调递增对任意的a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a 0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a)，由0，得y单调递增所以，由xa(0,2，得0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 20，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)，则g(x)0.而g(0)0，因此当0xln(b1)时，g(x)0，ln 20.692 8；当b1时，ln(b1)ln ，g(ln)2(3 2)ln 2 0，ln 20.693 4.所以ln 2的近似值为0.6