高中数学第1章知能基础测试新人教B选修22

第一章知能基础测试时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yx22x在点 处的切线的倾斜角为()A1B45C45D135答案D解析yx2，所以斜率k121，因此倾斜角为135.故选D.2下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx答案B解析1，所以A不正确；(3x)3xln3，所以C不正确；(x2cosx)2xcosxx2(sinx)，所以D不正确；(log2x)，所以B对故选B.3(2010江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图像大致为()答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca2 Da6答案D解析f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以0，即4a243(a6)0，即a23a180，解得a6或a3.故选D.5 (sinxcosx)dx的值是()A0 B. C2 D4答案C解析因为(cosxsinx)sinxcosx，所以 (sinxcosx)dx(cosxsinx) 2.故选C.6已知y，则y等于()A. B.C. D.答案C解析y，根据两函数商的导数法则求解故选C.7函数f(x)x32x3的图象在x1处的切线与圆x2y28的位置关系是()A相切 B相交且过圆心C相交但不过圆心 D相离答案C解析切线方程为y2x1，即xy10.圆心到直线的距离为xa时，f(x)0，故在a，b上，f(x)为增函数且又由图知f(x)在区间a，b上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.9下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Asin2x BxCx3x Dxln(1x)答案B解析yx，y10恒成立，函数yx在(0，)上是增函数故选B.10曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2答案D解析ye，在点(4，e2)处的切线方程为ye2xe2，令x0得ye2，令y0得x2，围成三角形的面积为e2.故选D.11已知三次函数f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在R上是增函数，则m的取值范围是()Am4B4m2C2m4Dm2或m4答案D解析f(x)x22(4m1)x15m22m7，由题意得x22(4m1)x15m22m70恒成立，4(4m1)24(15m22m7)64m232m460m28m284(m26m8)0，2m4.故选C.12质点做直线运动，其速度v(t)3t22t3，则它在第2秒内所走的路程为()A1 B3C5 D7答案D解析所求路程S(3t22t3)dt(t3t23t)|7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程为_答案xy20解析设切点为，则，解得x01，所以切点为(1,1)，斜率为1，直线方程为xy20.14若函数f(x)在(0，)上为增函数，则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)a，由题意得，a0对x(0，)恒成立，即a，x(0，)恒成立a0.15函数f(x)x33x2在1,1上的最大、小值分别为M和m，则f(x)dx_.答案0解析由f(x)3x26x0得x0或2，x1,1，x0.当x(1,0)时f(x)0.x0时，f(x)取极小值f(0)0.又f(1)4，f(1)2M4，m0，f(x)dx(x33x2)dx0.16下列四个命题中，正确命题的个数为_若f(x)，则f(0)0；若函数f(x)2x21，图象上点(1,3)的邻近一点为(1x,3y)，则42x；加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；曲线yx3在(0,0)处没有切线答案1解析f(x)在x0处无导数，因此不对；速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数，因此不对；yx3在(0,0)处的切线方程为y0，因此不对三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)求定积分1f(x)dx，其中f(x).解析1f(x)dx1f(x)dxf(x)dx1(sinx1)dxx2dx(cosxx)|x3|cos12cos1.18(本题满分12分)已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围解析依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上有f(x)0.恒成立f(x)0t3x22x，由于g(x)3x22x的图象是对称轴为x，开口向上的抛物线，故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立tg(1)，即t5.而当t5时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0，即f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.19(本题满分12分)已知f(x)x(mR)，(1)若m2，求函数g(x)f(x)lnx在区间上的最大值；(2)若函数ylogf(x)2在区间1，)上是减函数，求实数m的取值范围解析(1)当m2时，g(x)xlnx(x0)，则g(x)1，由g(x)0，得x2x20，可解得0x0在区间1，)上是增函数，且h(x)0在区间1，)上恒成立，而h(x)f(x)10，则mx2在区间1，)上恒成立，得m1.又f(x)20在区间1，)上恒成立，得f(1)20，即m3，所以实数m的取值范围是(3,120(本题满分12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去(1)若存款利率为x，x(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解析(1)由题意，存款量g(x)kx2.银行应支付的利息h(x)xg(x)kx3.(2)设银行可获得收益为y，则y0.048kx2kx3.y0.096kx3kx2，令y0，得x0(舍去)或x0.032.当x(0,0.032)时，y0；当x(0.032,0.048)时，y0.所以当x0.032时，y取得最大值即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益21(本题满分12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3处取得极值，求常数a的值；(2)若f(x)在(，0)上为增函数，求a的取值范围解析(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因f(x)在x3处取得极值，所以f(3)6(3a)(31)0，解得a3.经检验知当a3时，x3为f(x)的极值点(2)令f(x)6(xa)(x1)0得x1a，x21.当a0，所以f(x)在(，a)和(1，)上为增函数当0a0，所以f(x)在(，1)和(a，)上为增函数，从而f(x)在(，0)上为增函数综上可知，当a0时，f(x)在(，0)上为增函数22(本题满分14分)(2010天津理，21)已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)证明x1x22.解析本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力一般思路求出导函数利用讨论求极值(1)解：f(x)(1x)ex.令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).(2)证明：由题意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x)ex2.令F(x)f(x)g(x)，即F(x)xex(x2)ex2.于是F(x)(x1)(e2x21)ex.当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0，所以F(x)0，从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)e1e10，所以x1时，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x)(3)证明：若(x11)