排列与组合解题技巧

精品文档 1欢迎下载 佛山学习前线教育培训中心 高二数学 理 讲义高二数学 理 讲义 专题 排列与组合解题技巧专题 排列与组合解题技巧 主要技巧 主要技巧 一一 运用两个基本原理运用两个基本原理 例 1 n 个人参加某项资格考试 能否通过 有多少种可能的结果 练习 1 同室四人各写了一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张 别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有 A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 二二 特殊元素 位置 优先特殊元素 位置 优先 例 2 从 0 1 9 这 10 个数字中选取数字组成偶数 一共可以得到 不含相同数字的五位偶数多少个 练习 2 8 人站成两排 每排 4 人 甲在前排 乙不在后排的边上 一共有 多少种排法 三三 捆绑法捆绑法 例 3 8 人排成一排 甲 乙必须分别紧靠站在丙的两旁 有多少种排法 练习 3 记者要为 名志愿者和他们帮助的为老人拍照 要求排成一排 52 位老人相邻但不排在两端 不同的排法共有2 种 种 种 种 A1440 B960 C720 D480 精品文档 2欢迎下载 四四 插入法插入法 例 4 排一张有 8 个节目的演出表 其中有 3 个小品 既不能排在第一个 也不能有两个小品排在一起 有几种排法 练习 4 安排位工作人员在 月 日到 月日值班 每人值班一天 其中75157 甲 乙二人都不能安排在 月 日和日 不同的安排方法共有 种 512 五五 排除法排除法 例 5 求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数 练习 5 100 件产品中有 3 件是次品 其余都是正品 现在从中取出 5 件产 品 其中含有次品 有多少种取法 练习 6 8 个人站成一排 其中 A 与 B A 与 C 都不能站在一起 一共有多 少种排法 六六 机会均等法机会均等法 例 6 10 个人排成一队 其中甲一定要在乙的左边 丙一定要在乙的右边 一共有多少种排法 练习 7 用 1 4 5 四个数字组成四位数 所有这些四位数中的数字的 总和为 288 求 七七 转化法转化法 例 7 一个楼梯共 10 级台阶 每步走 1 级或 2 级 8 步走完 一共有多少 种走法 精品文档 3欢迎下载 练习 8 动点从 0 0 沿水平或竖直方向运动到达 6 8 要使行驶 的路程最小 有多少种走法 八八 隔板法隔板法 例 14 20 个相同的球分给 3 个人 允许有人可以不取 但必须分完 有多 少种分法 练习 9 把 10 本相同的书发给编号为 1 2 3 的三个学生阅览室 每个阅 览室分得的书的本数不小于其编号数 试求不同分法的种数 请用尽可能多的 方法求解 并思考这些方法是否适合更一般的情况 针对练习 针对练习 1 7 名学生站成一排 甲 乙必须站在一起有多少不同排法 2 7 名学生站成一排 甲乙互不相邻有多少不同排法 3 1996 年全国高考题 正六边形的中心和顶点共 7 个点 以其中 3 个点为顶 点的三角形共有 个 4 1995 年上海高考题 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念 若老师不 排在两端 则共有不同的排法 种 5 2000 年全国高考题 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员 派 5 名队 员参加比赛 3 名主力队员要安排在第一 三 五位置 其余 7 名队员选 2 名 安排在第二 四位置 那么不同的出场安排共有 种 精品文档 4欢迎下载 6 2003 年北京春招 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演 前又增加了两个新节目 如果将这两个节目插入原节目单中 那么不同插法的 种数为 A 42B 30C 20 D 12 7 2003 年全国高考试题 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着 色 要求相邻地区不得使用同一颜色 现有 4 种颜色可供选择 则不同的着色 方法共有 种 以数字作答 8 2002 年北京高考 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查 若每个路口 4 人 则不同的分配方案共有 A 种B 种 C 种D 种 9 2003 年北京高考试题 从黄瓜 白菜 油菜 扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 不同的种植方法 共有 A 24 种 B 18 种 C 12 种 D 6 种 10 2008 年陕西卷 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段 传递活动分别由 6 名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒 火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方案共有 种 用数 字作答 11 2008 年天津卷 有 4 张分别标有数字 1 2 3 4 的红色卡片和 4 张分 别标有数字 1 2 3 4 的蓝色卡片 从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一 行 如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 则不同的排法共有 种 用数字作答 12 2008 年浙江卷 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同 且 1 和 2 相邻 这样的六位数的个数是 用数字作答 精品文档 5欢迎下载 参考答案 一 运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点 可以说对每道应用题我 们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理 例 1 n 个人参加某项资格考试 能否通过 有多少种可能的结果 解法 1 用分类记数的原理 没有人通过 有种结果 1 个人通过 有种结果 n 个人通过 有种结果 所以一共有种可能的结果 解法 2 用分步记数的原理 第一个人有通过与不通过两种可能 第二个人也是这样 第 n 个人也是这样 所以一共有种可能的结果 例 2 同室四人各写了一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有 A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 解 设四个人分别为甲 乙 丙 丁 各自写的贺年卡分别为 a b c d 第一步 甲取其中一张 有 3 种等同的方式 第二步 假设甲取 b 则乙的取法可分两类 1 乙取 a 则接下来丙 丁的取法都是唯一的 2 乙取 c 或 d 2 种方式 不管哪一种情况 接下来丙 丁的取法也都是唯一的 根据加法原理和乘法原理 一共有种分配方式 二 特殊元素 位置 优先 例 3 从 0 1 9 这 10 个数字中选取数字组成偶数 一共可以得到不含相同数 字的五位偶数多少个 解 个位选 0 有个 个位不选 0 且万位不能选 0 有个 所以一共可以 得到个偶数 注 0 2 4 6 8 是特殊元素 元素 0 更为特殊 首位与末位是特殊的位置 例 4 8 人站成两排 每排 4 人 甲在前排 乙不在后排的边上 一共有多少种排法 解 先排甲 有种排法 再排乙 有种排法 再排其余的人 又有种排法 所以一共有种排法 三 捆绑法 例 5 8 人排成一排 甲 乙必须分别紧靠站在丙的两旁 有多少种排法 解 把甲 乙 丙先排好 有种排法 把这三个人 捆绑 在一起看成是一个 与 其余 5 个人相当于 6 个人排成一排 有种排法 所以一共有 1440 种排法 四 插入法 例 6 排一张有 8 个节目的演出表 其中有 3 个小品 既不能排在第一个 也不能有 两个小品排在一起 有几种排法 解 先排 5 个不是小品的节目 有种排法 它们之间以及最后一个节目之后一共有 6 个空隙 将 3 个小品插入进去 有种排法 所以一共有 7200 种排法 精品文档 6欢迎下载 注 捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题 五 排除法 例 7 求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数 解 从 8 个点中取 4 个点 共有种方法 其中取出的 4 个点共面的有种 所以符合条件的四面体的个数为个 例 8 100 件产品中有 3 件是次品 其余都是正品 现在从中取出 5 件产品 其中含有 次品 有多少种取法 解 从 100 件产品中取 5 件产品 有种取法 从不含次品的 95 件中取出 5 件产品 有种取法 所以符合题意的取法有种 例 9 8 个人站成一排 其中 A 与 B A 与 C 都不能站在一起 一共有多少种排法 解 无限制条件有种排法 A 与 B 或 A 与 C 在一起各有种排法 A B C 三 人站在一起且 A 在中间有种排法 所以一共有 21600 种排法 六 机会均等法 例 10 10 个人排成一队 其中甲一定要在乙的左边 丙一定要在乙的右边 一共有多 少种排法 解 甲 乙 丙三人排列一共有 6 种排法 在这 6 种排法中各种排列顺序在 10 个人的 所有排列中出现的机会是均等的 因此符合题设条件的排法种数为 例 11 用 1 4 5 四个数字组成四位数 所有这些四位数中的数字的总和为 288 求 解 若不为 0 在每一个数位上 1 4 5 出现的机会是均等的 由于一共可以 得到 24 个四位数 所以每一个数字在每一个数位上出现 6 次 于是得到 解得 若为 0 无解 七 转化法 例 12 一个楼梯共 10 级台阶 每步走 1 级或 2 级 8 步走完 一共有多少种走法 解 10 级台阶 要求 8 步走完 并且每步只能走一级或 2 级 显然 必须有 2 步中每 步走 2 级 6 步中每步走一级 记每次走 1 级台阶为 A 记每次走 2 级台阶为 B 则原问题 就相当于在 8 个格子中选 2 个填写 B 其余的填写 A 这是一个组合问题 所以一共有 种走法 例 13 动点从 0 0 沿水平或竖直方向运动到达 6 8 要使行驶的路程最小 有多少种走法 解 动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为 14 把动点运动 1 个 单位看成是 1 步 则动点走了 14 步 于是问题就转化为在 14 个格子中填写 6 个 上 和 8 个 右 这也是一个组合的问题 于是得到一共有种走法 八 隔板法 例 14 20 个相同的球分给 3 个人 允许有人可以不取 但必须分完 有多少种分法 解 将 20 个球排成一排