高三第二轮数学不等式学案

2006届高三第二轮复习数学不等式学案一、考试要求：能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题二 考点扫描不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。三、小题训练1、2005天津卷理第9题）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）A B C D 2设、均为正数,且、为常数,、为变量.若,则的最大值为 ( )A. B. C. D.3.（2000全国，6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.16001700元B.17002000元C.20002300元D.23003600元4如果则的最小值是 ( )A. 2 B. C. D. 四典型例题例1. 已知函数满足且对于任意, 恒有成立.(1) 求实数的值;(2) 解不等式.例2某单位用木料制作框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?例3（2002理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？例4某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果，四周围池壁建造单价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。例5（理科）设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？五强化训练1.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种10.答案：C2某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a,第三年增长率为b，这两年平均增长率为x,则A B C D 3(2005年春考北京卷理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_4(2005重庆卷理)若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）ABC D25已知的最小值为（ ）A B C D+6若正数满足，求得最小值 。72004年高考数学广西卷，19）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？8(2004年全国卷IV)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？9（理科）已知数列的通项公式求证：对任意的整数，有 .江苏省赣马高级中学高三数学不等式作业1实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是。A、 B、 C、 D、2设，函数，则使的的取值范围是（C ）（A）（B）（C） （D）3已知实数满足，则的最大值为（ ）A4 B C D4已知实数，满足，那么的最小值为A B C D5实数、满足不等式组，则的最小值为 6若x+2y+30，则(x+1)2+(y+2)2的最小值是A、 B、 C、 D、7设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_8(1)若（2）已知，求函数的最大值。（3）已知a,b为实常数，求函数的最小值。9. 已知集合，函数的定义域为Q 。若，求实数a的取值范围。10数列的前n项和为 ,求证: 11某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，每吨面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。（1） 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小；（2） 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠（即原价的90%）。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。12(2004年福建理科卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？湖北省黄冈中学2006届高三第二轮复习数学不等式学案一、考试要求：能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题二 考点扫描不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。三、小题训练1、2005天津卷理第9题）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ ）A B C D 2设、均为正数,且、为常数,、为变量.若,则的最大值为 ( )A. B. C. D.误解：，选 B. 分析：因为，而只有，其前提是，显然不合常理。况且，上述解法本身存在矛盾，当时，。略解：， ，利用均值不等式求最值，一定要检验取等号条件是否合理。同时，要区别变量与常量，不可把常量当成变量使用，本题、为常数,、为变量。3.。（2000全国，6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.16001700元 B.17002000元C.20002300元D.23003600元4如果则的最小值是 ( )A. 2 B. C. D. 解析：由得，答案：C. 四典型例题例1. 已知函数满足且对于任意, 恒有成立.(1) 求实数的值;(2) 解不等式.解: (1)由知, (2分)又恒成立, 有恒成立, 故(4分) 将式代入上式得:, 即故, 即,代入得,(8分)(2) 即 解得:, 不等式的解集为(12分)例2某单位用木料制作框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解】由题意得 xy+x2=8,y=(0x4，有江苏省赣马高级中学高三数学不等式作业1实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是。A、 B、 C、 D、解： ，则令2设，函数，则使的的取值范围是（C ）（A）（B）（C） （D）3已知实数满足，则的最大值为（ ）A4 B C D解析：可化成，令=，则的最大值为。4已知实数，满足，那么的最小值为A B C D解析：看成直线方程，可以看成坐标原点到直线上的点的距离，的最小值则是坐标原点到直线的最短距离。由点到直线的距离公式，得答案：A.5实数、满足不等式组，则的最小值为 解析：令，圆与区域向切于直线 x+y=1上一点，此时圆的半径最小的最小值为。6若x+2y+30，则(x+1)2+(y+2)2的最小值是A、 B、 C、 D、解析：令 r 2 =(x+1)2+(y+2)2圆与区域向切于直线 x+2y+3=0上一点，此时圆的半径最小r 2=. 答案：B、7设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。正解： 8(1)若（2）已知，求函数的最大值。（3）已知a,b为实常数，求函数的最小值。分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。解（1）分析:不等式右边为常数,左边为(含变量)两正数之和,若其积为常数,便可使用均值不等式证之,注意到的特点,使用“添项”法,问题便可迎刃而解.证明:,于是不等式成立（当且仅当当且仅当x-a=b-x，即时，结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。(2)当且仅当，即x=1时”=”成立当x=1时（3）另解： 9.已知集合，函数的定义域为Q 。若，求实数a的取值范围。解：（1）若，在内有有解令当时，所以a-4,所以a的取值范围是10数列的前n项和为 ,求证: 解析: 设想把的值转化成4减去一个正数，则可以利用函数值域求解。 得可见，取值一定小于4，故11某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，每吨面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。（3） 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小；（4） 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠（即原价的90%）。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。解（1）设该厂应隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管与其它费用，平均每天支出的费用为，则 即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。（2）若厂家利用此优惠条件，则至少35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x） 购买一次面粉，平均每天支出的费用为。利用单调性可证在上递增。时取得最小值，即，该厂应接受此优惠条件。12(2004年福建卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问