《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

光波的叠加和分析 第二章 前言 1波的独立传播和叠加原理 2两束同频振动方向平行的标量波的叠加 3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加 4不同频率的两个平面单色波的叠加 5光波的分析 前言 首先讲述作为矢量波的光波 在某些情况下可看作标量波 光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立传播原理进而介绍关于光的叠加原理 在此基础上 作为特殊情况 讲解两束光波在不同情况下的叠加结果 规律 概念及应用 第一节波的独立传播和叠加原理 一 标量波和矢量波 光波是横波 选择传播方向为直角坐标系的z方向 则矢量就变成了二维矢量 可将之分解为x y方向的分量 描述光波的物理量和是矢量 光波本质上是矢量波 若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质 则这两个分量有相同的传播规律 于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波 则矢量波的处理变为标量波处理 波的独立传播原理 当两列波或多列波在同一波场中传播时 每一列波的传播方式都不因其他波的存在而受到影响 注意 波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中 二 波的独立传播原理 三 光波的叠加原理和线性媒质 当存在两个或多个光波同时传播时 如果光波的独立传播原理成立 则它们叠加的空间区域内 每一点的扰动将等于各个光波单独存在时该点的扰动之和 这就是光波的叠加原理 即 真空中 光波叠加原理普遍成立媒质中 光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性条件时 光波叠加原理成立 当光强很强时 光与介质相互作用产生了非线性光学效应 光的叠加原理不再成立 光波叠加原理的成立也是有条件的 媒质分为 线性媒质 和 非线性媒质 线性媒质 波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质非线性媒质 波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质 一 同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波 其时间频率为 振幅分别为E10和E20 初始位相分别为和 传播方向沿着z轴 它们被表示为 第二节两束同频振动方向平行的标量波的叠加 本节讨论两个频率相同 振动方向平行的光波的叠加 显然这两个光波可视作标量波 于是问题就是两个标量波叠加的问题 这两个光波叠加后的合成波可以表示为 2 2 1 由以上分析得到合成波的表达式为 表明 合成波还是一个与分量波时间频率相同 传播方向相同 其它空间 时间参量以及位相速度都没有变化的简谐平面波 只是有了新的振幅和初位相 而且合成波的振幅和位相均取决于分量波的振幅和初始位相 当E10 E20时 由 2 2 3 有 可见 此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差 当E10 E20时 由 2 2 4 得 可见 合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值 当E10 E20时 总的合成波函数为 所以 当E10 E20且 10 20时 合成波与分量波振动状态相同 只是振幅增大一倍而在 10 20 情况下 可知合成振幅为零 物理光学 2020年4月11日星期六 两列波在空间相遇的情况 波的独立传播原理 几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所引起的扰动的叠加 矢量的线性叠加 矢量和 当两个或多个光波在空间相遇时 如果振动不是十分强 各列波将保持各自的特性不变 继续传播 相互之间没有影响 波的叠加原理 成立条件 1 传播介质为线性介质 2 振动不是十分强 在振动很强的时候 线性介质会变为非线性介质 线性媒质 波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质非线性媒质 波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质 一 同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波 其时间频率为 相同 振幅分别为E10和E20 初始位相分别为和 振动方向平行 传播方向沿着z轴 它们被表示为 上式中 其中 二 反向传播的平面波的叠加 驻波及其实验 1 驻波波函数假设两个简谐平面标量波的时间频率为 振幅分别E10和E20 初始位相为和 一列波沿着z轴正向传播另一列沿z轴负向传播 假定E10 E20 E0 即有 合成波各点都按照圆频率 做简谐振动 但是此合成波有其固有的特点 叠加后的合成波可以表示为 表示 1 对某一Z点 E随时间以频率 作简谐振动 某一时刻 振幅随Z不同而变 振幅不是常数 2 称振幅最大值和最小值的位置为波腹 波节的位置 它们不随时间而变 波腹位置 m为整数 波节位置 m为整数 3 相邻波腹 或波节 之间距为 2 相邻波腹与波节间距为 4 4 合成波的位相因子与空间坐标位置z无关 6 因的取值可正可负 所以在每一波节两边的点 其振动是反相的 5 驻波的位相因子与z无关 不存在位相的传播问题 故把这种波称为驻波 反之称为行波 驻波 由于节点静止不动 所以波形没有传播 能量以动能和势能的形式交换储存 亦传播不出去 驻波 当两个分量波的振幅不相等时 例如 E10 E20 E 则有 合成波是一个驻波和行波之和 因此合成波在波节处振幅不再为零 波节处的振动完全是由行波引起的 其它考察点的振幅则由行波和驻波共同引起的 并且由于行波的存在 将会有能量的传播 2 驻波实验 实验装置如右图所示 M是镀银的平面反射镜 I是正入射到镜面上的单色简谐平面波 经反射后得到反射波R G是一块极薄的感光乳胶底片 它与镜面间有一微小夹角 I和R形成驻波 G位于这个驻波场中 经感光和显影 在G上呈现亮暗相间的条纹 相邻亮条纹 或暗条纹 之间的距离按图示的几何关系与 2相对应 维纳实验 底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置 三 任意方向传播的平面波的叠加 上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的情况 分量波与合成波的空间分布比较简单 只和空间变量z有关 现在考虑两个时间频率相同 振动方向平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况 维纳实验证明 1 驻波的存在 维纳实验发现 紧贴镜面处的底片没有感光 而感光条纹的位置都与电场波腹位置相一致 维纳实验证明 2 乳胶感光的是光的电场而不是磁场 设两个分量波的频率都为 振幅分别为E10和E20 初始位相为和 波矢分别为k1和k2 则它们的波函数可以表示成如下 对于叠加区域 如图所示选取坐标系Oxyz y轴方向垂直于纸面向外 假设振动方向沿着y方向 分量波的波矢k1和k2均平行于xz平面 注意 这时所有的函数都与y坐标无关 叠加后的合成波可以表示为 E x z t E1 x z t E2 x z t E0exp i t 其中 E0 E10exp i k1xx k1zz E20exp i k2xx k2zz E0 exp i 而且有 其中 合成波与前面所讨论到的合成波都不一样 1 振幅分布上有驻波的特点 2 位相上有行波的特点 3 其时间频率仍然是 不变 考虑当E10 E20时的特殊情况 有 第三节两束同频振动方向垂直的标量波的叠加 假定两束光沿着z轴方向传播 而其振动方向分别与x y轴方向相同 设这两束光波的波函数如下 其中的 是直角坐标系Oxyz中x y方向上的单位矢量 两束光波叠加 合成波函数为 2 3 1 2 3 2 显然合成波在xy平面内 其方向垂直于传播方向z轴 但是一般而言它不再与x或y轴同向 如右图所示 E与x轴的夹角 满足 合成波与分量波矢量 显然 是z和t的函数 E的方向一般是不固定的 将随着z和t而变化 利用 2 3 1 和 2 3 2 消去 kz t 得 其中 2 3 3 右图中画出了kz t为某一确定值时的E以及它与x轴的夹角 这个椭圆既可以理解为1 位置z确定时E的端点随着时间t的变化轨迹 2 时间t确定时E的端点随着位置z的变化轨迹在x y平面上的投影 后者实际上是一条空间螺旋线 由式 2 3 3 可知 随着z或t的变化 合成波矢量的端点在x y平面 或者垂直于z轴的平面 上形成一个椭圆形轨迹 于是称振动方向互相垂直的同频同向传播的两个线偏振光叠加后的合成光波为椭圆偏振光波 简称椭圆光 端点的椭圆轨迹 当z固定时 随着t的增大端点如果是顺时针方向旋转 则规定该椭圆偏振光是 右旋 椭圆偏振光反之则称为 左旋 椭圆偏振光 根据该规定 角随时间的变化时椭圆偏振光为 左旋 如果则椭圆偏振光为 右旋 求d tg dt得 E的方向在x y平面上是旋转的针对E的旋向 分析 sin 0时 对应的椭圆偏振光为 左旋 椭圆偏振光sin 0时 对应的椭圆偏振光为 右旋 椭圆偏振光 可见 椭圆偏振光的椭圆形状和旋向除了取决于E10 E20之外 还取决于 椭圆偏振光的第一个重要特例 当 m 0 1 时 这是一个正椭圆方程 对应的椭圆的长 短轴分别平行于x y轴 称这种椭圆偏振光为 正椭圆偏振光 如果E10 E20 则上式变成圆方程 称这种 正椭圆偏振光 为 圆偏振光 圆偏振光是正椭圆偏振光的特例与一般椭圆偏振光一样 正椭圆偏振光和圆偏振光同样也有左旋和右旋之分 圆偏振光 椭圆偏振光的另外一个重要特例是 当 m m 0 1 时 这是一个直线方程 对应的椭圆退化成直线 这时的椭圆偏振光称为线偏振光 设该直线与x轴的夹角为 则有 容易证明 当m 0或偶数 上式右端取 直线位于x y坐标系的一 三象限 而当m 奇数时 上式右端取 直线位于x y坐标系的二 四象限 E10 0时直线平行于x轴 E20 0时直线平行于y轴 可见两束简谐平面光波满足上述条件时 它们叠加形成的合成波是线偏振光 第四节不同频率的两个平面单色波的叠加 一 拍频现象简单起见 考虑一维情况 假设下述两个振幅相同的沿着z轴方向传播的简谐波 则叠加后合成波波函数为 其中 由于振幅是周期性变化的 所以合振动不再是简谐振动 这种振动的振幅也是周期性变化的 即振动忽强忽弱 由于振幅是周期性变化的 所以合振动不再是简谐振动 这种合振动忽强忽弱的现象称为拍 接收器输出信号的时间圆频率为 等于两分量光波的圆频率之差 这个频率称为拍频 这种由两个交变物理量产生一个差频物理量的现象称为 拍频现象 拍频现象的主要应用价值在于 它把高频信号中的频率信息和位相信息转移到差频信号之中 使它们变得容易测量 拍频的定义可以从时间域推广到空间域 即拍频现象也可以指产生空间差频的现象 一种特殊情况 当 2 1时 可能小到无线电波频率范围之内 这种情况下 可以用仪器直接测量出调制波的振动 实际上仪器所测量的仍然是在某个时间间隔 内的平均能流密度I 只要2 2 则有 二 拍频现象的应用 一 激光器率稳定性的检测和控制 两个激光器L1和L2发出的两束激光通过分束器BS合成一束 互相叠加 产生拍频信号 假设由L1发出的激光频率已知并很稳定 那么这个装置可以用来测定L2激光束的频率 判断其稳定程度 还可以利用拍频 作为误差信号 用来控制激光器L2的某个参数 使得L2光的频率得到稳定 二 光学外差干涉法 光学外差干涉法思想 被测信息由角频率为 1的光波携带 该光波和角频率为 2 与 1相近 的光波 称为参考光波 叠加后 得到频率为的光强信号 这时 被测信息便转移到该信号的位相中 光学外差技术使我们既能发挥高频波的优势 例如采集被测量的精度 又可利用对低频波的检测技术 三 群速度 由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成拍频波是一种复杂波 所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频 合成波应包含等相面传播速度和等幅面传播速度两部分 群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度 即振幅调制包络的移动速度 群速度是波包的能量传播速度 也是波包所表达信号的传播速度 单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度 即相速度 单一频率的波的传播速度 相速度 由相位不变条件 我们可以分别求得载波位相速度 和调制波位相速度 g 通常把称为拍频波的位相速度 把称为拍频波的群速度 对于拍频波有 群速度是指某个光强值在空间的传播速度 因此它表示拍频波能量的传播速度 当很小时 群速度得表达式可以写成 如果能测出调制波的波长和 便可以得到 现在 对于合成前的两简谐平面光波的位相速度 波长和波矢的大小 分别用 1 2 1 2 k1 k2来表示 则群速度表达式可以写成 显然上式中的和分别表示原光波的速度差和波长差 而反映了媒质色散的性质和大小 相应地相速度表达式可以写成 越大 波的相速度随波长的变化越大时 群速度与相速度相差越大 即波长较大的单色光波比波长较短的单色光波传播速度大时 正常色散 群速度小于相速度 即反常色散 群速度大于相速度 物理光学 2020年4月11日星期六 第二章光波的叠加与分析 两个简谐平面波 1 相同 振动方向平行 传播方向沿着z轴同向 振幅和初始位相不同 2 相同 振动方向平行 传播方向沿着z轴反向 振幅相同 初始位相不同 3 相同 振动方向平行 传播方向沿着z轴反向 振幅不相同 初始位相不同 E x z t E1 x z t E2 x z t E0exp i t E0 E10exp i k1xx k1zz E20exp i k2xx k2zz E0 exp i 4 相同 振动方向平行 传播方向成一定夹角 振幅不相同 初始位相不同 5 不同 传播方向沿着z轴 振幅相同 初始位相不同 相同的光波叠加仍然是单色光波 不同的光波叠加则不再是单色光波 结论 频率为2k 频率为k 不同频率光波的叠加 合成波 不同频率光波的叠加形成复杂光波复杂光波能不能分解成单色光波的组合 第五节光波的分析 实际中存在的光波都是复杂的 如何将复杂波分解成简单平面波的叠加就是光波分析的任务 本节首先讲述具有周期性复杂光波的分析 进而讨论波群的分解问题 最后讨论光波分析的普遍理论和方法步骤 周期性不等于简谐性 傅立叶级数定理 具有空间周期 的函数f z 可以表示成为一些空间周期为 的整分数倍 即 2 3等 的简谐函数之和 或者写成 其中a0 a1 a2等为常数 而为空间角频率 如果令A0 2a0 An ancos n Bn ansin n 则上两式变为 周期性光波的分析可以应用数学上的傅立叶级数定理 其数学形式为 可以看到 复杂周期性光波f z 是一系列的简谐平面波的组合 这些平面波的空间角频率分别为0 k 2k nk 而A0 An Bn则是这些平面波的振幅 所以说对f z 可以进行傅立叶分析 A0 An Bn称为函数f z 的傅立叶系数 A0 An Bn和f z 的关系分别为 以空间角频率k沿z方向传播的周期性复杂波f z 可以分解为许多振幅不同且空间角频率分别为k 2k 3k 的单色波的叠加 An Bn是某一空间角频率的单色光波的振幅 如果以横坐标表示空间角频率 纵坐标表示振幅 在对应于振幅不为零的频率位置引垂直线 使其长度等于相应频率的振幅值 当然 以一定的标度为单位 这样所绘制的曲线称为频谱图 如果横坐标表示空间角频率 则为空间频谱图 周期性复杂波的傅立叶分析结果可以用空间频谱图 光谱仪器可以看作是一种傅立叶分析器 对入射光做一个傅立叶分析 入射光所包含的不同频率的分波就被显示为一系列的光谱线 例题3用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为 的周期性矩形光波 并画出频谱 解 这个矩形波的波函数为 矩形周期波的分析与合成 叠加分波数目越多 越接近于原矩形波 二 波群的分析 非周期性波的分析 波群 其振动只是在一定范围内存在 在此范围之外即变为零 所以这类波不是无限次地重复它的振动波形 因而不具有周期性 实际中的原子所发射的光波即如此 波列 原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射 所以实际普通光源发出的光波不是理想单色波 对于这类波群的分析就不能利用刚刚讲过的傅立叶级数 而必须利用傅立叶积分 在数学上 傅立叶积分定理 一个非周期函数f z 可看成空间周期 趋于 在 满足狄里赫利条件 且绝对可积 可以用傅里叶积分表示为 来表示 其中 A k 称为函数f z 的傅立叶变换 f z 称为A k 函数的傅立叶逆变换 若波群由非周